備考綜合錯題三一．選擇題（共11小題）1．（2005?北京）如下圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，點P從起點D出發，沿DC、CB向終點B勻速運動．設點P所走過的路程為x，點P所經過的線段與線段AD、AP所圍成圖形的面積為y，y隨x的變化而變化．在下列圖象中，能正確反映y與x的函數關系的是（）A．B．C．D．2．（2023?常州）如圖，一次函數的圖象上有兩點A、B，A點的橫坐標為2，B點的橫坐標為a（0＜a＜4且a≠2），過點A、B分別作x的垂線，垂足為C、D，△AOC、△BOD的面積分別為S1、S2，則S1、S2的大小關系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．無法確定x﹣101y﹣1133．下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O為AC的中點，OB交CE于N，連OH．下列結論中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正確的命題有（）A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④4．（2023?遂寧）如圖，把⊙O1向右平移8個單位長度得⊙O2，兩圓相交于A、B，且O1A⊥O2A，則圖中陰影部分的面積是（）A．4π﹣8B．8π﹣16C．16π﹣16D．16π﹣325．順次連接下列各四邊形中點所得的四邊形是矩形的是（）A．等腰梯形B．矩形C．平行四邊形D．菱形或對角線互相垂直的四邊形6．（2023?鄂爾多斯）如圖，某電信公司提供了A，B兩種方案的移動通訊費用y（元）與通話時間x（元）之間的關系，則以下說法錯誤的是（）A．若通話時間少于120分，則A方案比B方案便宜20元B．若通話時間超過200分，則B方案比A方案便宜12元C．若通訊費用為60元，則B方案比A方案的通話時間多D．若兩種方案通訊費用相差10元，則通話時間是145分或185分7．（2023?廈門）已知兩個變量x和y，它們之間的3組對應值如下表所示則y與x之間的函數關系式可能是（）A．y=xB．y=2x+1C．y=x2+x+1D．8．已知△ABC的三邊長分別為，，2，△A′B′C′的兩邊長分別是1和，如果△ABC與△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三邊長應該是（）A．B．C．D．9．（2004?內江）給出下列命題：①平行四邊形的對角線互相平分；②對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；③菱形的對角線互相垂直；④對角線互相垂直的四邊形是菱形．其中真命題的個數為（）A．4B．3C．2D．110．（2003?徐州）有以下4個命題：①兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形②兩條對角線相等的四邊形是菱形③兩條對角線互相垂直的四邊形是正方形④兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形則其中正確命題的個數為（）A．1B．2C．3D．411．如圖，?ABCD的頂點A，B的坐標分別是A（﹣1，0），B（0，﹣2），頂點C，D在雙曲線上，邊AD交y軸于點E，且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，則k的值等于（）A．12B．10C．8D．6二．填空題（共7小題）12．已知函數y=x2與y=﹣x+1圖象交點的橫坐標就是一元二次方程y=x2+x﹣1的解，如圖，拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點A的橫坐標是1，則關于x的不等式+x2+1＜0的解集是_________．13．在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠ADC=135°，點P在射線BA上，連接CP，將△BCP沿著CP折疊，點B恰好落到射線AD上，若AD=2，AB=3，則BP的長為_________．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，四邊形CDEF為其內接正方形，若AE=2cm，BE=1cm，則圖中陰影部分的面積為_________cm2．15．觀察下列圖案：它們是按照一定規律排列的，依照此規律，第5個圖案中共有_________個三角形，第n（n≥1，且n為整數）個圖案中三角形的個數為_________（用含有n的式子表示）．16．（2023?臨沂）某電動自行車廠三月份的產量為1000輛，由于市場需求量不斷增大，五月份的產量提高到1210輛，則該廠四、五月份的月平均增長率為_____%．17．在三角形紙片△ABC中，AB=AC，把這個三角形折疊，使得點B與點A重合，折痕分別交直線AB、AC于點M、N，若∠ANM=50°，則∠B的度數等于____度．18．（2023?哈爾濱）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是斜邊AB的中點，DE⊥AC，垂足為E，若DE=2，CD=，則BE的長為_________．三．解答題（共9小題）19．（2023?咸寧）在一條直線上依次有A、B、C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發，沿直線勻速駛向C港，最終達到C港．設甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數關系如圖所示．（1）填空：A、C兩港口間的距離為_________km，a=_________；（2）求圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；（3）若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍．20．