nnnn2nnnn220套專題匯編第求一、基礎知識：1、二項式

展開式

C

0n

n

C

1n

b

2n

n

2

rn

n

r

nn

n

，從恒等式中我們可以發現這樣幾個特點（）

完全展開后的項數為

（）開式按照

a

的指數進行降冪排列，對于展開式中的每一項，

a,

的指數呈此消彼長的特點。指數和為

n（）二項式展開式中由于按

a

的指數進行降冪排列，所以規定“

+

”左邊的項視為

a

，右邊的項為

，比如：

雖然恒等，但是展開式卻不同，前者按

的指數降冪排列，后者按

的指數降冪排列。如果是

，則視為

進行展開（）項展開式的通項公式

Tr

rn

ab

r

（注意是第r項2、二項式系數：項前面的

Cn

,Cn

,

,Cnn

稱為二項式系數，二項式系數的和為

2

二項式系數的來源：多項式乘法的理論基礎是乘法的運算律（分配律，交換律，結合律所以在展開時有這樣一個特征個因式都必須出項并只能出一項將每個因式所出的項乘在一起便成為了展開時中的某項

可看作是個

相乘于

r意味著在這

n

個

個式子出

a

，剩下

r

個式子出

，那么這種出法一共有

Crn

種。所以二項式展開式的每一項都可看做是一個組合問題。而二項式系數便是這個組合問題的結果。3、系數：是指該項經過化簡后前面的數字因數注二式定理中要注意分二項式系數與系數項式系數是展開式通項公式中的Crn

，對于確定的一個二項式，二項式系數只由

r

決定。而系數是指展開并化簡后最后項前面的因數，其構成一方面是二項式系數，同時還有項本身的系數。例如：

展開式中第三項為

3

25

中C為該項的二項式系數5

C3

25

3化簡后的結果為該項的系數5nnnnnrr11rnr5nnnnnrr11rnrn20套專題匯編（）項式系數與系數的概念不同，但在某些情況下可以相等：當二項式中每項的系數均為

