系統仿真技術

第2章經典的連續系統仿真建模方法學

xx合肥工業大學機械與汽車工程學院

1謝謝你的觀看2019-10-102.1離散化原理及要求

問題：數字計算機在數值及時間上的離散性----被仿真系統數值及時間上的連續性?連續系統的仿真，從本質上：對原連續系統從時間、數值兩個方面進行離散化并選擇合適的數值計算方法來近似積分運算

離散模型≈原連續模型？

2謝謝你的觀看2019-10-10相似原理

設系統模型為：，其中u(t)為輸入變量，y(t)為系統變量；令仿真時間間隔為h，離散化后的輸入變量為，系統變量為，其中表示t=nh。如果

,且即,

（對所有n=0,1,2,…）

則可認為兩模型等價。

3謝謝你的觀看2019-10-10u(t)h

y(t)

-+圖2.1相似原理原連續模型仿真模型

4謝謝你的觀看2019-10-10對仿真建模方法三個基本要求

（1）穩定性：若原連續系統是穩定的，則離散化后得到的仿真模型也應是穩定的。

（2）準確性：有不同的準確性評價準則，最基本的準則是：

絕對誤差準則：

相對誤差準則：

其中

規定精度的誤差量。

5謝謝你的觀看2019-10-10對仿真建模方法三個基本要求(續)

（3）快速性：若第n步計算對應的系統時間間隔為計算機由計算需要的時間為Tn，若

Tn=hn

稱為實時仿真，Tnhn稱為超實時仿真

Tnhn

稱為亞實時仿真，對應于離線仿真

6謝謝你的觀看2019-10-10數值積分算法

對，已知系統變量y的初始條件要求y隨時間變化的過程――初值問題

計算過程：由初始點的

歐拉法對任意時刻tn+1

截斷誤差正比于

7謝謝你的觀看2019-10-10數值積分算法（續）

梯形法:

是隱函數形式。預報－—歐拉法估計初值，校正－—用梯形法校正：校正公式

預報公式

反復迭代，直到滿足經典的數值積分法分為兩類：單步法與多步法8謝謝你的觀看2019-10-102.2龍格庫塔法

2.2.1龍格-庫塔法基本原理

對若令：則有

的數值求解：稱作“右端函數”計算問題。在附近展開泰勒級數，只保留項，則有：9謝謝你的觀看2019-10-10龍格-庫塔法基本原理（續）

假設這個解可以寫成如下形式：

其中

對式右端的函數展成泰勒級數，保留h項，可得：代入，則有：

10謝謝你的觀看2019-10-10龍格-庫塔法基本原理（續）

將(2)式與(1)式進行比較，可得：四個未知數但只有三個方程，因此有無窮多個解。若限定，則計算公式：其中

11謝謝你的觀看2019-10-10龍格-庫塔法基本原理（續）

若寫成一般遞推形式，即為：其中（1）截斷誤差正比于h3，稱為二階龍格-庫塔法（簡稱RK-2）。

（2）截斷誤差正比于h5的四階龍格--庫塔法（簡稱RK-4）公式：其中：

12謝謝你的觀看2019-10-102.2.2龍格--庫塔法的特點

1.形式多樣性例：非唯一解，可以得到許多種龍格--庫塔公式：(中點公式)

其中

各種龍格---庫塔法可以寫成如下一般形式：其中

13謝謝你的觀看2019-10-10龍格--庫塔法的特點(續）

式中各系數滿足以下關系

s稱為級數，表示每步計算右端函數f的最少次數。可以證明，1階公式至少要計算一次，2階公式;….；4階公式；依此類推。有時為了某種特殊需要，可以選擇的計算公式。

14謝謝你的觀看2019-10-10龍格--庫塔法的特點(續）2.單步法

在計算時只用到，而不直接用等項。優點：存儲量減小，可以自啟動.3.可變步長

步長h在整個計算中并不要求固定，可以根據精度要求改變，但是在一步中，為計算若干個系數，則必須用同一個步長h。

15謝謝你的觀看2019-10-10龍格--庫塔法的特點(續）4.速度與精度

四階方法的h可以比二階方法的h大10倍，每步計算量僅比二階方法大一倍，高于四階的方法由于每步計算量將增加較多，而精度提高不快。

16謝謝你的觀看2019-10-102.2.3實時龍格－庫塔法

實時仿真：要求仿真模型的運行速度往往與實際系統運行的速度保持一致。一般的數值積分法難以滿足實時仿真的要求，這不僅僅是因為由這些方法所得到的模型的執行速度較慢，而且這些方法的機理不符合實時仿真的特點。

考慮系統

17謝謝你的觀看2019-10-10實時龍格－庫塔法(續）RK-2公式如下：一個計算步內分兩子步：

tn時刻：利用當前的un，yn計算k1----計算一次右端函數f需。tn+h/2時刻：應計算k2，盡管此時yn+1/2已經得到，但un

+1則無法得到。(若對un

+1也進行預報――加大仿真誤差)。仿真執行延遲h/2――輸出要遲后半個計算步距。18謝謝你的觀看2019-10-10實時龍格－庫塔法(續）RK-2的計算流程19謝謝你的觀看2019-10-10實時龍格－庫塔法(續）

