采樣數據的處理第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.1Shah函數（無限沖激序列）12.2采樣和插值定義III(x)：為沿x軸相隔單位間距出現的單位沖激序列。x0III(x/)s1/0III(s)III(x)的傅立葉變換為其自身：2第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.1.1相似性根據相似定理：且時（空）域乘對應頻域除因此III(x)的頻譜為沿s軸間隔為1/的沖激序列。s1/0III(s)令a=1/

：3第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四設f(x)帶寬為s0（當頻率s超過s0時，f(x)便為0），即F(s)=0，當|s|

s0時。12.2.2使用Shah函數采樣以等間隔對f(x)采樣，則僅在x=n處取得f(x)的樣本值，在其他地方，f(x)被破壞了，這個過程相當于用III(x/)乘以f(x)，得到g(x)。xf(x)s0sF(s)-s0x1/s0s-s0-1/4第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.3采樣及其頻譜

時域相乘對應頻域卷積，即III(x/)乘f(x)對應F(s)卷

III(s)。由于與沖激函數的卷積產生了函數本身的復制品。因此，頻域卷積在s軸上每隔1/復制了一個F(s)，也就是說，G(s)是一個以F(s)重復的周期函數。5第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.4采樣定理由上可見，只要從G(s)中得到F(s)，即可從g(x)中獲得f(x)。方法：保留中心處于原點的F(s)，消除其復制品，即用矩形(s/2s1)去乘G(s)。其中可見，用采樣后的函數與一個形式為的內插函數做卷積，即可從g(x)重構f(x)。6第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四上述推導的兩個限制：1)f(x)的譜＜s0。2)奈奎斯特采樣定理：7第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.5內插

g(x)與內插函數卷積，等于在每個采樣點上復制一個窄的sinc(x)函數，而互相重疊的sinc(x)函數的總和可準確地恢復出原函數。8第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.6欠采樣與混疊（Aliasing）當采樣間隔不夠密，即時，F(s)的復制品就會部分地重疊，此時就不能準確地恢復出原函數了。因為此時sG(s)01/21/

頻率s1以上的能量被折疊返回到s1以下，并被加到頻譜上，稱為混疊。f(x)和內插所得的函數的差別稱為混疊誤差。當f(x)是偶函數時，F(s)也是偶函數，混疊的效果是提高了頻譜中的能量；奇函數與之相反；非奇非偶函數及譜則因此比實際更趨向于偶函數。9第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.7采樣舉例函數：頻譜：以等間隔t對f(t)采樣。f(t)的周期是1/f0。過采樣：臨界采樣：欠采樣：嚴重欠采樣：對正弦信號的臨界采樣：見后面圖示10第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四1、過采樣：11第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2、臨界采樣：12第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四3、欠采樣：變成低頻了13第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四4、嚴重欠采樣：變成直流了零頻！14第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四5、另一種情況：相鄰頻域復制區間重疊的奇沖激對在s=fN處重疊并抵消。結果內插后的函數為0。它其實相當于在正弦函數的過零點進行了采樣，每次采到的都是0。15第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.2.7.1圖像數字化中的混疊聚焦可有效保留信號的高頻成分，而散焦則相當于信號的高頻成分減少，帶寬變窄，因而圖像變得模糊些，但不再混疊了。像素寬度小于像素間距像素寬度等于像素間距等效于

結論：空間采樣點太稀疏，雖然像素很細小，但只能當粗點用，否則會出現高頻混疊。16第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四17第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.3.1時域中的截取12.3頻譜計算對離散的f(t)樣值計算F(s)，N個時域采樣點將對應N個頻譜上的點。通常頻域上的點在s軸上等距分布。頻域采樣間隔與時域中的截取窗口寬度成反比最高頻率與時域采樣間隔成反比假定一個信號f(t)用間距為t的N個采樣點來代表，則總的采樣區間寬度T＝Nt。（T為截取窗口的寬度，T外部的信號的采樣被忽略了，相當于將截取窗口外的信號置0了）18第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.3.2頻域上的截取離散f(t)的頻譜是周期的，周期2sm=1/t

