本文格式為Word版，下載可任意編輯——華中師范大學2023年隨機過程試題A卷附答案

----------------學號：--------------線：姓名學生------封-：年級------------------密--專業：----------------：）院（系華中師范大學2023–2023學年第1學期期末考試試卷（A卷答案）課程名稱應用隨機過程課程編號83610101任課教師李波題型一二三四五總分分值1026302410100得分得分評閱人一、判斷題：（共5題，每題2分）1．隨機過程X(t,?)固定?時可以看成是一個t的函數，稱為過程的一個軌道。（T）2．泊松過程是連續時間馬氏鏈，是純生過程的一個特例。（T）3．有限狀態的馬氏鏈狀態的一個狀態i假使正常返就是遍歷。（F）4．零均值獨立隨機變量序列的部分和是鞅。（T）5．設Bt是標準布朗運動，則Yt?tBt也是標準布朗運動。（F）得分評閱人二、證明題：（共3題，6、7題8分8題10分，）6．14．設X1(t)和X2(t)是分別具有參數?1和?2的相互獨立的泊松過程，證明（1）Y(t)?X1(t)?X2(t)是具有參數?1+?2的泊松過程；（2）證明Z(t)?X1(t)?X2(t)不是泊松過程。證明(1)顯然{Y(t)}是獨立增量過程，且P{Y(t??)?Y(t)?n}=P{X1(t??)?X2(t??)?X1(t)?X2(t)?n}

?P{X1(t??)?X1(t)?X2(t??)?X2(t)?n}=?i?0nP{X2(t??)?X2(t)?n?i}?P{X1(t??)?X1(t)?i}??1?=?i?0ne(?1?)i(?2?)n?i??2???e?i!(n?i)!=e?(?1??2)?((?1??2)?)n故{Y(t)}聽從參數(?1??2)的泊松過程。5分n!（2）EZ(t)?E[X1(t)?X2(t)]?EX1(t)?EX2(t)?(?1??2)t,DZ(t)?D[X1(t)?X2(t)]?DX1(t)?DX2(t)?(?1??2)t由于EZ(t)?DZ(t)，故Z(t)不是泊松過程。8分7.設X(n)?sinUn,n?N，這里U為(0,2?)上的均勻分布。證明X(n)?sinUn是寬平穩過程。EX(n)??2?0sintn1dt?03分2?EX(n)X(n??)??2?02?11sin(tn)sin[(n??)t]dt??{cos[(2n??)t]?cos[?t]}dt02?2???cos[?t]02?1dt只與?有關。所以是寬平穩過程。8分2?8．設Zi,i?1,2,...為一串獨立同分布的離散隨機變量，P(Zi?k)?pk,nk?0,1,2,...記Xn??Zi，X0?0試證Xn為馬氏鏈，寫出Xn的狀態空間和轉移矩陣。i?1證明：獨立增量所以馬氏狀態空間{0,1,2,}5分?p0??0?0轉移矩陣P????0???p1p000p2p1p00p3p2p1p0?????8分?p1????第1頁(共3頁)

