專題5.3銳角三角形一、單項選擇題1．如圖，在中，，，，則等于（）A.B.C.D.【根源】湖北省孝感市2018年中考數學試題【答案】A點睛：本題主要考察銳角三角函數的定義，解題的重點是掌握勾股定理及正弦函數的定義．2．的值等于（）A.B.C.1D.【根源】天津市2018年中考數學試題【答案】B【分析】剖析：依據特別角的三角函數值直接求解即可．詳解：cos30°=．應選：B．點睛：本題考察特別角的三角函數值的記憶狀況．特別角三角函數值計算在中考取常常出現，要嫻熟掌握．3．一輛小車沿著如下圖的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上漲了15米．在用科學計算器求坡角α的度數時，詳細按鍵次序是（）A.B.C.D.【根源】山東省淄博市2018年中考數學試題【答案】A點睛：本題考察了計算器﹣三角函數：正確使用計算器，一般狀況下，三角函數值直接能夠求出，已知三角函數值求角需要用第二功能鍵．4．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長度之比為（）A.B.C.D.【根源】浙江省金華市2018年中考數學試題【答案】B【分析】剖析：在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題；詳解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，應選B．點睛：本題考察解直角三角形的應用、銳角三角函數等知識，解題的重點是學會利用參數解決問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，則2（）A.B.C.D.【根源】湖南省婁底市2018年中考數學試題【答案】D【點睛】本題考察認識直角三角形的應用，依據題意求出直角三角形的三邊長是解題的重點.6．如圖，旗桿及升旗臺的剖面和教課樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂直，在教課樓底部E點處測得旗桿頂端的仰角，升旗臺底部到教課樓底部的距離米，升旗臺坡面CD的坡度，坡長米，若旗桿底部到坡面CD的水平距離米，則旗桿AB的高度約為（）（參照數據：，，）米米米米【根源】【全國省級聯考】2018年重慶市中考數學試卷（A卷）【答案】B3【分析】【剖析】延伸AB交地面于點H，作CM⊥DE，易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°=，求得AH長即可得.【點睛】本題考察認識直角三角形的應用，增添協助線結構直角三角形，從圖中提取有關信息是解題的關鍵.二、填空題7．如圖．一-艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行,在處測得島礁在東北方向上，持續航行1．5小時后抵達處此時測得島礁在北偏東方向,同時測得島礁正東方向上的避風港在北偏東方向為了在臺風到來以前用最短時間抵達處,漁船馬上加快以75海里/小時的速度持續航行____________小時即可抵達(結果保存根號)4【根源】山東省濰坊市2018年中考數學試題【答案】.詳解：如圖，過點P作PQ⊥AB交AB延伸線于點Q，過點M作MN⊥AB交AB延伸線于點N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，則AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），因此BQ=PQ-90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，則BQ=PQ?tan30°=PQ（海里），因此PQ-90=PQ，因此PQ=45（3+）（海里）因此MN=PQ=45（3+）（海里）在直角△BMN中，∠MBN=30°，因此BM=2MN=90（3+）（海里）因此（小時）故答案是：．點睛：本題考察的是解直角三角形的應用，本題是一道方向角問題，聯合航海中的實質問題，將解直角三角形的有關知識有機聯合，表現了數學應用于實質生活的思想．8．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，則sinB=______．【根源】山東省濱州市2018年中考數學試題5【答案】點睛：本題主要考察了銳角三角函數關系，正確表示各邊長是解題重點．9．如圖。在的正方形方格圖形中，小正方形的極點稱為格點.的極點都在格點上,則的正弦值是__________．【根源】山東省德州市2018年中考數學試題【答案】點睛：本題考察的是勾股定理以及銳角三角函數，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和必定等于斜邊長的平方是解答本題的重點．三、解答題610．由我國完整自主設計、自主建筑的首艘國產航母于2018年5月成功達成第一次海上試驗任務.如圖，航母由西向東航行，抵達處時，測得小島位于它的北偏東方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后抵達B處，測得小島位于它的北偏東方向.假如航母持續航行至小島的正南方向的處，求還需航行的距離的長.