，只需計算覆蓋F(s)的一個周期即可。常用的方法是將N個采樣點均勻地散布在中心位于原點的F(s)的一個周期上，即當在F(s)的一個周期上取N個等間隔的采樣點，則Ns

＝

1/t

。其中s

＝

1/Nt＝1/T是頻域中的采樣間隔。因此計算f(t)頻譜的最好做法是按s

＝

1/T等間隔取，即從-sm到sm。Sm=

1/2t

19第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.3.3頻譜計算由上可見，一個域中的采樣間隔決定了另一個域中的截取窗口寬度。要計算頻譜中的高頻成分（sm

），必須在時域中細密地采樣（t

）。而要頻譜中的高分辨率（s

），必須在時域中采用大的截取窗口（T

）。20第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四采樣和截取參數小結參數域關系采樣點數時頻采樣間隔時采樣間隔頻截斷窗口寬度時最大可計算頻率頻

當f(t)是復數，有N個實部和N個虛部，變換后產生頻譜中的N個實值和N個虛值。

當f(t)是實數，有N個實部和N個0（虛部），變換后在頻譜的右半部產生N/2個偶實值和N/2個奇虛值。由于實函數的F(s)是Hermite型的，頻譜的左半部是右半部的鏡像。21第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.4.1混疊的不可避免性12.4混疊根據采樣定理，對帶寬有限的函數采樣時，只要選擇合適的采樣間距就可完全避免混疊。但是，如果帶寬有限的函數被截取了一段有限長度T，這個過程即模型化為將函數與寬度為T的矩形脈沖相乘，等價于將其頻譜與無限持續的sinc(x)函數在頻域卷積。兩個函數的卷積結果不可能比其中任意一個窄，因此，經截取的函數的譜在頻域內無限延伸。截取破壞了帶寬的有限性，注定了數字處理在任何情況下都造成混疊。因而我們只能限定其誤差。帶寬有限帶寬無限時域截取22第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.4.2混疊誤差的上界因為t有限，不能無限小，因此F(s)被無限展寬。F(s)在形式為1/s的包絡線內，保證了函數的峰值隨著頻率升高而下降并趨于0。23第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四如果忽略函數的正弦波動，僅考慮F(s)的包絡線，并注意可能混疊的最大頻譜強度在頻率sm處出現，則可以認為這是混疊的最壞情況。定義混疊誤差＝F(sm)/F(0)，由于F(0)＝1，F(s)的包絡為1/2as，因而混疊上界為混疊誤差的上界與t成正比，與T無關。因此，當t<<2a脈沖寬度時，混疊誤差即可小到所需的程度。24第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.4.3頻譜分辨率

