考點規范練25平面向量的應用基礎穩固組sin??+cos??1.已知a=(3,4),b=(sinθ,cosθ),若a∥b,則sin??-cos??=( )1C.-1D.-7A.7B.77答案D3sin??+cos??tan??+13==+1分析因為a∥b,因此3cosθ-4sinθ=0,即tanθ=,因此sin??-cos??tan??-143=-7.應選D.4-142.已知|a|=2|b|,|b|≠0,且對于x的方程x2+|a|x-a·b=0有兩個相等的實數根,則向量a與b的夾角是()A.-πB.-πC.πD.2π6333答案D分析設向量a與b的夾角為θ.由已知可得=|a|2+4a·b=0,即4|b|2+4×2|b|2cosθ=0,∴cosθ=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π.33.在△ABC中,已知向量?????與????滿?足(??????????????????且??????????????????1+)·???????=0·=,則△ABC為|?????????||?????????||?????????||?????????|2( )A三邊均不相等的三角形B直角三角形..C等腰非等邊三角形D等邊三角形..答案D分析設∠BAC的角均分線為AD,則??????????????????AD⊥BC,∴△ABC為等腰三角形.+=?????????由.已知得|?????????||?????????|??????????????????11又·,即cosA=,∴A=60°,∴△ABC為等邊三角形.應選D.=22|?????????||?????????|4.在△ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于點D,E,F分別為AB,AC的中點,若??????·?????=?6,則BC=( )1A.2√13B.10C.2√37D.14答案A分析令BC=a,則由條件可知,??????·???????=1112(??????+?????)·(???????+???????)=(?????·?????+242???????)=6.2??????????????(-?????)=2422???????-①,又在Rt△ADC,Rt△ADB中有??????+??????=64②,(?????-222???????)+?????=36③,聯立①②③解得??????=52.∴a=2√13.應選A.??????5.已知三個向量m=(??,cos2),n=(??,cos2),p=(??,cos2)共線,此中a,b,c,A,B,C分別是△ABC的三條邊及相對三個角,則△ABC的形狀是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案B分析∵m=(??,cos??與n=(??,cos??共線,??=bcos??由正弦定理,得??=sinBcos??2)2)∴acos22.sinAcos22.sin2sin????2sin????∵cos,sincos,A=22B=2??22sin??????????∴coscos2sin2coscos,222=22化簡,得sin??sin????2=2.????π??π又0<2<2,0<2<2,∴2=2,可得A=B.同理,由n=(??,cos??,cos??,)與p()共線獲得2=??2B=C∴在△ABC中,A=B=C,可得△ABC是等邊三角形.應選B.6.(2017北京高考)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則??????·??????的?最大值為.答案6分析?·??????·???cosθ≤???·???≤2(21)6因此最大值是6??????????=|???||????||???||????|×+=..7.平面上有三個點A(-2,y),B(0,??,y),若???⊥??,?則動點C的軌跡方程2Cx????????為.答案28(x≠0)y=x????分析由題意得???????=(2,-2),???????=(??,2).又???????⊥??????,?因此???????·??????=?0,即(2,-??·,??0,化簡得2=8x(x≠0).2)(??2)=y28.在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若?????·?????=0,則點A的橫坐標為.答案3分析由題意可知,點D在以AB為直徑的圓上,因此∠ADB=90°,即BD⊥AD,因此k·k=-1.ADBDADBD1又因為A,D均在直線y=2x上,k=2,因此k=-2.15又因為B(5,0),因此BD的直線方程為y=-2x+2.??=2??,??=1,因此D(1,2).聯立{??=-1??+5,解得{??=2.22設A(a,2a),則C(??+5,??).2則???????=(5-a,-2a),??????=??+3,2-??).(-2由???????·????=?0,得-(5-a)(??+32)-2a(2-a)=0,整理得a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.因為點A在第一象限,則a>0,即a=3,即點A的橫坐標為3.能力提高組9.已知函數f()sin(πx+φ)的部分圖象如下圖,點,是該圖象與x軸的交點,過點C的直線x=BC與該圖象交于,兩點,則(???+??)?·(???-??)?的值為()DE???????????????A.-11B.-2C.1D.22答案D分析f()sin(πx+φ)的周期為2???1.D,E對于點C對稱,∴C是線段的中點,∴x=.∴|????|=DE(?????+????)?·(?????-2?????)?=2?????·(?????+????)?=2?????=2.應選D.110.已知△ABD是等邊三角形,且?????+2??????=?????,|???????|=√3,那么四邊形ABCD的面積為( )A.√2339B.2√3C.3√3D.2√3答案B31分析如下圖,???????=???????-???????=2???????-??????,212∴????-??????????,)?=(2??????122即3=4???????+???????-???????·?????.∵|???????|=|??????|,∴52-|???????||??????|cos60°=3.4|????|?∴|????|=?2.又?????=?????-?????=1????,?21222∴|???????