風險型決策樹問題第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四本節重點1、掌握風險型決策樹問題的數學期望值算法

；2、會利用軟件WINQSB求解決策樹問題。第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四§3-6風險型決策樹問題一、決策問題及其分類

1．決策問題：人們在企業管理、市場經營乃至日常生活和工作中，經常會遇到各種舉棋不定的情形。也即，在當事人面前每當出現多種可供選擇的不同方案，而他只能從中選擇一種方案來實現他最滿意的某個目標之時，實際上他就面臨著一個決策問題。2．決策問題的分類：

（1）確定型決策

是指當事人作出一項選擇時，只有一種結局。第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

確定型決策我們在前面已經討論過，例如線性規劃問題等。不確定型決策與風險型決策的區別在于每個結果出現的可能性大小是否已知。而對于每個結果出現的可能性大小未知的不確定型決策，我們可以通過收集資料利用統計的方法加以估計。本節我們只討論風險型決策問題的決策樹求解方法。（2）不確定型決策：

（3）風險型決策

：指當事人作出每一種選擇時，都可能有若干個結局，但是每個結局出現的可能性大小(即概率)是已知的。

當事人作出每一種選擇時，都可能有若干個結局，但是每個結局出現的可能性大小是未知的。第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四風險型決策一般包含以下條件：（1）存在著決策者希望達到的目標（如收益最大或損失最小）；（2）存在著兩個或兩個以上的方案可供選擇；（3）存在著兩個或兩個以上不以決策者主觀意志為轉移的自然狀態（如不同的天氣對市場的影響）；（4）可以計算出不同方案在不同自然狀態下的損益值；（5）在可能出現的不同自然狀態中，決策者不能肯定未來將出現哪種狀態，但能確定每種狀態出現的概率。第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四二、決策樹

決策樹又稱決策圖，是以方框和圓圈及節點，并由直線連接而形成的一種像樹枝形狀的結構圖。即，將備選方案、可能出現的自然狀態、結果、各種益損值和概率值等分別用一些特殊的頂點與邊以及權值來表示，并按其因果關系排列而成的樹形圖。如下圖所示：

第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四決策樹所用圖解符號及結構：（1）決策點：它是以方框表示的節點。一般決策點位于決策樹的最左端，即決策樹的起點位置，但如果所作的決策屬于多階決策，則決策樹圖形的中間可以有多個決策點方框，以決策樹“根”部的決策點為最終決策方案。（2）方案枝：它是由決策點起自左而右畫出的若干條直線，每條直線表示一個備選方案。方案枝表示解決問題的途徑，通常是兩枝或兩枝以上。（3）狀態節點：在每個方案枝的末端畫上一個“○”并注上代號叫做狀態節點。狀態節點是決策分枝的終點，也是表示一個備選方案可能遇到的自然狀態的起點。其上方的數字表示該方案的期望損益值。（4）概率枝：從狀態節點引出的若干條直線叫概率枝，每條直線代表一種自然狀態及其可能出現的概率（每條分枝上面注明自然狀態及其概率）。（5）結果點：它是畫在概率枝的末端的一個三角節點（△）。在結果點處列出不同的方案在不同的自然狀態及其概率條件下的收益值或損失值。第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四步驟決策樹形圖是人們對某個決策問題未來可能發生的狀態與方案的可能結果所作出的預測在圖紙上的分析。因此畫決策樹形圖的過程就是擬定各種可行方案的過程，也是進行狀態分析和估算方案結果值的過程。畫決策樹形圖時，應按照圖的結構規范由左向右逐步繪制、逐步分析。其步驟如下：（1）根據實際決策問題，以初始決策點為樹根出發，從左至右分別選擇決策點、方案枝、狀態節點、概率枝等畫出決策樹。（2）從右至左逐步計算各個狀態節點的期望收益值或期望損失值，并將其數值標在各點上方。（3）在決策點將各狀態節點上的期望值加以比較，選取期望收益值最大的方案。對落選的方案要進行“剪枝”，即在效益差的方案枝上畫上“∥”或者“×”符號。最后留下一條效益最好的方案。第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四決策樹形圖可分為單階段決策樹和多階段決策樹。單階段決策樹是指決策問題只需進行一次決策活動，便可以選出理想的方案。單階段決策樹一般只有一個決策節點。多階段決策是指在一個決策問題中包含著兩個或兩個以上層次的決策，即在一個決策問題的決策方案中又包含著另一個或幾個決策問題。只有當低一層次的決策方案確定之后，高一層次的決策方案才能確定。因此，處理多階決策問題必須通過依次的計算、分析和比較，直到整個問題的決策方案確定為止。第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例3-6-1

一個車隊早晨出車時要決定是否帶雨布。決策方案有兩個：一是帶雨布，一是不帶雨布；狀態也有兩個：一是下雨，一是不下雨；每種方案和每種狀態組合后的各種結果的益損值如表所示。問：車隊應該做怎樣的決策?是帶雨布好還是不帶雨布好?（1）畫決策樹

第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例3-6-1

（1）畫決策樹

（2）計算狀態點的期望值：B點的期望值：E(B)=0×0.3+(-3)×0.7=-2.1C點的期望值：E(C)=(-6)×0.3+0×0.7=-1.8

（3）決策并剪枝：比較B和C的期望值的大小，由于E(B)<E(C)，說明不帶雨布的可能損失比帶雨布的可能損失少，所以選擇最優之不帶雨布的方案，并在決策樹上刪去頂點B及其相關的邊，即剪枝。