F(s)具有頻率為a的正弦波動（周期為1/a）。用M表示在所計算的頻譜F(s)上每個周期的采樣點數，并用它作為頻譜分辨率的量度，則這就是說，如果使采樣周期T與脈沖的半寬度a相比足夠大，即可在F(s)的一個周期中取得足夠多的采樣點。25第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.5.1計算一個邊緣的頻譜12.5截取用寬度為T的截取窗口對f(x)截取截取會使計算得到的譜與實際的譜不同。需認真選擇截取窗口的寬度。xf(x)=sign(x)-110sF(s)=-j/s0j-jxg(x)-110T/2-T/2奇矩形脈沖對26第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四對g(x)進行FT：G(s)與F(s)不一樣了，僅在幾個點處兩者值相等，也就是cos(sT)=0時。或者sT=i/2時（i為奇數）。對應s=i/2T。此時G(s)＝F(s)。27第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四如果令si=i/T，＝0,1,2,…,N/2，則G(si)＝2F(si)（當i為奇數）0（當i為偶數）28第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.5.2截取效應上例i奇數時是正確的（是正常大小的兩倍），而偶數時為0。這表明截取在奇數號點和偶數號點之間重新分配了能量。將G(is)即G(si)與一個窄的三角形局部平均濾波器[1/4,1/2,1/4]相卷積，可獲得期望結果。29第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.6數字處理以下考慮對連續信號（見下圖）或圖像進行截取、采樣、內插等進行數字處理后的影響。30第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.6.1截取31第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.6.2采樣孔徑在采樣點上有一有限寬度的采樣孔徑，信號在該孔徑中被平均。采樣孔徑是寬度為的窄矩形脈沖，則截取后的信號再與采樣孔徑函數卷積，相當于將其譜與sinc(s)相乘。如果采樣窗口是高斯脈沖，則輸出譜將與高斯譜相乘。上述采樣孔的作用是降低了信號中的高頻能量，頻率超過s=1/時能量極性反轉。32第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.6.3采樣上述經采樣孔徑平滑后的截取后的信號再與III(t/t)相乘，得到采樣結果。于是采樣后的譜有了周期性（以1/t復制原來的譜）。33第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.6.4內插對采樣后的信號插值，以盡可能好地恢復f(t)。用三角脈沖與采樣后的函數卷積來實現插值。由于[sinc(st0)]2隨頻率增加而減小，使得除了位于s=0處的主復制品外，其余所有復制品趨向于0。34第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四用h(t)表示對采樣后函數進行內插得到的結果函數：35第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.6.5數字處理的影響數字處理對信號的影響是顯然的，那么，究竟有多大？采樣孔徑與內插函數之間一般都有適當的關系，如采樣孔徑寬度與采樣間距t相等。對于線性插值，t0=t。若截取窗口寬，則其頻譜窄，接近于一個脈沖，其影響就會減小。如果截取窗口外的原函數值已經為0，截取就不會產生影響了。采樣孔徑相當于低通濾波，降低的頻譜中的高頻能量，因而減少了混疊。如果采樣孔徑的傳遞函數有負值，會改變高頻能量的極性。用sinc(x)函數進行內插最理想。其它內插函數不能完全消除其余復制品，且還會減少主復制品的高頻能量。數字化參數取決于數字化設備的設計。截取窗口代表圖像數字化器的最大視野。采樣孔徑是掃描點的靈敏度，采樣間距可調節，并與采樣點直徑相聯系。對于顯示圖像，其內插函數就是顯示點本身。36第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.7混疊誤差的控制用采樣孔徑和采樣間隔來控制。12.7.1抗混疊濾波器孔徑寬度是采樣間距的兩倍，使其傳遞函數的第一個過0點位于fN=1/2t。則fN以上的頻率被大大削減。37第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四三角孔徑寬度為4個樣點寬，其傳遞函數的第一個過0點也位于fN=1/2t。相對于矩形脈沖的譜，三角脈沖的譜下降得更快，因此可更有效地減少混疊。與矩形脈沖同樣的是，它也降低了F(s)中低于fN部分的能量。38第38頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.7.2過采樣用小的采樣間隔使折返頻率fN遠遠落在高邊帶。這樣，即使混疊污染了頻譜的高頻部分，對我們感興趣的數據也基本上無影響。截取窗口足夠大，對信號頻譜造成的影響最小。sG(s)0這部分高頻折疊部分不要了39第39頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四12.8線性濾波的數字實現可以在時（空）域或頻域（變換域）來實現。線性系統輸入f(t)輸出g(t)響應h(t)輸入F(s)輸出G(s)傳遞函數H(s)12.8.1卷積濾波對f(t)和h(t)采樣使其頻譜變成周期性的。若兩個信號都以同樣間距t進行采樣，它們的頻譜將具有相同的周期1/t。采樣后信號的卷積，使頻域中兩個頻譜相乘得到G(s)，那么G(s)也是頻率為t的周期函數。當對g(t)內插時，它的頻譜減為位于原點的一個復制品。如果f(t)