2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題15集合專題（新定義）一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為（

）A．9 B．4 C．27 D．82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合且，已知集合，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2021秋·陜西安康·高一校考階段練習(xí)）設(shè)P，Q是兩個非空集合，定義，若，，則中元素的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．12 D．165．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）設(shè)集合的全集為，定義一種運(yùn)算，，若全集，，，則（

）A． B．C． D．6．（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）當(dāng)一個非空數(shù)集G滿足“如果a、，則、、，且時，”時，我們稱G是一個數(shù)域．以下四個關(guān)于數(shù)域的命題中真命題的個數(shù)是（

）①0是任何數(shù)域中的元素；②若數(shù)域G中有非零元素，則；③集合是一個數(shù)域；④有理數(shù)集Q是一個數(shù)域．A．1 B．2 C．3 D．47．（2022秋·北京房山·高一統(tǒng)考期中）已知U是非空數(shù)集，若非空集合A，B滿足以下三個條件，則稱為集合U的一種真分拆，并規(guī)定與為集合U的同一種真分拆．①；②；③A的元素個數(shù)不是A中的元素，B的元素個數(shù)不是B中的元素．則集合的真分拆的種數(shù)是（

）A．4 B．8 C．10 D．158．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）若一個位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合，集合，則真子集個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．89．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）若集合A同時具有以下三個性質(zhì)：（1），；（2）若，則；（3）若且，則．則稱A為“好集”．已知命題：①集合是好集；②對任意一個“好集”A，若，則．以下判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題10．（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習(xí)）對于集合M，定義函數(shù)，對于兩個集合，定義集合，，已知，，用表示有限集合中的元素個數(shù)，則對于任意集合，的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．211．（2022秋·天津和平·高一天津市匯文中學(xué)校考階段練習(xí)）若且就稱A是伙件關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．64 D．12812．（2022秋·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，對它的非空子集，可將中的每一個元素都乘以再求和（如，可求得和為：），則對的所有非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是（

）A．18 B．16 C．-18 D．-1613．（2023·全國·高三專題練習(xí)）含有有限個元素的數(shù)集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)．例如的交替和是；而的交替和是5，則集合的所有非空子集的交替和的總和為（

）A．32 B．64 C．80 D．19214．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，稱A為互斥集．若，且A為互斥集，則的最大值為（

）A． B． C． D．15．（2022·上海·高一專題練習(xí)）設(shè)X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中有限個元素的交集屬于τ．則稱τ是集合X上的一個拓?fù)洌阎蟈＝{a，b，c}，對于下面給出的四個集合τ：①τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{?，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥男蛱柺牵?/p>

）A．② B．①③ C．②④ D．②③16．（2022秋·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）定義集合運(yùn)算且稱為集合與集合的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合與集合的對稱差，有以下4個命題：①

②③

④則個命題中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、多選題17．（2022秋·江蘇蘇州·高一星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，其中，記為，即，以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)，屬于同一個類18．（2022秋·山西運(yùn)城·高一山西省運(yùn)城中學(xué)校期中）1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．滿足戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個最小元素C．M沒有最大元素，N沒有最小元素D．M有一個最大元素，N有一個最小元素19．（2022秋·四川眉山·高一校考階段練習(xí)）給定集合，若對于任意，，有，且，則稱集合A為閉集合，以下結(jié)論正確的是（

