習題課1運動合成與分解的兩類模型典題分類?講練結合I分類講解舉一反三］模型一小船過河模型小船渡河模型小船的實際運動是船隨水流的運動(速度為v)和船在靜水中的運動(速度為v水)的合運動。船的航行方向是實際運動的方向，即合速度的方向。兩個方向的運靜水動情況相互獨立、互不影響。兩類最值問題渡河時間最短問題水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度。因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可。由圖甲可知，，=-，此時船渡河的短v船位移x=Sin帀，位移方向滿足tan3^船。水sin3v水渡河位移最短問題情況一：vVv水船最短的位移為河寬d此時渡河所用時間t=~d-，船頭與上游河岸夾角3vsin3船滿足vcos3=v，即cos3=^水，如圖乙所示。船水v船情況二：v>v水船

丙丙TOC\o"1-5"\h\z合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。確定方法如下：如圖丙所示，以v矢量的末端為圓心，以v的大小為半徑畫圓弧，當合速度的方向與圓相切時,水船合速度的方向與河岸的夾角最大(設為a)，此時航程最短。由圖可知sin船，水最短航程為x二拱d。此時船頭指向應與上游河岸成0角，且cos少。\o"CurrentDocument"sinavv船水例1(2021-山東臨沂高一檢測)小船要橫渡一條200m寬的河，水流速度為3m/s，船在靜水中的航速是5m/s。當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？(sin37°=0.6)如果水流速度變為10m/s，要使小船航程最短，應如何航行？［解析］(1)因為小船垂直于河岸的速度即小船在靜水中的行駛速度，且在這—方向上，小船做勻速運動—方向上，小船做勻速運動，故渡河時間t旦卩船200s=40s，小船沿河流方向的位移x二v水t二3X40m二120m，即小船經過40s，在正對岸下游120m處靠岸。要使小船到達河的正對岸，則要使小船到達河的正對岸，則v水、“船甲v船的合運動v合應垂直于河岸，如圖甲200“200“s=50s。所示,2-v2=4m/s，經歷時間t=—船水v合

又cos0二堂二5=0.6,即船頭指向與河岸的上游所成角度為53°。卩船5⑶如果水流速度變為10m/s,如圖乙所示，應使v合的方向垂直于v船，故船頭合船應偏向上游，與河岸成。角，有cos0=船=2,解得0=60°,即船頭指向與岸的上游成60°角。［答案］(1)40s正對岸下游120m處⑵船頭指向與岸的上游成53°角50s船頭指向與岸的上游成60°角例2(2021?泰州市高一月考)小船勻速橫渡一條流速穩定的河流，第一次船頭垂直對岸方向航行時，在出發后20s到達對岸下游60m處；第二次船頭保持與河岸成53°角向上游航行時，小船能垂直河岸到達正對岸，則第二次過河的時間為()10sB.20sC.25sD.50s［解析］第一次船頭垂直對岸方向航行時,出發后20s到達對岸下游60m處,則有，水流速度的大小x60x60V==2°m/s=3m/s第二次船頭保持與河岸成0=53°角向上游航行時，如圖依據三角函數，則有篤=點總m/s=5m/s根據第一次渡河,河寬d=v2t0=5X20m=100m

則第二次過河時間—1v2sin53°代入數據，解得第二次過河的時間為t嚴丄発s二25s。15X0.8［答案］C［針對訓練1］（2021?泰安一中高一期中）已知河水的流速為V］,小船在靜水中的速度為v2,且v2>V］，圖中用小箭頭表示小船及船頭的指向，則能正確反映小船在最短時間內渡河、最短位移渡河的情景圖依次是（）；F轄f-\卜即①②⑨F~IA.①②C.④⑤A.①②C.④⑤①⑤D.②③解析：選C。小船渡河類問題中，若要小船在最短時間內渡河，則船頭垂直河岸，且位移偏向下游，④對；已知V2>V］，小船速度與水流速度的合速度垂直河岸時，小船以最短位移渡河，此時船頭指向上游，⑤對，故C正確。［針對訓練2］（多選）（2021?南通市啟東中學高一月考）一小船要渡過50m寬的河，已知船在靜水中的速度為4m/s，水流速度為3m/s，則以下說法中正確的是（）小船渡河的位移一定大于50m小船渡河的速度一定小于等于5m/s小船渡河的最短時間為12.5s若船頭指向不變，則小船渡河時將做勻速直線運動解析：選CD。