實時2階龍格－庫塔法：

tn時刻，應計算k1，利用當前的un，yn，需要；tn+h/2時刻，應計算k2，此時yn

+1/2已經得到，un

+1/2也可得到，k2的計算就不會引入新的誤差。計算一次右端函數需要，可實時輸出yn

+1。

20謝謝你的觀看2019-10-10實時龍格－庫塔法(續）實時RK-2公式計算流程21謝謝你的觀看2019-10-102.3線性多步法

2.3.1線性多步法基本原理

基本原理：利用一個多項式去匹配變量若干已知值和它們的導數值。

設：時刻的和已知;

預報：由和來計算校正：若也已知，由它們來計算

22謝謝你的觀看2019-10-10線性多步法(續)

采用的多項式具有以下形式(m階)

其中：是待定系數，在時刻，，可得到：（2-1）

23謝謝你的觀看2019-10-10線性多步法(續)

由和確定，需要m+1個獨立方程。該m+1個方程可由以下等式導出：（2-2）

24謝謝你的觀看2019-10-10線性多步法(續)1、預報公式

令m=2k-1，從（2-2）式得到如下方程組：

25謝謝你的觀看2019-10-10

（2-3）將其寫成矩陣形式：（2-4）

其中上標p表示預報。其解為：（2-5）

26謝謝你的觀看2019-10-10

由于為常數陣，其逆存在，Z向量中的各元素為已知值，因而d向量的各元素值可計算得到，從而由,得到下一時刻的預報值。

缺點：只有是所需要的，其它元素的計算成為多余

,得不到與和顯式表達式。27謝謝你的觀看2019-10-10線性多步法(續)定義：

（m+1）1的列向量

(2-6)定義輔助變量(2-7)此式可改寫為(2-8)向量的元素可劃分為兩個組

(2-9)

28謝謝你的觀看2019-10-10例：k=3，則(2-8)式為：可計算得到：

29謝謝你的觀看2019-10-10

只依賴于k，即先前和的個數，而與它們的數值無關。這樣，可以預先求解（2-8）式得到從而得到的顯式表達式：

30謝謝你的觀看2019-10-10例：試推導用預報公式

條件：已知

由

31謝謝你的觀看2019-10-102、校正公式

預報公式――顯式公式，未包括。校正：對該預報值應進行校正，即先預報得到，然后再用此值推出。由和以及來預報，可令m=2k-1，從（2-2）式得到如下方程組：

32謝謝你的觀看2019-10-10將其寫成矩陣形式：（2-10）

33謝謝你的觀看2019-10-10校正公式(續)其中上標c表示校正，可得

(2-11)

34謝謝你的觀看2019-10-10校正公式(續)

定義：為（m+1）1的列向量，上標T表示轉置。將左乘（2-10）式可得：（2-12）定義（2-13）可改寫為

（2-14）

（2-15）35謝謝你的觀看2019-10-10例：k=3

同樣，只依賴于k，即先前和的個數，而與它們的數值無關。這樣

（2-16）從而

（2-17）

36謝謝你的觀看2019-10-10例：已知，預估，然后用校正。預估

預報公式為校正校正公式為

37謝謝你的觀看2019-10-102.3.2線性多步法誤差分析

為了便于分析，對預報公式和校正公式，定義統一的表達式：（2-18）

-------顯式預報顯式預報時稱為后向差分公式（BDF）同時均不等于0時為隱式校正公式

k稱為公式的階次。假設變量各時間的精確值已經得到，將其代入（21）式，可得：

（2-19）

38謝謝你的觀看2019-10-10線性多步法誤差分析（續）

在附近，將每個函數展開成泰勒級數：（2-20）對所有i(i=0,1,2,…,k)，將（2-20）式代入（2-19）式，合并同類項，可得

（2-21）39謝謝你的觀看2019-10-10線性多步法誤差分析（續）其中

（2-22）如果均為0，則稱為p階公式

（2-23）

40謝謝你的觀看2019-10-10線性多步法誤差分析（續）

下面，如果我們能證明上一節推導出的公式若能滿足求均為0的條件，則就得出了這些公式的截斷誤差滿足（2-23）式。以三階公式為例，將（2-22）式與相關表達式表示成右端為零，可得：

41謝謝你的觀看2019-10-10

先討論預報公式，由于和，這意味著要將上述矩陣的第1列移到等式的右邊，并去掉第5列。為了使矩陣成為方陣，將其最后兩行也去掉。

42謝謝你的觀看2019-10-10

其結果與用于推導預報公式的矩陣方程完全一樣。

43謝謝你的觀看2019-10-10

對校正公式，可采用類似的辦法，只是，這樣要將第第5列移到等式的右邊；若假定，則可去掉第4列。同樣為得到方陣，去掉最后兩行，結果就是3階校正公式。

這就表明，上一節導出的預報與校正公式的截斷誤差系數可