）A．集合為閉集合；B．集合為閉集合；C．集合為閉集合；D．若集合為閉集合，則為閉集合．三、填空題20．（2022秋·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)校考期中）設(shè)集合，若把集合的集合叫做集合的配集，則的配集有___________個.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于非空集合，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個條件：①A；②，則稱為的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合的“保均值真子集”有__個．22．（2020秋·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合，若，把的所有元素的乘積稱為的容量（若中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0）.若的容量為奇（偶）數(shù)，則稱為的奇（偶）子集，則的所有奇子集的容量之和為______.23．（2022秋·河北滄州·高一任丘市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于，若，且，則稱k是A的一個“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；對給定的集合，由S中的4個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________個．24．（2021秋·上海徐匯·高一位育中學(xué)校考階段練習(xí)）若一個非空數(shù)集滿足：對任意，有，，，且當(dāng)時，有，則稱為一個數(shù)域，以下命題中：（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域有非零元素，則；（3）集合為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域；真命題的個數(shù)為________25．（2022秋·北京·高一校考階段練習(xí)）已知集合，滿足：（1），；（2），若且，則；（3），若且，則.給出以下命題：①若集合中沒有最大數(shù)，則集合中有最小數(shù)；②若集合中沒有最大數(shù)，則集合中可能沒有最小數(shù)；③若集合中有最大數(shù)，則集合中沒有最小數(shù)；④若集合中有最大數(shù)，則集合中可能有最小數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是___________.26．（2022秋·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）用表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義，若，，且，若B中元素取最少個數(shù)時m=______.若B中元素取最多個數(shù)時，請寫出一個符合條件的集合B=______.27．（2022秋·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）對于集合，我們把稱為該集合的長度，設(shè)集合，且都是集合的子集，則集合的長度的最小值是_______．28．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)S、T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)滿足：（ⅰ）；（ⅱ）對任意，當(dāng)時，恒有．那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”．現(xiàn)給出以下3對集合：①，B為正整數(shù)集；②，；③，．其中，“保序同構(gòu)”的集合對的序號______．（寫出所有“保序同構(gòu)”的集合對的序號）四、解答題29．（2022秋·河北滄州·高一任丘市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知M是滿足下列條件的集合：①，；②若，則；③若且，則.（1）判斷是否正確，說明理由；（2）證明：；（3）證明：若，則且.30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中學(xué)校考期中）設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合為集合A的生成集．(1)當(dāng)時，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值．專題15集合專題（新定義）一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為（

）A．9 B．4 C．27 D．8【答案】C【分析】直接列舉可得.【詳解】當(dāng)時，集合B可以為；當(dāng)時，集合B可以為；當(dāng)時，集合B可以為；當(dāng)時，集合B可以為；當(dāng)時，集合B可以為；當(dāng)時，集合B可以為；當(dāng)時，集合B可以為；當(dāng)時，集合B可以為.故滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為27.故選：C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合且，已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合新定義即可求解.【詳解】因?yàn)榧锨遥怨蔬x：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的新定義求得，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)椋裕手性氐膫€數(shù)為.故選：B.4．（2021秋·陜西安康·高一校考階段練習(xí)）設(shè)P，Q是兩個非空集合，定義，若，，則中元素的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)集合新定義，利用列舉法寫出集合的元素即可得答案.【詳解】因?yàn)槎x，且，，所以，中元素的個數(shù)是12，故選：C.5．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）設(shè)集合的全集為，定義一種運(yùn)算，，若全集，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合M，求得，根據(jù)集合運(yùn)算新定義，即可求得答案.【詳解】由題意得，或，則，故選：C6．（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）當(dāng)一個非空數(shù)集G滿足“如果a、，則、、，且時，”時，我們稱G是一個數(shù)域．以下四個關(guān)于數(shù)域的命題中真命題的個數(shù)是（

）①0是任何數(shù)域中的元素；②若數(shù)域G中有非零元素，則；③集合是一個數(shù)域；④有理數(shù)集Q是一個數(shù)域．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)域定義逐一驗(yàn)證即可.【詳解】由定義可知，，即0是任何數(shù)域中的元素，①正確；若域G中有非零元素a，則，所以，，…，，②正確；記則，但，故③錯誤；易知任意兩個有理數(shù)的和差積仍是有理數(shù)，當(dāng)分母不為0時，兩個有理數(shù)的商仍為有理數(shù)，故④正確.故選：C7．（2022秋·北京房山·高一統(tǒng)考期中）已知U是非空數(shù)集，若非空集合A，B滿足以下三個條件，則稱為集合U的一種真分拆，并規(guī)定與為集合U的同一種真分拆．①；②；③A的元素個數(shù)不是A中的元素，B的元素個數(shù)不是B中的元素．則集合的真分拆的種數(shù)是（