（參照數據：，，，，，）【根源】四川省成都市2018年中考數學試題【答案】還需要航行的距離的長為20.4海里.點睛：本題考察認識直角三角形的應用-方向角問題，三角函數的應用；求出CD的長度是解決問題的重點．11．某游玩場一轉角滑梯如下圖，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，點E在線段BD上，在C點測得點A的仰角為30°，點E的俯角也為30°，測得B、E間距離為10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（結果保存根號）7【根源】四川省宜賓市2018年中考數學試題【答案】立柱CD的高為（15﹣）米．【分析】剖析：作CH⊥AB于H，獲得BD=CH，設CD=x米，依據正切的定義分別用x表示出HC、ED，依據正切的定義列出方程，解方程即可．詳解：作CH⊥AB于H，則四邊形HBDC為矩形，BD=CH，由題意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，8點睛：本題考察的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數的觀點、仰角俯角的定義是解題的重點．12．圖1是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門構成，整個活頁門的右軸固定在門框上，經過推進左邊活頁門開關；圖2是其俯視圖簡化表示圖，已知軌道,兩扇活頁門的寬,點固定，當點在上左右運動時，與的長度不變(全部結果保存小數點后一位).(1)若,求的長；當點從點向右運動60時，求點在此過程中運動的路徑長.（參照數據：sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,π取3.14）圖1圖2【根源】江西省2018年中等學校招生考試數學試題【答案】（1）43.2cm.（2）62.8cm.【分析】【剖析】（1）如圖，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中，由cos∠OBC=，求得BH的長，再依據AC=AB－2BH即可求得AC的長；（2）由題意可知△OBC是等邊三角形，由此即可求出弧OC的長，即點O在此過程中運動的路徑長.【詳解】（1）如圖，作OH⊥AB于H，92）∵AC=60，∴BC=60，∵OC=OB=60，∴OC=OB=BC=60，∴△OBC是等邊三角形，∴的長==2=62.8，∴點O在此過程中運動的路徑長約為62.8cm.【點睛】本題考察認識直角三角形的應用，等腰三角形的性質、等邊三角形的判斷與性質、弧長公式等，聯合題意正確畫出圖形是解題的重點.13．問題表現如圖1，在邊長為1的正方形網格中，連結格點、和、，與訂交于點，求的值.方法概括求一個銳角的三角函數值，我們常常需要找出（或結構出）一個直角三角形.察看發現問題中不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題.比方連結格點、，可得，則，連結，那么就變換到中.10問題解決（1）直接寫出圖1中的值為_________；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網格中，與訂交于點，求的值；思想拓展（3）如圖3，，，點在上，且，延伸到，使，連結交的延伸線于點，用上述方法結構網格求的度數.【根源】江蘇省揚州市2018年中考數學試題【答案】（1）看法析；（2）；（3）詳解：（1）如圖進行結構由勾股定理得：DM=，MN=,DN=∵()2+()2=()2222∴DM+MN=DN∴△DMN是直角三角形.MN∥EC∴∠CPN=∠DNM,11∵tan∠DNM=,∴=2.點睛：本題考察了非直角三角形中銳角三角函數值的求法.求一個銳角的三角函數值，我們常常需要找出（或結構出）一個直角三角形是解題的重點.14．如圖，為了丈量建筑物的高度，在處建立標桿，標桿的高是.在上選用觀察點、，從測得標桿和建筑物的頂部、的仰角分別為、，從測得、的仰角分別為、.求建筑物的高度（精準到）.（參照數據：，，.）【根源】江蘇省南京市2018年中考數學試卷【答案】建筑物的高度約為.【分析】剖析：在中,用三角函數表示DE的長度,在中，用三角函數表示出DF的長度,從而獲得,同理得,成立等量關系,求出即可.詳解：在中，，12點睛：本題主要考察了仰角與俯角問題，根結構兩個直角三角形求解．考察了學生讀圖結構關系的能力.15．如圖是某市一座人行天橋的表示圖，天橋離地面的高是米，坡面的傾斜角，在距點米處有一建筑物.為了方便行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面的傾斜角，若新坡面下處與建筑物之間需留下起碼米寬的人行道，問該建筑物能否需要拆掉（計算最后結果保存一位小數）.（參照數據：，）【根源】貴州省安順市2018年中考數學試題【答案】該建筑物需要拆掉.【分析】剖析：依據正切的定義分別求出AB、DB的長，聯合圖形求出DH，比較即可．詳解：由題意得，米，米，在中，，∴，在中，，13∴，∴（米），∵米米，∴該建筑物需要拆掉.點睛：本題考察的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握銳角三角函數的定義、熟記特別角的三角函數值是解題的重點．