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第七章二元函數微分學7.2二元函數的極值

7.2.1二元函數極值的概念

定義7.2.1

設二元函數在點的某一鄰域內有定義．在此鄰域中任意取定一個點，且．

（1）如果恒成立，則稱為二元函數的一個極大值，稱為一個極大值點；

（2）如果恒成立，則稱為二元函數的一個極小值，稱為一個極小值點；極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點．例1

求二元函數的極值．解顯然，函數的定義域是整個平面，即因為在點，有，而當時，都有，因此，由極值的定義可知，為極小值點，極小值為．

注意：這個例題中的函數是比較特別的．一般的二元函數如何求極值呢？與一元函數求極值的方法類似，我們也可以通過偏導數求得二元函數的極值．那么，二元函數的極值點具有什么樣的特征呢？極值存在的必要條件定理7.2.1

如果二元函數在點處存在極值，且在該點的兩個一階偏導數也存在，且則使得且同時成立的點稱為二元函數的駐點．

顯然，對于可導函數來說，極值點一定是駐點，但是，駐點不一定是極值點．

例2

求二元函數的駐點．解設，則有以及令且，得方程組解得，即所求駐點為．

注意：駐點顯然不是二元函數的極值點．

極值存在的充分條件

定理7.2.2

如果二元函數在點處存在著連續的一階偏導數和二階偏導數，且有

又記

則有（1）當且時，為極大值；當且時，為極小值．

（2）當時，不是極值。（3）當時，此判別法失效．即可

能是極值，也可能不是極值。例3

求二元函數

的極值．解

（1）先求駐點．

令

，得方程組

，解得駐點為（2）再求二階偏導數并

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