密封線得分評閱人三、計算題：（共3題，每題10分）9．某網站以顧客的接入時長收費，每單位時間一元錢。假設顧客以強度?的Poisson過程N(t)進入該網站，進入即開始計算使用時長，試計算該網站(0,t]收益的期望。解：由題意設顧客的到達時間為?i，則使用時長為t??iN(t)總收費為S(t)?N(t)k?1?(t??k?1k)N(t)k?1E(S(t))?E{?(t??k)}?E{E[?(t??k)|N(t)]}N(t)k?1nE[?(t??k)|N(t)?n]?nt?E[??k|N(t)?n]k?1由定理在N(t)=n條件下n個?k的聯合分布等價與[0,t]上n個相互獨立聽從均勻分布的隨機變量t1nt的聯合分布。所以可計算E[??k|N(t)?n]?E[?Uk]?n?xdx?0t2k?1k?1nnt2?ntt?E(S(t))??(nt?)P{N(t)?n}??nP{N(t)?n}?222n?1n?1?11．設河流每年的BOD（生物耗氧量）濃度為齊次Markov鏈，狀態空間I={1，2，3}，是按BOD濃度為低，中，高分別表示的，BOD濃度高時河流視為被污染，其一步轉移概率矩陣（以一年為單位）為?0.90.050.05???0.1P=0.10.8????0.20.10.7??1）求該Markov鏈的平穩分布2)求河流再次達到污染的平均時間（即狀態3的平均返回時間）。解：1）易知此Markov鏈式遍歷的，則平穩分布存在，由定理可得方程組??1?0.9?1?0.1?2?0.2?3???0.05??0.8??0.1??2123???0.05??0.1??0.7?123?3??1??2??3?1?解上述方程組得平穩分布為

?1=1034=0.5882?2==0.23594?3==0.17647…………8分17171717=5.667年……10分32）狀態3的平均返回時間u3=11.分支過程中一個體產生后代的分布為p0?數的均值方差及全體消亡概率。解：Xn?111,p1?,p2?,初始為一個母體，試求第n代個424?Zi?1Xn?1iE(Xn)??E(Xn?1)??nDXn?DZ?n{1???EXn?1,DXn?1412n214?n?1}=nDZ5分?(s)?s??s?s2,解得消亡概率為s?110分得分評閱人四、綜合題：（共2題，每題12分）12機器維修問題。用狀態0表示機器正常工作，用狀態1表示機器出現故障。正常工作時間(壽命)聽從參數為?的指數分布，維修時間同樣聽從參數為?的指數分布。求Q矩陣，分別求向前向后方程，求初始正常t＝5時正常的概率，求該過程的平穩分布。解：由題意有??p01(h)??h?o(h)?????P?(t)?P(t)QQ?????????p10(h)??h?o(h)?(t)???p00(t)??p01(t)??(???)p00(t)??p00p00(t)?????e?(???)t?????第2頁(共3頁)

limp00(t)?t????????0?limp10(t)t??密封線limp11(t)?t????????0?limp01(t)t??平穩分布?0??0?則在t時刻?????1??0?????P(X5?0|X0?0)?p00(5)??0??0e?5(???)13．用數學語言描述布朗運動的主要性質，并對一維布朗運動Bt計算E(BtBs)，E(Bt4)，解：布朗運動有好多好性質譬如布朗運動是時齊的獨立增量過程，也是時齊的馬氏過程。布朗運動具有平穩增量，且Bt?h?Bs?h的分布就是n維的正態分布N(0,(t-s)I).布朗運動是鞅（需寫出鞅性的表達式）布朗運動的數字特征有cov(Bs,Bt)?s?t等。布朗運動平移變換尺度變換后依舊是布朗運動等布朗運動的幾乎每條樣本軌道是連續的但對幾乎每條樣本軌道上的任意一點t0，其導數幾乎四處不存在。等等Bt~N(0,?2t)p(x)?12?t??4e?x2/2t?2E(B)=?x??4t12?t?e?x2/2t?2dx=2??t2?()=3?4t2423252E(BtBs)?s?t

得分評閱人五、論述題：（共1題，一題10分，）14．論述隨機過程遍歷性。可從依時間平均和依統計平均的概念、關系以及相等的條件入手。在此基礎上探討一兩個例題。如，X1(t)?acos(?t??)?（Y是方差大于零的隨機變量）的均值遍歷性1）思路如下：1.隨機過程概念，一族隨機變量2.依時間平均和依統計平均的解釋3.平穩性和狀態歷經性4.均值遍歷定理2）先驗證X1(t),X2(t)都具有平穩性。U(0,2?),??0,???t???和X2(t)?Y2Ta22??a2(1?cos2?T)(cos???cos??)d???2T?02T4?2T20