）A．4 B．8 C．10 D．15【答案】A【分析】理解真分拆的定義，采用列舉法一一列出即可求解.【詳解】根據(jù)真分拆定義，當(dāng)集合只有一個元素時，有四個元素，此時只能是；當(dāng)集合有兩個元素時，有三個元素，此時包括、、，因?yàn)榕c為集合U的同一種真分拆，故只有四種真分拆.故選：A8．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）若一個位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合，集合，則真子集個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合集合交集的定義、真子集個數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題中定義可知，而，所以，因此真子集個數(shù)為，故選：C9．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）若集合A同時具有以下三個性質(zhì)：（1），；（2）若，則；（3）若且，則．則稱A為“好集”．已知命題：①集合是好集；②對任意一個“好集”A，若，則．以下判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】D【分析】根據(jù)“好集”的定義逐一判斷即可.【詳解】對于①，因?yàn)椋约喜皇呛眉盛馘e誤；對于②，因?yàn)榧蠟椤昂眉保裕裕盛谡_，所以①為假命題，②為真命題.故選：D.10．（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習(xí)）對于集合M，定義函數(shù)，對于兩個集合，定義集合，，已知，，用表示有限集合中的元素個數(shù)，則對于任意集合，的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先根據(jù)定義化簡，，再根據(jù)文恩圖確定+最小值取法，即得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋裕裕?，所以，當(dāng)元素個數(shù)最多且M中不含有A,B的元素之外的元素時，+最小，因?yàn)?所以當(dāng)時，+最小，為，故選：B11．（2022秋·天津和平·高一天津市匯文中學(xué)校考階段練習(xí)）若且就稱A是伙件關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．64 D．128【答案】A【分析】首先確定具有伙伴集合的元素有，，“和”，“和”四種可能，它們組成的非空子集的個數(shù)為即為所求.【詳解】因?yàn)椋唬唬唬贿@樣所求集合即由，，“和”，“和”這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個數(shù)為，故選:A.12．（2022秋·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，對它的非空子集，可將中的每一個元素都乘以再求和（如，可求得和為：），則對的所有非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是（

）A．18 B．16 C．-18 D．-16【答案】D【分析】由已知，先求解出集合的所有非空子集分別出現(xiàn)的次數(shù)，然后，再根據(jù)范例直接計(jì)算總和即可.【詳解】由已知，因?yàn)椋敲疵總€元素在集合的所有非空子集分別出現(xiàn)個，則對于的所有非空子集執(zhí)行乘以再求和的操作，則這些數(shù)的總和為：.故選：D.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）含有有限個元素的數(shù)集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)．例如的交替和是；而的交替和是5，則集合的所有非空子集的交替和的總和為（

）A．32 B．64 C．80 D．192【答案】D【分析】依次計(jì)算集合的所有非空子集的交替和的總和，然后歸納猜想出規(guī)律即可得．【詳解】集合的所有非空子集的交替和的總和為，集合的所有非空子集的交替和的總和為，集合的所有非空子集的交替和的總和為，集合的所有非空子集的交替和的總和為，由此猜測集合的所有非空子集的交替和的總和為，證明如下：將集合中所有的子集分為兩類：第一類，集合中無，第二類，集合中有這個元素，每類中集合的個數(shù)為我們在兩類集合之間建立如下一一對應(yīng)關(guān)系：第一類中集合對應(yīng)著第二類中集合，此時這兩個集合的交替和為，故集合的所有非空子集的交替和的總和為，所以．故選：D．14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，稱A為互斥集．若，且A為互斥集，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合的新定義先確定集合，而要想取得最大值，則要最小，從而確定，即可求解【詳解】因?yàn)椋詾橛智覟榛コ饧詾椋肴〉米畲笾担瑒t要最小，此時，不妨令，則，故選：C15．（2022·上海·高一專題練習(xí)）設(shè)X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中有限個元素的交集屬于τ．則稱τ是集合X上的一個拓?fù)洌阎蟈＝{a，b，c}，對于下面給出的四個集合τ：①τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{?，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥男蛱柺牵?/p>

