2023xxx2023xxxx020xx第課

指數(shù)函數(shù)及其質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪的大小及解不等式．點(diǎn))通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具，并能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)研究一些實(shí)際問(wèn)題．點(diǎn))作探究難]利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小比較下列各組數(shù)的大小：(1)1.51.5；和－；(3)1.7

和0.9；a與aa≠1).](1)1.5,1.5可看作函數(shù)＝1.5兩個(gè)函數(shù)值，由于底數(shù)，所以函數(shù)＝1.5在R是增函數(shù)，因?yàn)樗?.5<1.5.

可看作函數(shù)＝0.6的個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)＝0.6在R是減函數(shù)，且－，以.由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，＝1，所以1.7>0.9.當(dāng)a>1，＝a在R上增函數(shù)，故a>a；當(dāng)時(shí)＝a在R上是減函數(shù)，故a<a.規(guī)律方法]比較冪的大小的方法1底數(shù)冪比較大小時(shí)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性比較2數(shù)相同底數(shù)不同時(shí)分別畫(huà)出以兩冪底數(shù)為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象，當(dāng)取相同冪指數(shù)時(shí)可觀察出函數(shù)值的大小3底、指數(shù)都不相同時(shí)，取與其中一底數(shù)相同與另一指數(shù)相同的冪與兩數(shù)比較，或借助“1”與兩數(shù)比較4底數(shù)含參數(shù)時(shí)，要按底數(shù)a>1和種情況分類討論1

423334332343x33x3322343343x2423334332343x33x3322343343x2跟蹤訓(xùn)練]12

133321．比較下列各值的大小：，2，－，.]先根據(jù)冪的特征，將4個(gè)數(shù)分類：2負(fù)數(shù)：－大1的數(shù)：

43

13

123，2大0小于1的數(shù)：.11244中，<2<2可在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出＝＝2的12圖象，再分別取＝，x＝比較對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，如圖3311323故有－<<<2.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式不等式

12

3x1

≤2；已知a

2x

－

＋

1

<a

6

，a，求x取值范圍]∵2

12

－

1

，∴原不等式可以轉(zhuǎn)化為

12

3x1≤

12

－

1

.1∵y＝在R上減函數(shù)，≥－1，≥0故原不等式的解集是≥0}分情況討論：2

x22x22x1x1>axxx22x22x1x1>axx①當(dāng)時(shí)函數(shù)

，a在R上是減函數(shù)，∴x

－3x＋1>x＋6，∴x

－4x，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象可得或；②當(dāng)a>1，函數(shù)，aR是增函數(shù)，∴x－3x＋1<x＋6∴x，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象可得－1<x<5.綜上所述，當(dāng)時(shí)或當(dāng)a>1，－1<x<5.規(guī)律方法]跟蹤訓(xùn)練]2．若a＋>

1a

5且a，求x的值范圍．]因?yàn)閍

>

1a

5

－

3x，所以a

＋1－5

，當(dāng)a>1，＝a為函數(shù)，可得＋1>3x－5所以；當(dāng)時(shí)y＝a為減函數(shù)，可得x＋1<3x－5所以x>3.綜上，當(dāng)a>1，x的取值范圍為；當(dāng)時(shí)x的值范圍為＋．指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用探究問(wèn)題]21．函數(shù)

12

x

1

的單調(diào)區(qū)間是什么？3

t222x2x2u232u32222u3u33－x2ut222x2x2u232u32222u3u33－x2u1提示因?yàn)楹瘮?shù)y＝在，上單調(diào)遞減，函－2x＋1在，2x－2x1上單調(diào)遞減，在(＋上單調(diào)遞增，所以復(fù)合函數(shù)上單調(diào)遞增，在(＋上單調(diào)遞減．2

12

在，2．函數(shù)＝a

－

x

，且a的單調(diào)性與y＝－x的調(diào)性存在怎樣的關(guān)系？2提示：分兩類：當(dāng)，函數(shù)－的單調(diào)性與＝－x的單調(diào)性一致；2當(dāng)，函數(shù)y＝a的單調(diào)性與＝－x單調(diào)性相反．判斷

13

2x

2x

的單調(diào)性，并求其值域1思路探究：令＝x函u單調(diào)性數(shù)＝的單調(diào)性同增異減函fx的調(diào)性]令u＝x

1－2x，則原函數(shù)變?yōu)椋?∵u＝x

－2x－1)

－1在∞遞減，在[＋上遞增，又∵＝

13

u在∞，＋上遞減，∴y＝

13

2x

－

2x

在∞上增，在[，＋上遞減．∵u＝x－2x≥－1，1∴y＝，u－1＋，11∴0<≤

－

1

＝3，∴原函數(shù)的值域?yàn)?母題探究：把例的函數(shù)改為“

2x＋2x”，求其單調(diào)區(qū)間．]函數(shù)

－

2

的定義域是R.令u＝－x＋2x，.4

2ux2u－－22fxux12ux2u－－22fxux10x當(dāng)－∞時(shí)，函數(shù)u＝－x＋2x為函數(shù)，函數(shù)＝2是增函數(shù)，所以函數(shù)＝2

－

2

＋

2x

在∞是增函數(shù)．當(dāng)＋時(shí)，函數(shù)u＝為函數(shù)，函數(shù)＝2是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝2

2x2x

在[，＋上是減函數(shù)．綜上，函數(shù)y＝2

2x2x

的單調(diào)減區(qū)間是[＋，單調(diào)增區(qū)間是－∞．2．把本例函數(shù)改為“

13

ax，且最大值”，求a的值．]令

，則

13

，由于最大值為9所以的最小值為－①當(dāng)a＝0時(shí)，

13

－

，無(wú)最大值．②當(dāng)a≠0時(shí)，由題意可知，－4＝－2，4a

1解得，21所以，當(dāng)最大值為時(shí)，a的值為.2規(guī)律方法]函數(shù)

fx

≠1單調(diào)性的處理技巧1于指數(shù)型函數(shù)，a≠1單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底a>1還是；二是f單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)＝a，ux復(fù)而成.2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解uu＝，過(guò)考查fu和單調(diào)性，求出的單調(diào)性.堂達(dá)標(biāo)基]1．若2

＋1

，則x的值范圍是()A－1,1)C，＋∞)

B－1，＋∞)D－∞，D

∵2＝2且y＝2是增數(shù)，，5

3232xxxx9222232223232xxxx9222232222．下列判斷正確的是()A．1.7＞1.72

B

＜0.8C＜π

D．0.9＞0.9D

＝0.9在義域上是減函數(shù)，，∴0.9＞0.9.]3．函數(shù)＝

12

1x

的單調(diào)增區(qū)間為()AC，∞)

B，＋∞)D．(0,1)A

令＝1－x，在R上減函數(shù)，＝

12

是減函數(shù)，＝

12

1

－x在R上調(diào)遞增，故選A.]4．已a(bǔ)＝

5－12

，函，若實(shí)m滿足，則m，n的小關(guān)系為_(kāi)_______.m<n

∵a＝

5－12

，在R