時（排除項本身系數的干擾展后二項式系數與系數相同。例如

展開式的第三項為

C35

，可以計算出二項式系數與系數均為103、有理項：系數為有理,次數為整數的項，比如

22,

15

就是有理項，而

3

x,

就不是有理項。4、

的聯系：首先觀察他們的通項公式：

：

r

ranbrn

：

'r

rn

n兩者對應項的構成是相同的對項的系數相等或互為相反數其絕對值相等所在考慮

系數的絕對值問題時，可將其轉化為求

系數的問題5、二項式系數的最大值：在C,C1nn

,Cnn

中，數值最大的位于這列數的中間位置。n

為奇數（共有偶數項最大值中間兩個，例，最大項為23，若為數5（共有奇數數項最大值為間項，例如

n

時，最大項為

6證明：在

C,Cnn

,Cnn

中的最大項首先要比相鄰的兩項大，所以不妨設最大項Crn

，則有

n!n!r!nr!r!n!!1r!nr!r!rr所以解得：

rr

n即22所以當

n

為奇數時（

2

等變為

kr

，即

r

或

r

為中間項當

n

為偶數時（

nk

等變為

k

1+2

，即

r

為中間項6、系數的最大值：由于系數受項式系數與項自身系數影響，所以沒有固定的結論，需要計算所得，大致分為兩種情況：

型：不妨設項

r

的系數為

r

，則理念與二項式系數最值類似，最大值首先要nrr26786223xnrr26786223x20套專題匯編比相鄰項大，所以有

rrrr

，再根據通項公式代入解不等式即可

型：其展開式的特點為項的符號有正有負，所以在解決此類問題時有兩種方法：一種是只選取其中的正項進行比較，但序數相隔。即

rrrr

，在運算上較為復雜；一種是先考慮系數絕對值的最大值而把問題轉化為確定系數最大值。

的最大值問題然后在考慮符號例1：二項式

x12

8

展開式中的常數項是________方法一：思路：考慮先求出此二項式展開式的通項公式，令

的指數為0，求出

r

的值再代入計算即可解：

Tr

r

r依題意可得：

8r

13

rr

常數項為

方法二：思路：對

x23x

8

1中的8個因所出的項進行分配，若最后結果為3常數項，則需要兩個式子出

x2

，六個式子出相，x所以常數項為：

C28

1答案：小煉有話說：通本題說明求項式展開式中某項的兩種主流方法：一是通過通項公式，先化簡通項公式，再利用題目中所求項的特征求r值，進而求解；二是分析展開式中每一項構成的本質即每一個因式出一項然后相乘得到從而將尋找所求項需要的出項方案，將其作為一個組合問題求解。2xxxx347rrr934932xxxx347rrr9349320套專題匯編例2：在

6

的展開式中，x的系數____________思路一：考慮二項展開的通項公式：

r

r66

2

rr6由所求可得：

12rr

T34

3

333思路二：可將其視為6個式出項的問題，若要湊成所以該項為：C6

x

，要3個x2

，

3

個

1x答案：

小煉有話說利二項式定理某項常種思路種是利用二項式展開的通項公式，結合條件求出r的再求出項；另一種是將問題轉化為因式如何安排出項的問題。1例3：若二項式

7

的展開式中的第四項等于，則

的值是____________思路：條件中涉及到項的序數，那么只能考慮利用通項公式：Tr

rx7

7

r

，第四項中

r

1，T3x

，解得：

x

151x答案：5例4：已知

1

9

21的展開式中x項系數為，則實數的為2思路：先利用通項公式求出x的，在利用系數的條件求出的即可解：Tr

rx9

9

x

9r

rr384T3xxa

3

81a3

答案：例5已二項式

2()x

的展開式中各項二項式系數和是16則開式中的常數項____思路求得展開式的某項要確定n的取值用項式系數和求出n

xxrxxr20套專題匯編2即n，求(x)x

展開式的常數項為C4

x

2

2

24答案：

例6：

2

的展開式中，

x

項的系數為__________思路：已知表達式展開式中的每一項由兩部分相乘而成，要想湊得子切入進行分類討論（以

，不妨從其中一個式1：

2

出

x

，該項為：

42：

2

該為：

x

35

43：

2

x

，則

出

x

，該項為：

2

5

4綜上所述：合并后的x4項系數為5例7：

展開式中

x

項的系數為（）A.

B.

思路本題不利于直接展開所有以慮將其轉化為10個因式如何分配所出項的問題：若要湊成x有下幾種可能：（個x2，個

，個1，所得項為：

Cx2109（個

，個1，所得項為：

C10

777

3所以3項系數為答案：

例8：二項式A.

4x

1x

24B.

展開式中，有理項的項數共有（）

思路：有理項是指變量的指數是整數，所以考慮從通項公式入手：r4

x2

r

x

r

，其中

r

，r的值只需要讓

6

rZ

，則

r0,4,8,12,16,20,24

，所以共有7個有項8888r8r89r8888r8r89rr1910101918a，所以9191920套專題匯編小煉有話說：在理通項公式可將簡。

的根式（或倒數）轉化為分數指數冪，方便進行化例9：二項式

展開式中系數最大的項為思路：考慮

展開式的通項公式為

r

8rx8

，其系數設為

r

，即PCrr

，若要

r

最大，則首先要大于相鄰項，即

rrrr

，代入解得

r

的范圍即可確定出r的值，從而求出該項解：

r

Cr8

8rx8設

r

項的系數為

P=2r

8

r8若

r

最大，則

PPrrPPrr

2Cr82Cr8

Cr8Cr88!r!287r!!r!!r解得：

r

r2或r3

經檢驗：系數最大的項為

T34

5x答案：例10：已知

0

x1010

9

，若

，則

9

（）A.

B.

19

C.

18

D.

18思路：由條件中恒等式的特點可得對應項的系數相等，

中，與

9

相關的最高次項為

x

以為突破口求

9

式邊

x

的系數為

19

右邊

的系數為

910

991991010

19

，只需再