）A．② B．①③ C．②④ D．②③【答案】D【分析】利用集合X上的拓?fù)涞?個要求，依次判斷即可．【詳解】解：①中由于{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}?τ，故①不是集合X上的一個拓?fù)洌虎谥袧M足拓?fù)浼系?個要求，故②是集合X上的一個拓?fù)洌虎壑袧M足拓?fù)浼系?個要求，故③是集合X上的一個拓?fù)洌虎苤衶a}∪{c}＝{a，c}?τ，故④不是集合X上的一個拓?fù)洌灰虼思蟈上的拓?fù)涞募夕拥男蛱柺洽冖郏蔬x：D．16．（2022秋·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）定義集合運(yùn)算且稱為集合與集合的差集；定義集合運(yùn)算稱為集合與集合的對稱差，有以下4個命題：①

②③

④則個命題中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用題中定義可判斷①的正誤；利用韋恩圖法可判斷②④；利用題中定義與集合運(yùn)算可判斷③的正誤.【詳解】對于①，，①對；對于②，且且，同理，則，所以，表示的集合如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：同理也表示如上圖陰影部分區(qū)域所示，故，②對；對于③，，③對；對于④，如下圖所示：所以，，④錯.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合中的新定義問題，解題的關(guān)鍵在于利用韋恩圖法來表示集合，利用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行判斷.二、多選題17．（2022秋·江蘇蘇州·高一星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，其中，記為，即，以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)，屬于同一個類【答案】CD【分析】根據(jù)給定的定義，計(jì)算判斷A，B；推理判斷C，D作答.【詳解】，，，即，而，因此，A不正確；，即，而，因此，B不正確；因任意一整數(shù)除以4，所得余數(shù)只能為0或1或2或3，即，反之，集合中任一數(shù)都是整數(shù)，即，所以，C正確；，不妨令，則，因，于是得，即，因此整數(shù)，屬于同一個類，D正確.故選：CD18．（2022秋·山西運(yùn)城·高一山西省運(yùn)城中學(xué)校期中）1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．滿足戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個最小元素C．M沒有最大元素，N沒有最小元素D．M有一個最大元素，N有一個最小元素【答案】ABC【分析】根據(jù)戴德金分割的定義可判斷A；舉例判斷B;結(jié)合A中例子可判斷C;假設(shè)M有一個最大元素m，N有一個最小元素n,根據(jù)戴德金分割定義判斷D.【詳解】對于A，滿足戴德金分割的定義，A正確；對于B,取，符合戴德金分割，M沒有最大元素，N有一個最小元素，B正確；對于C，取滿足戴德金分割的定義，M沒有最大元素，N沒有最小元素，C正確；對于D，假設(shè)M有一個最大元素m，N有一個最小元素n,根據(jù)戴德金分割定義，必有，則無法滿足，D錯誤，故選：.19．（2022秋·四川眉山·高一校考階段練習(xí)）給定集合，若對于任意，，有，且，則稱集合A為閉集合，以下結(jié)論正確的是（

）A．集合為閉集合；B．集合為閉集合；C．集合為閉集合；D．若集合為閉集合，則為閉集合．【答案】AC【分析】根據(jù)閉集合的定義和集合知識綜合的問題,分別判斷,且是否滿足即可得到結(jié)論.【詳解】對于A：按照閉集合的定義，故A正確;對于B：當(dāng)時,.故不是閉集合.故B錯誤;對于C：由于任意兩個3的倍數(shù),它們的和、差仍是3的倍數(shù),故是閉集合.故C正確;對于D：假設(shè),.不妨取,但是,,則不是閉集合.故D錯誤.故選：AC三、填空題20．（2022秋·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)校考期中）設(shè)集合，若把集合的集合叫做集合的配集，則的配集有___________個.【答案】4【分析】直接按定義求出符合條件的集合，計(jì)算個數(shù)，得到答案.【詳解】解：由題意，M可以是，，，，共4個.故答案為：4.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于非空集合，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個條件：①A；②，則稱為的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合的“保均值真子集”有__個．【答案】【分析】求出，由此利用列舉法能求出集合的“保均值真子集”的個數(shù)．【詳解】因?yàn)榧希瑒t，所以，集合的“保均值真子集”有：、、、、，，共個.故答案為：.22．（2020秋·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合，若，把的所有元素的乘積稱為的容量（若中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0）.若的容量為奇（偶）數(shù)，則稱為的奇（偶）子集，則的所有奇子集的容量之和為______.【答案】【分析】寫出所有的奇子集，從而求出所有奇子集的容量之和.【詳解】當(dāng)時，，含有一個元素的奇子集為，含有兩個元素的奇子集為，含有三個元素的奇子集為，故所有奇子集的容量之和為.故答案為：47.23．（2022秋·河北滄州·高一任丘市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于，若，且，則稱k是A的一個“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；對給定的集合，由S中的4個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________個．【答案】