（2023?綏化）某電腦公司經銷甲種型號電腦，受經濟危機影響，電腦價格不斷下降．今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，如果賣出相同數量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年銷售額只有8萬元．（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？（2）為了增加收入，電腦公司決定再經銷乙種型號電腦，已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺，有幾種進貨方案？（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現金a元，要使（2）中所有方案獲利相同，a值應是多少此時，哪種方案對公司更有利？21．（2023?沈陽）如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M．CN⊥直線a于點N，連接PM，PN．（1）延長MP交CN于點E（如圖2）．①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN；（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B，P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由．22．（2000?荊門）已知：E是正方形ABCD的邊BC上的中點，F是CD一點，AE平分∠BAF．求證：AF=BC+CF．23．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A為第二象限內一點，過點A作x軸垂線交x軸于點B，點C為x軸正半軸上一點，且OB、OC的長分別為方程x2﹣4x+3=0的兩根（OB＜OC）．（1）求B、C兩點的坐標；（2）作直線AC，過點C作射線CE⊥AC于C，在射線CE上有一點M（5，2），求直線AC的解析式；（3）在（2）的條件下，坐標平面內是否存在點Q和點P（點P在直線AC上），使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．24．（2023?阜新）如圖，拋物線y=x2+x﹣與x軸相交于A、B兩點，頂點為P．（1）求點A、B的坐標；（2）在拋物線是否存在點E，使△ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）坐標平面內是否存在點F，使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標．25．（2023?佳木斯）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，點C的坐標為（﹣18，0）．（1）求點B的坐標；（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．26．（2023?漳州）已知拋物線y=x2+1（如圖所示）．（1）填空：拋物線的頂點坐標是（_________，_________），對稱軸是_________；（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上．在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．27．我們知道，順次連接任意四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形，那么順次連接等腰梯形各邊中點所得四邊形是什么特殊四邊形呢？探索并證明你的結論．

備考綜合錯題三答案一．選擇題（共11小題）1．（2005?北京）如下圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，點P從起點D出發，沿DC、CB向終點B勻速運動．設點P所走過的路程為x，點P所經過的線段與線段AD、AP所圍成圖形的面積為y，y隨x的變化而變化．在下列圖象中，能正確反映y與x的函數關系的是（）A．B．C．D．分析：本題考查動點函數圖象的問題，先求出函數關系式在判斷選項．解答：解：當點P在CD上運動時，y為三角形，面積為：×3×x=x，為正比例函數；當點P在CB上運動時，y為梯形，面積為×（x﹣5+3）×=，為一次函數．由于后面的面積的x的系數＞前面的x的系數，所以后面函數的圖象應比前面函數圖象要陡．故選A．點評：本題需注意的知識點是：兩個在第一象限的一次函數，比例系數大的圖象較陡．2．（2023?常州）如圖，一次函數的圖象上有兩點A、B，A點的橫坐標為2，B點的橫坐標為a（0＜a＜4且a≠2），過點A、B分別作x的垂線，垂足為C、D，△AOC、△BOD的面積分別為S1、S2，則S1、S2的大小關系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．無法確定考點：一次函數綜合題．分析：△AOC的面積S1已知，△BOD的面積S2可由關于a的函數表示，求出S2的取值范圍，跟S1比較即可．解答：解：由一次函數圖象可得出A（2，1），則S1==1，S2==又0＜a＜4且a≠2，∴S2＜1=S1，故此題選A點評：本題考查的是由一次函數確定坐標，根據坐標表示出面積并比較大小，另外還考查了二次函數的性質．3．下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O為AC的中點，OB交CE于N，連OH．下列結論中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正確的命題（）A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④分析：①可證△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得證．