第23講零點問題之三個零點1．已知函數，．（1）求的極值；（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍．【解答】解：（1）的定義域為，，當時，在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，當時，，所以無極值，當時，在上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值．（2）設，即，．①若，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，至多有兩個零點．②若，則，（僅（1），單調遞增，至多有一個零點．③若，則，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，要使有三個零點，必須有成立．由（1），得，這與矛盾，所以不可能有三個零點．④若，則．當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，要使有三個零點，必須有成立，由（1），得，由及，得，．并且，當時，，，，．綜上，使有三個零點的的取值范圍為．2．已知函數，．（1）求函數的單調區間和極值（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍．【解答】解：（1）函數的定義域，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故當時，函數取得極小值，沒有極大值，由）整理可得，令，則可得，易得當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，故時，函數取得最小值即，故原方程可轉化為，令，則，因為，易得當或時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故當時，函數取得極大值（1），當時，函數取得極小值（e），由題意可得，與個交點，則，解可得，，故的范圍．3．已知函數．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【解答】解：（1）．，時，，在遞增，時，令，解得：或，令，解得：，在遞增，在，遞減，在，遞增，綜上，時，在遞增，時，在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）得：，，，若有三個零點，只需，解得：，故．4．已知函數，，為的導函數．（1）討論的單調性，設的最小值為，并求證：；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數，，，，令，解得．可得函數在上單調遞減，在，上單調遞增．，①令，化為：，解得．時，，函數在上單調遞增．令，化為：，解得．時，；時，．存在，使得．可得：函數在單調遞增，在，上單調遞減，在，上單調遞增．綜上可得：時，函數在上單調遞增．時．函數在單調遞增，在，上單調遞減，在，上單調遞增．其中．②由上面可得：時，取得最小值，，令．，令，解得．．．（2）函數，，（2），不是函數的零點．由，化為：．令，可得．可得函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．（4）．畫出圖象：可得．的取值范圍是，．5．已知函數．（1）討論的單調性；（2）若恰有三個零點，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數，定義域為，，①當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，由，解得或，（ⅰ）當時，在上單調遞增；（ⅱ）當時，當，則，當時，，當時，，所以在，上單調遞增，在，上單調遞減，在上單調遞增；（ⅲ）當時，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在，上單調遞減，在，上單調遞增．綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在，上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在，上單調遞減，在，上單調遞增．（2）函數，則，即有一個零點0，令，要使有三個零點，只需要有兩個不為0的零點，若的零點為0，即，解得，此時有兩個零點，但有一個零點是0，此時只有兩個零點，故；又，①當時，，則在上單調遞增，故至多有一個零點，不合題意；②當且時，在上單調遞減，在上單調遞增，故，（ⅰ）當時，，故至多有一個零點，不合題意，舍去；（ⅱ）當且時，，因為，所以在上有唯一零點，由（1）知，當時，，則當且時，，所以在上有唯一零點，從而在上有兩個零點，此時有三個零點．綜上所述，恰有三個零點時的取值范圍是．6．已知函數．（1）當時，討論的單調性；（2）已知函數，記函數，若函數有三個零點，求實數的取值范圍．【解答】解：（1），令，得，當時，故函數在上單調遞減；當時，，故函數在上遞減，在上遞增；當時，，故函數在上遞減，在上遞增．（2）由已知在有且僅有一個零點，①當時，，由，得，此時有三個零點；②當時，，得，故函數在在上遞減，在上遞增，，當時，，故在，上僅有一個零點，若函數有有三個零點，則需滿足，解得；③當時，若，則為單調函數，所以函數至多有2個零點，不合題意，舍，若，故在至多有1一個零點，所以函數至多有2個零點，不合題意，舍，當（1），即時，函數至多有2個零點，不合題意，舍，當（1），即時，，函數恰有3個零點，符合題意，當（1），即時，，令，則，故在單調遞減，，即，此時函數有4個零點，不合題意，舍；綜上，實數的取值范圍是．7．已知函數．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）存在正實數使得函數有三個零點，求實數的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），（1分）①當時，恒成立，則在上單調遞增；（2分）②當時，得：．當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，（3分）綜上，時，的增區間為．時，的增區間為，減區間為．（4分）（Ⅱ）由題易知，即有三個解，，即僅有三解，設，，可得，即．（6分）設，則，得．時，，單調遞增，（5分），時，，單調遞減（同時注意時，，當時，恒成立，此時均符合條件；當時，由兩個根不妨設為，且．（7分）有兩根，不妨設為，則，則；容易分析出在，，單調遞增，，單調遞減，則當時，．（8分）這里需要求和的取值范圍．由上面分析可得，則．，．設，，；易知在上單調遞增，，則．．（10分）同理，．（11分）由上面分析在，單調遞減，且時，，．．綜上：．（12分）8．設函數，曲線在點，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【解答】（1）解：由，得，，即；（2）證明：法一、設為的一個零點，根據題意，，且，則，且，令，，當，，時，，當，時，可知在，，上單調遞減，在，上單調遞增．