5

6【分析】①根據(jù)題意，依次判斷每個元素是否為“孤立元”即可；②根據(jù)①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素，依次寫出滿足不含“孤立元”的集合即可.【詳解】解：①對于1，，則1不是“孤立元”；對于2，，且，則2不是“孤立元”；對于3，，則3不是“孤立元”；對于5，，且，則5是“孤立元”；②根據(jù)①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素，所以由S中的4個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6個，故答案為：5；6.24．（2021秋·上海徐匯·高一位育中學(xué)校考階段練習(xí)）若一個非空數(shù)集滿足：對任意，有，，，且當(dāng)時，有，則稱為一個數(shù)域，以下命題中：（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域有非零元素，則；（3）集合為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域；真命題的個數(shù)為________【答案】3【分析】根據(jù)新定義逐一判斷即可求解【詳解】（1）當(dāng)時，屬于數(shù)域，故（1）正確，（2）若數(shù)域有非零元素，則，從而，故（2）正確；（3）由集合的表示可知得是3的倍數(shù)，當(dāng)時，，故（3）錯誤，（4）若是有理數(shù)集，則當(dāng)，，則，，，且當(dāng)時，”都成立，故（4）正確，故真命題的個數(shù)是3.故答案為：325．（2022秋·北京·高一校考階段練習(xí)）已知集合，滿足：（1），；（2），若且，則；（3），若且，則.給出以下命題：①若集合中沒有最大數(shù)，則集合中有最小數(shù)；②若集合中沒有最大數(shù)，則集合中可能沒有最小數(shù)；③若集合中有最大數(shù)，則集合中沒有最小數(shù)；④若集合中有最大數(shù)，則集合中可能有最小數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】②③【分析】根據(jù)集合中元素的特點(diǎn)進(jìn)行判斷，的關(guān)系．【詳解】解：依題意可判斷集合中的元素都小于集合中的元素，若集合的元素沒有最大數(shù)，則必然存在一個數(shù)，使得，；如果是有理數(shù)，則，且，，則有最小數(shù)為；如果是無理數(shù)，則，且，，則沒有最小數(shù)；故②正確；若集合的元素有最大數(shù)，則必然存在一個有理數(shù)，使得，；，，則沒有最小數(shù)；故③正確；故答案為：②③．26．（2022秋·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）用表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義，若，，且，若B中元素取最少個數(shù)時m=______.若B中元素取最多個數(shù)時，請寫出一個符合條件的集合B=______.【答案】

0

或【分析】由題意，分情況求得，可得方程根的情況，可得答案．【詳解】由題意，可知，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；故B中元素最少個數(shù)為，此時，方程存在唯一根，由知該方程必有一個根為0，故，即；同時，也可知B中元素最多個數(shù)為，則方程存在三個根，則，此時，必定存在兩個不等實(shí)根和，則方程存在唯一實(shí)根或存在兩個不相等的實(shí)根但其中一個根為，①當(dāng)存在唯一實(shí)根時，由得，當(dāng)m＝2時，方程為，其根，同時，故此時；當(dāng)m＝－2時，方程為，其根，同時，故此時；②當(dāng)存在兩個不相等的實(shí)根但其中一個為時，，不成立；綜上，B中元素最多個數(shù)為時，或．故答案為：；或．【點(diǎn)睛