第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例3-6-2

某公司生產某種產品，一直只在本地區銷售，而且銷售的前景很好。現在公司打算通過向全國銷售來增加利潤。經過市場調查，了解到全國和本地區對此產品高需求的概率都是0.5，中等需求的概率都是0.25，低需求的概率都是0.25。兩種銷售在各種需求影響下的利潤如表所示。問：是繼續在本地區銷售獲利大，還是擴大到全國銷售獲利大?（1）畫決策樹

第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例3-6-2

（1）畫決策樹

Al點的期望值E(Al)=6×0.50+4×0.25+2.5×0.25=4.625（萬元）。（2）計算狀態點的期望值：A2點的期望值E(A2)=4×0.5+3.8×0.25+3.5×0.25=3.825（萬元）。

（3）比較A1和A2的期望值的大小，并選出最優方案：到全國銷售的方案作為最優方案，可有期望利潤4.625（萬元）。第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例3-6-3

某開發公司擬為一企業承包新產品的研制與開發任務，但是為了得到合同必須參加投標。已知投標的準備費用為40000元，中標的可能性是40％。如果不中標，準備費用得不到補償。如果中標，可采用兩種方法進行研制開發：方法1成功的可能性為80％，費用為260000元；方法2成功的可能性為50％，費用為160000元。如果研制開發成功，該開發公司可得到600000元，如果合同中標但未研制成功，則開發公司需賠償100000元。問題是要決策：(1)是否參加投標?(2)若中標了，采用哪種方法研制開發?此乃多階段的風險型決策問題

（1）畫決策樹

第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例3-6-3

（1）畫決策樹

（2）計算第二階段各狀態頂點的期望值：D點的期望值：600000×0.8+(-100000)×0.2=460000E點的期望值：600000×0.5+(-100000)×0.5=250000方法1的期望利潤為460000-260000=200000方法2的期望利潤為250000-1601100=90000在C點的最優決策是選擇方法1利潤值200000（3）再計算第一階段各狀態頂點的期望值：B點的期望值：200000×0.4+0×0.6=80000。

由于投標的期望利潤為80000-40000=40000，比不投標(利潤為0)要好，所以在A點的最優決策是選擇投標。

結論：該開發公司首先應該參加投標，在中標的條件下應該采用方法1進行開發研制，總期望收益為40000元。第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例4

假設有一項工程，施工管理人員需要決定下月是否開工。如果開工后天氣好，則可為國家創收4萬元，若開工后天氣壞，將給國家造成損失1萬元，不開工則損失1000元。根據過去的統計資料，下月天氣好的概率是0.3,天氣壞的概率是0.7。請做出決策。現采用決策樹方法進行決策。第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四解：(1)將題意表格化：自然狀態概率決策方案開工不開工天氣好0.340000-1000天氣壞0.7-10000-1000(2)畫決策樹圖形，根據第一步所列的表格，再繪制決策樹，第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四(3)計算期望值狀態節點B的期望值：狀態節點C的期望值：并分別標在狀態點B和C的旁邊。(4)決策并剪枝：比較B和C的期望值大小，由于說明采取開工方案較好。在決策樹上刪去C點及其相關的邊，即剪枝。第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例5

某連鎖店經銷商準備在一個新建居民小區興建一個新的連鎖店，經市場行情分析與推測，該店開業的頭3年，經營狀況好的概率為0.75，營業差的概率為0.25；如果頭3年經營狀況好，后7年經營狀況也好的概率可達0.85；但如果頭3年經營狀態差后7年經營狀態好的概率僅為0.1，差的概率為0.9。興建連鎖店的規模有兩個方案：一是建中型商店。二是先建小型商店，若前3年經營效益好，再考慮是否擴建為中型商店。各方案年均收益及投資情況如表下表所示。該連鎖店管理層應如何決策？方案投資年收益前3年后7年經營好經營差經營好經營差甲：建中型店乙：建小型店經營好再擴建400150再投210100601021506015010210年投資收益表單位：萬元第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四解：決策分析步驟：（1）根據問題繪制決策樹，如下圖所示。第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四136298754建小型店建中型店銷路好0.75銷路好0.75銷路好0.85銷路好0.1銷路好0.85銷路好0.85銷路好0.1銷路差0.25銷路差0.25銷路差0.9銷路差0.15銷路差0.15銷路差0.9銷路差0.151501060260215010150103年內

7年內

擴建不擴建第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四（2）計算各節點及決策點處的期望損益值。從右向左，計算每個節點處的期望損益值，并將計算結果填入圖的相應各節點處。

節點⑧：（150×0.85+10×0.15）×7-210=693：

節點⑨：（60×0.85+2×0.15）×7=359.1

對于決策點⑥來說，由于擴建后可得凈收益693萬元，而不擴建只能得凈收益359.1萬元.因此，應選擇擴建方案，將不擴建方案枝剪掉。所以有：

節點⑥：693

節點④：（150×0.85+10×0.15）×7=903

節點⑤：（150×0.1+10×0.9）×7=168節點⑦：（60×0.1+2×0.9）×7=54.6第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四節點②：（100×0.75+10×0.25）×3+903×0.75+168×0.25-400=551.75節點③：（60×0.75+2×0.25）×3+54.6×0.25+693×0.75-150=519.9（3）剪枝決策。比較兩個方案可以看出，建中型商店可獲凈收益551.75萬元，先建小商店，若前3年效益好再擴建，可得凈收益519.9萬元。因此，應選擇建中型商店的方案為最佳方案，對另一方案進行剪枝。通過以上例子可以看出，決策樹分析法對于較復雜的多階段決策十分有效，結合圖形進行計算，使分析過程層次清晰。第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四136298754建小型店建中型店銷路好0