又，（1），，，．設為的零點，則必有，即，，得，即．所有零點的絕對值都不大于1．法二、由（1）可得，．，可得當，，時，，當，時，，則在，，上單調遞增，在，上單調遞減．且，，，（1），若的所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或（1）．即或．當時，，，，（1），又，由零點存在性定理可知，在上存在唯一一個零點．即在上存在唯一零點，在上不存在零點．此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；當時，，，，（1），又，由零點存在性定理可知，在上存在唯一一個零點．即在上存在唯一零點，在上不存在零點．此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾．綜上，所有零點的絕對值都不大于1．9．已知函數．（1）試討論的單調性；（2）設是與無關的常數，，當函數有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，，，，求的值．【解答】解：（1），當時，，則在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；當時，，單調遞增；當，即時，則在上，，單調遞增；在和上，，單調遞減；當，即時，則在上，，單調遞減；在和上，，單調遞增；當，即時，則在上，，單調遞減；在和上，，單調遞增；綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，單調遞增；當時，在上單調遞增，在和上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．（2）當，1時，函數有兩個極值和，若函數有三個不同的零點，即，因為，所以恒成立，又因為的取值范圍恰好是，所以令（a），恰有三個零點，若時，，即；當時，（a），的取值范圍是符合題意；當時，（a），即，的取值范圍是矛盾，所以．10．已知函數，．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）設，，，是函數的四個不同的零點，問是否存在實數，使得其中三個零點成等差數列？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（Ⅰ）函數，．；討論：（1）當時，，即：得：；若，即：時，不等式解集為：；若，即：時，不等式解集為：；（2）當時，，即：，若△，即：時，無解，若△，即：時，由，得：，又因為：，，不等式解集為：；綜上：（1）、（2）可知：當時，不等式的解集為：；當時，不等式的解集為：；（Ⅱ）存在使得其中三個零點成等差數列；因為：，函數有四個不同的零點，所以：△且，；不妨設：，則：，，①若，，，成等差數列，則：，此時，，不合題意②若，，，成等差數列，同①知不合題意③若，，，成等差數列，則：，所以：，，；或均舍去④若，，，成等差數列，則：，，，；所以：或（舍去）綜上可知：存在符合題意．11．設函數．討論的單調性；（Ⅱ）當時，討論的零點個數．【解答】解：．①當時，，當時，，當時，，當時，．在遞增②當時，令，得，此時．易知在遞增，，遞減，遞增③當時，．易知在遞增，遞減，，遞增（Ⅱ）當時，由知在上遞增，上遞減，，上遞增，且，將代入，得，，下面證明當時存在，使．首先，由不等式，，，．考慮到，．再令，可解出一個根為，，，，就取．則有．由零點存在定理及函數在上的單調性，可知在上有唯一的一個零點．由（1），，及的單調性，可知在上有唯一零點．下面證明在，上，存在，使，就取，則，，由不等式，則，即．根據零點存在定理及函數單調性知在，有一個零點．綜上可知，當時，共有3個零點．12．已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數的零點個數．【解答】解：（1）當時，，導數為，可得曲線在處的切線的斜率為，切點為，則方程為，即為．（2）顯然，函數的定義域為，，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則有最大值且（a）．當，即時，（a），于是，即，在上單調遞減，且（a），則只有一個零點．當，即時，（a），（1），令（a），則（a），所以（a）在，．上單調遞減，（a），即（1）．又（a），在上單調遞增，所以存在，使得，當時，，當時，，即當時，，當時，．另一方面，，又（a）且在上單調遞減，所以存在，使得，當時，，當時，，即當時，，當時，，因此，當時，，當時，，當時，，即在上單調遞減，在，上單調遞增，在，上單調遞減．由于（a），且，所以在，上有唯一零點，且，，又（1），所以在上有唯一零點，即在上有唯一零點，又，所以在，上有唯一零點，即在，上有唯一零點，故當時，函數有三個零點．綜上，當時，函數有一個零點；當時，函數有三個零點．13．已知函數．（1）若函數在處的切線方程為，求實數，；（2）若函數有三個零點，求的取值范圍．【解答】解：（1）由，得，函數在點處的切線斜率為，切線方程為，即，又函數在處的切線方程為，，解得；（2）已知，則，令，即，，可得當，，時，，當時，，函數在單調遞增，單調遞減，單調遞增，的極大值為，極小值為，要想函數有三個零點，則，即，解得．14．已知函數，對，，都有恒成立，且（2）．（1）求的解析式；（2）若函數，有三個零點，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數，對，，都有恒成立，令，，則（2），又（2），所以，令，則，所以；（2）函數，令，由題意，所以，當，方程有一根，當，方程有兩根，令，所以方程有兩不等實根，且，或，，記，所以的零點情況：①當，時，，解得；②當，時，，解得．綜上所述，的取值范圍為．15．已知，．（Ⅰ）討論在區間，上的單調性；（Ⅱ）若，且在，上有三個零點，求實數的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），，當，即，在，恒成立，所以在，上單調遞增，當，即，令，解得，若時，則在，恒成立，所以在，上單調遞增，若時，則當，時，，當，時，，所以，在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，在，恒成立，所以在，上單調遞減，綜上可知，當時，在，上單調遞增，當時，在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，在，上單調遞減；（Ⅱ）由題意可知，，則，整理得，所以，因為，（1），在，上有三個零點，所以在只有一個零點，且不單調，，由（Ⅰ）可知：當時，在，上單調遞增，，（1），所以存在，使得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，此時在，上有兩個零點，不符合題意；時，在，上單調遞減，同理可得在，上有兩個零點，不符合題意；當時，在，上單調遞減，在，上單調遞增，，令（a），（a），得，當時，（a），當時，（a），，即，又，（1），在只有一個零點，只需，，又，所以的取