16．跟著中國經濟的快速發展以及科技水平的飛快提升，中國高鐵正快速興起.高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式.如圖，，兩地被大山隔斷，由地到地需要繞行地，若打通穿山地道，建成，兩地的直抵高鐵，能夠縮短從地到地的行程.已知：，，公里，求地道打通后與打通前對比，從地到地的行程將約縮短多少公里？（參照數據：，）【根源】2018年甘肅省武威市（涼州區）中考數學試題【答案】地道打通后與打通前對比，從A地到B地的行程將約縮短224公里．答：地道打通后與打通前對比，從A地到B地的行程將約縮短224公里．14【評論】考察解直角三角形，結構直角三角形是解題的重點.17．如圖,兩座建筑物的水平距離為.從點測得點的仰角為53°,從點測得點的俯角為37°,求兩座建筑物的高度(參照數據:【根源】山東省德州市2018年中考數學試題【答案】建筑物的高度為.建筑物的高度為.【分析】剖析：過點D作⊥于于，則==60．在Rt△中，求出．在Rt△中求出即DEABEDEBCmABCABADEAE可解決問題．15點睛：本題考察的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，依據題意作出協助線，結構出直角三角形是解答本題的重點．18．如圖1，滑動調理式遮陽傘的立柱垂直于地面，為立柱上的滑動調理點，傘體的截面表示圖為，為中點，，，，.當點位于初始地點時，點與重合（圖2）.依據生活經驗，當太陽光芒與垂直時，遮陽成效最正確.（1）上午10:00時，太陽光芒與地面的夾角為（圖3），為使遮陽成效最正確，點需從上浮多少距離？（結果精準到）（2）正午12:00時，太陽光芒與地面垂直（圖4），為使遮陽成效最正確，點在（1）的基礎上還需上浮多少距離？（結果精準到）（參照數據：，，，，）【根源】2018年浙江省舟山市中考數學試題【答案】（1）點需從上浮；（2）點在（1）的基礎上還需上浮.【解答】（1）如圖2，當點位于初始地點時，.如圖3，10:00時，太陽光芒與地面的夾角為，點上浮至處，，，∴，∴.∵，∴.16∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即點需從上浮.【評論】考察等腰三角形的性質，解直角三角形，嫻熟運用三角函數是解題的重點.能夠數形聯合.1719．為了丈量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直擱置標桿CD，并在地面上水平擱置個平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如下圖.該小組在標桿的F處經過平面鏡E恰巧觀察到旗桿頂A(此時∠AEB=∠FED).在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3°，平面鏡E的俯角為45°，FD=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米?(結果保存整數)(參照數據：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)【根源】安徽省2018年中考數學試題【答案】旗桿AB高約18米.答：旗桿AB高約18米.18【點睛】本題考察認識直角三角形的應用，相像三角形的判斷與性質，獲得是解題的重點.20．“五?一”時期，小明到小陳家所在的漂亮農村游玩，在村頭A處小明接到小陳發來的定位，發現小陳家C在自己的北偏東45°方向，于是沿河畔筆挺的綠道l步行200米抵達B處，這時定位顯示小陳家C在自己的北偏東30°方向，如下圖，依據以上信息和下邊的對話，請你幫小明算一算他還需沿綠道持續直走多少米才能抵達橋頭D處（精準到1米）（備用數據：≈1.414，≈1.732）【根源】浙江省衢州市2018年中考數學試卷【答案】小明還需沿綠道持續直走73米才能抵達橋頭D處．【分析】剖析：依據題意表示出AD，DC的長，從而得出等式求出答案．詳解：如下圖：答：小明還需沿綠道持續直走73米才能抵達橋頭D處．19點睛：本題主要考察認識直角三角形的應用，正確得出AD=DC是解題的重點．21．如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測得乙的頂部處的俯角為，測得底部處的俯角為，求甲、乙建筑物的高度和（結果取整數）.參照數據：，.【根源】天津市2018年中考數學試題【答案】甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.【分析】剖析：第一剖析圖形：依據題意結構直角三角形；本題波及兩個直角三角形，應利用其公共邊構造關系式，從而可求出答案．詳解：如圖，過點作，垂足為.在中，，∴.20∴.∴.答：甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為.點睛：本題考察解直角三角形的應用--仰角俯角問題，第一結構直角三角形，再借助角邊關系、三角函數的定義解題，難度一般．22．如圖1，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連