船在靜水中的速度大于水流速度，故船可以垂直行駛至河岸正對面，這時船的位移就是50m，故A錯誤；小船的渡河速度與小船的渡河方向有關，當小船順流而下時，渡河速度就會大于5m/s，故B錯誤；小船渡河最短時間跟垂直河岸的分運動有關，當垂直河岸的分運動的速度等于小船在靜水中的速度時，小船的渡河時間最短，設河寬為d,則渡河時間為t二2二12.5s,故C卩靜正確；若船頭指向不變，小船垂直于河岸的分運動和沿河岸方向的分運動均是勻速直線運動，所以小船的合運動是勻速直線運動，故D正確。模型二速度“關聯”模型1.“關聯”模型關聯速度問題一般是指物拉繩（或桿）和繩（或桿）拉物問題。高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長且不可壓縮的，即繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關聯速度。2.解題步驟（1）先確定合運動，即物體的實際運動。（2）確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿繩（或桿）方向的平動效果（改變速度的大?。欢茄卮怪庇诶K（或桿）方向的轉動效果（改變速度的方向）。即將實際速度分解為垂直于繩（或桿）和平行于繩（或桿）方向的兩個分量。⑶按平行四邊形定則進行分解，作出運動矢量圖。（4）根據沿繩（或桿）方向的速度相等列方程求解。常見模型單平物林的翼子木端速度的分切勿將繩子速度井解，f一定耍分解在逐立于總子方向,這樣劃的大小就是純于收縮的連率+即拉匏的速率%乙將桿的兩牛瑞剛、R的速度辭桿和垂直于桿的方向任交儷,單平物林的翼子木端速度的分切勿將繩子速度井解，f一定耍分解在逐立于總子方向,這樣劃的大小就是純于收縮的連率+即拉匏的速率%乙將桿的兩牛瑞剛、R的速度辭桿和垂直于桿的方向任交儷,則朕K兩朮沿桿方向的分速度尢小相等前個物休的繩予*端速度的分斛：兩個勒怵的速度都需耍分解，人中陶亍物休的厘度沿若堀子方向的分謹度大小是相等的將圓環H的速度分解成沿編片向和垂立于齟方'向的分徳If."的譙廈與/1沿繩方向的分速越大小朋等例3（多選）如圖所示，一個長直輕桿兩端分別固定小球A和小球B，豎直放置，兩球質量均為m,兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。由于微小的擾動,A球沿豎直滑槽向下運動，B球沿水平滑槽向右運動，當桿與豎直方向的夾角為0時（圖中未標出），關于兩球速度VA與VB的關系，下列說法正確的是（）若0=30°，則A、B兩球的速度大小相等若0=45°，則A、B兩球的速度大小相等C?va=Vptan0ABD.vA=vBsin0［解析］當桿與豎直方向的夾角為0時，根據運動的分解可知（如圖所示），沿VA=VA=VB。桿方向兩分速度相等，VA［答案］BC［針對訓練3］（2021?玉溪市高一期末）如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車沿斜面升高。則當滑輪右側的繩與豎直方向成0角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為（的速率為v時，小車的速度為（A.vsin0C.C.vcos0vSiT0解析：選c。將M物體的速度按沿繩和垂直于繩兩個方向分解，如圖所示,得繩子速率為：v繩二vcos0；而繩子速率等于物體m的速率，則有物體m的速率為：V二v繩二vcos3,古攵選C。m繩［針對訓練4］如圖所示，做勻速直線運動的汽車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B,設重物和汽車的速度的大小分別為vB、vA，貝U（）AVA=VBBVA<VB繩子對B的拉力大于B的重力繩子對B的拉力等于B的重力解析：選C。根據運動分解原理，沿繩方向的速度分量相等，記A端繩與水平方向夾角為3vAcos3=vBvA>vB，故A、B錯誤；A向左運動，e減小，vB增加，重物B的加速度向上，繩子對B的拉力大于B的重力，故C正確，D錯誤。課后達標?限時訓練［限竦促學補諄揚檜］（限時:20分鐘）1.（2021?