|=2|???????|=1.∴|?????|+|??????|=|???????|.∴BC⊥CD.∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=1×2×sin60°+1××3應選B.2221√3=2√3,11.設P為△ABC所在平面上一點,且知足3???????+4???????=m???????(m>0).若△ABP的面積為8,則△ABC的面積為()A.7B.8C.14D.16答案C分析由34??34??3???????+4?????=m????得??????+7?????=???????,設???????=???????+???????=??????,(如圖所77777|?????????|4示)于是可得點D在邊AC上,???????∥?????,且3???????=4??????,則=,由???????∥???????,因此|?????????|7△ABP△ABD△ABD8??△??????|????|?????=S=SS=.??|?????????|△??????因此8=4,則△ABC14??7S=.△??????12.在△中,D是中點,,,則???·??等?于( )ABCBCAD=mBC=n????????212212A.m-nB.m+n44122122C.m+nD.m-n444答案A?????????)·(??????+???????)=(???????+分析由已知BD=DC=,???????=-??????????????,·???????=(?????+2222??2212???????)·(?????-???????)=???????-???=m-(2)=m-n.應選A.????42F,過點(-2,0)213.設拋物線C:y=4x的焦點為且斜率為3的直線與C交于M,N兩點,則?????·???????=()A.5B.6C.7D.8答案D??=2分析依據題意,過點(-2,0)且斜率為223(??+2),與拋物線方程聯立{3的直線方程為y=3(x+2),消元整理得,y2-6y+8=0,解得M(1,2),??2=4??,N(4,4),又F(1,0),因此??????=(0,2),???????=(3,4),則?????·???????=0×3+2×4=8,應選D.14.已知△ABC的面積是4,∠BAC=120°,點P知足???????=3???????,過點P作邊AB,AC所在直線的垂線,垂足分別是M,N.則???????·???????=.答案3√38分析不如令△ABC為等腰三角形,∵∠BAC=120°,30°,△ABC1sin4,22162222cos48163.a2√3.√3∵???????=3????,?∴|???????|=1|?????,|???????|=3|???3??.4????|=44????|=4過點P作邊,所在直線的垂線,垂足分別是,,ABACMN3????故|???????|=|??????|·sinB=8,|???????|=|???????|sinC=8.∵∠180°60°,MPN=-A=3????13??2=3√33√3∴???????·???????=|???????|·|???????|cos60°=8··=1288.故答案為8.82√315.在?ABCD中,∠BAD=60°,AB=1,AD=√3,P為?ABCD內一點,且AP=,若2???????=?????????+????????(λ,μ∈R),則λ+√3??的最大值為.答案1分析∵??????=?????????+?????????,?∴|??????|?2=(??????+????????)2,2√32222即(2)=λ|????|?+μ|????|?+2λ????????·??????.又AB=1,AD=√3,∠BAD=60°,√3∴???????·???????=|???????||???????|cos60°=2.53∴4=λ2+3μ2+√3????.233??+√3??2≤+.∴(λ+√3??)=+3()4√????42(λ+√3??)2≤1.∴λ+√3??的最大值為1μ=√3時取等號.1,當且僅當λ=,2616.(2017浙江高考)已知向量a,b知足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案42√5分析設向量a,b的夾角為θ,由余弦定理有:|a-b|=√12+22-2×1×2×cos??=√5-4cos??,|a+b|=√12+22-2×1×2×cos(π-??)=√5+4cos??,則|a+b|+|a-b|=√5+4cos??+√5-4cos??,令y=√5+4cos??+√5-4cos??,則y2=10+2√25-16cos2??∈[16,20],據此可得:(|a+b|+|a-b|)max=√20=2√5,(|a+b|+|a-b|)min=√16=4,即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是2√5.17.已知a=(2cosx,2sinx),b=(sin(??-ππ6),cos(??-6)),函數f(x)=cos<a,b>.求函數f(x)零點;(2)若銳角三角形ABC的三內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且f(A)=1,求??+????的取值范圍.解(1)由條件可知,a·b=2cosx·sin(??-π)2sin·cos(-π)2sin(2-π),6+x??6=??6∴f(x)=cos<a,b>==2sin(2??-π=sin(2??-π).??·??6)|??|·|??|26ππ??π+π,k∈Z.∴函數f(x)零點知足sin(2??-)0,由2=kπ,k∈Z,解得x=26=x-612(2)由正弦定理得??+??sin??+sin??f(x)=sin(2??-π),又( )1,即sin(2-π)1,??=sin??,由(1)6f6∴A=??=2π2ππ,k∈Z,又∈(0,π),π,A-6=k+2A∴A=32π??+??sin??+sin(2π-??)3sin??√3??∵A+B+C=π,=3=+cos=,∴C=3-B.代入上式化簡得??sin??22sin??√3sin(??+πππ2ππππππ2π)),又在銳角三角形ABC中,<sin??6=2sin(??+6有0<B<,∴0<C=-B<,∴<B<,3<B+,2326263π??+??則有√23<sin(??+6)≤1,即√3<??≤2.618.已知平面上必定點C(2,0)和直線l:x=8,P為該平面上一動點,作PQ⊥l,垂足為Q,且(???