河北高二學業考試）如圖所示，兩岸平行的一條河，河水勻速流動，速度為v，某人乘小船由岸邊的O點渡河，航行過程中，船頭始終正對河岸。下列說法正確的是（）小船將到達O點正對岸的P點小船將到達O點正對岸P點下游的某位置若僅河水的流動速度增大，小船渡河時間將延長若僅河水的流動速度增大，小船渡河時間將縮短解析：選B船頭始終正對河岸，貝"小船在垂直于河岸方向做勻速運動，在沿水流方向做勻速運動，貝"小船將到達O點正對岸P點下游的某位置，A錯誤，B正確；小船過河的時間為t=—，與水流速度無關，則若僅河水的流動速度增卩船大，小船渡河時間不變，C、D錯誤。（2021?黑龍江牡丹江期末）船在靜水中的速度為V］，水流的速度為v2，河寬為d，當船頭垂直于河岸航行時（）實際航程最短水速減小時渡河時間變長過河時間最短水速增大時渡河時間變長解析：選C。水流速度為v2,船渡河過程被沖到下游的距離為：x二v2t二彳d，實際航程不是最短，A錯誤；船渡河的時間與水流速度無關，B、D錯誤；河寬為d，船垂直于河岸的速度為v］，過河最短時間為：t二￡，C正確。（2021?濟南市高一期末）小船橫渡一條河，船頭方向始終與河岸垂直。若小船相對水的速度大小不變時，小船的運動軌跡如圖所示，貝肚）由M到N水流速度一直增大由M到N水流速度一直減小由M到N水流速度先增大后減小由M到N水流速度先減小后增大解析：選B。從軌跡曲線的彎曲形狀可以知道，加速度的方向水平向左，故由M到N水流速度減小，即越靠近對岸水速越小，故選B。4.（2021?天津四中月考）質量為m的物體P置于傾角為q的固定光滑斜面上,輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動，當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角則vp=vcos32,故A錯誤，B正確；小車向右運動，e2減小，v不變，則vp逐漸增大，說明物體P沿斜面向上做加速運動，由牛頓第二定律T-mgsin勺二ma可知繩子對P的拉力T>mgsin01，故C、D錯誤。5.（2021.福建南平期末）某船要渡過60m寬的河，船渡河的最短時間是12s；若船沿垂直于河岸的直線到達正對岸，渡河時間是15s，則船在靜水中的速率v1及河水的流速v2分別為（）V]=5m/sv2=4m/sV]=5m/sv2=3m/sV]=4m/sv2=5m/sV]=4m/sv2=3m/s解析：選b。當船以最短時間渡河時，船頭指向正對岸，則渡河時間“二彳，所以船在靜水中的速度乙二?=12m/s=5m/s，故C、D錯誤；當船垂直于河岸到達正對岸時，合速度垂直于河岸，岸到達正對岸時，合速度垂直于河岸，渡河時間yd，代入數據得v2二3m/s,故A錯誤，B正確。（2021?云南昆明期末）如圖所示，水平向右沿直線行駛的小車通過細繩和定滑輪將重物以速率v豎直向上勻速提升，在此過程中，不計細繩與滑輪間的摩擦，下列說法正確的是（）小車做加速運動小車做減速運動細繩對小車的拉力逐漸變大細繩對小車的拉力大小不變解析：選BD。將小車的速度分解，如圖所示，由平行四邊形定則可知v車二一n，則隨著小車向右運動，e減小，v車減小，即小車做減速運動，A錯誤，Bcosn正確；因物塊勻速上升，可知繩子對物塊的拉力不變，即繩子的張力不變，繩子對小車的拉力大小不變，C錯誤，D正確。7.（2021?南昌市新建一中期中）如圖所示，物體A以速度v沿桿勻速下滑，A用細繩通過定滑輪拉物體B,當繩與水平夾角為n時，B的速度為（）?slVV?AC?slVV?AC.cosnD.sinn解析：選A。將A物體的速度按沿繩和垂直于繩兩個方向正交分解，如圖所可得繩子速率v繩二vsin0,而繩子速率等于物體B的速率，則有物體B的速度大小為vb二v繩二vsin0,故A正確，B、C、D錯誤；8.（多選）（2021?昆山陸家高級中學高一期末）一小船在靜水中的速度為3m/s,它在一條河寬150m,流速為4m/s的河流中渡河，則下列說法正確的是（）小船能夠到達正對岸小船渡河時間不少于50s小船以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小為200m小船以最短位移渡河時，位移大小為150m解析：選BC。因為船在靜水中的速度小于河水的流速，由平行四邊形定則知合速度不可能垂直于河岸，小船不可能垂直于河岸到達正對岸，最短位移不可能為河寬150m。故A、D錯誤；當