②由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得證．③利用AAS證明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中點時，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）錯誤．過O點作OG垂直于OH，OG交CH于G點，由題意可證得三角形OGC與三角形OHB全等．按照前述作輔助線之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．解答：解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴△ABF≌△BEC，∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，∴△BEH∽△ABF，∴∠BAF=∠BHE=90°，即BF⊥EC，①正確；∵四邊形是正方形，∴BO⊥AC，BO=OC，由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO，∴△OBM≌△ONC，∴ON=OM，即②正確；③∵△OBM≌△ONC，∴BM=CN，只有當H為BM的中點是，OH等于CN的一半，故③錯誤；④過O點作OG垂直于OH，OG交CH與G點，在△OGC與△OHB中，，故△OGC≌△OHB，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，按照前述作輔助線之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．綜上所述，①②④正確．故選B．點評：本題考查了正方形的性質，①可證△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得證．②由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得證．③利用AAS證明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中點時，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）錯誤．過O點作OG垂直于OH，OG交CH于G點，可證得三角形OGC與三角形OHB全等．OHG是等腰直角三角形，可證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，即④式成立．4．（2023?遂寧）如圖，把⊙O1向右平移8個單位長度得⊙O2，兩圓相交于A、B，且O1A⊥O2A，則圖中陰影部分的面積是（）A．4π﹣8B．8π﹣16C．16π﹣16D．16π﹣32考點：扇形面積的計算；相交兩圓的性質．分析：此題要求陰影部分的面積，根據題意可知AB⊥O1O2，而陰影的面積S=扇形ABO2的面積減去△ABO2的面積，由此可解出此題．解答：解：根據勾股定理可得：O1A2+O2A2=2AO12=2AO22=O1O22=82，∴O1A=O2A=4，又l==，扇形面積S1=rl=πr2=π?（4）2=8π，△ABO2的面積S2=r2=16，∴S=S1﹣S2=8π﹣16．故選B．點評：此題考查的是圓與圓的位置關系和扇形公式的求法，根據計算求出圓的半徑，再用公式求出陰影部分的面積．5．順次連接下列各四邊形中點所得的四邊形是矩形的是（）A．等腰梯形B．矩形C．平行四邊形D．菱形或對角線互相垂直的四邊形考點：矩形的判定；三角形中位線定理．分析：矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）有三個角是直角的四邊形是矩形．（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據此判斷．解答：解：A、等腰梯形的對角線相等但不垂直，故連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形為菱形．不正確．B、矩形的對角線相等且互相平分，但卻不垂直．故連接矩形各邊中點所得的四邊形為菱形．不正確．C、平行四邊形的對角線互相平分，但并不相等和互相垂直．故連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊形．不正確．D、對角線互相垂直的四邊形（菱形）連接各邊中點所得的四邊形為矩形．因為矩形是有一個角為直角的平行四邊形．正確．故選D．點評：本題主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本題的知識點是關于各個圖形的性質以及判定．6．（2023?鄂爾多斯）如圖，某電信公司提供了A，B兩種方案的移動通訊費用y（元）與通話時間x（元）之間的關系，則以下說法錯誤的是（）A．若通話時間少于120分，則A方案比B方案便宜20元B．若通話時間超過200分，則B方案比A方案便宜12元C．若通訊費用為60元，則B方案比A方案的通話時間多D．若兩種方案通訊費用相差10元，則通話時間是145分或185分考點：函數的圖象．專題：圖表型．分析：當B方案為50元時，A方案如果是40元或者60元，才能使兩種方案通訊費用相差10元，先求兩種方案的函數解析式，再求對應的時間．解答：解：A方案的函數解析式為：yA=；B方案的函數解析式為：yB=；當B方案為50元，A方案是40元或者60元時，兩種方案通訊費用相差10元，將yA=40或60代入，得x=145分或195分，故D錯誤；觀察函數圖象可知A、B、C正確．故選D．點評：本題需注意兩種付費方式都是分段函數，難點是根據所給函數上的點得到兩個函數的解析式，而后結合圖象進行判斷．7．（2023?廈門）已知兩個變量x和y，它們之間的3組對應值如下表所示則y與x之間的函數關系式可能是（）A．y=xB．y=2x+1C．y=x2+x+1D．分析：觀察這幾組數據，找到其中的規律，然后再答案中找出符合要求的關系式．解答：解：A．y=x，根據表格對應數據代入得出y≠x，故此選項錯誤；B．y=2x+1，根據表格對應數據代入得出y=2x+1，故此選項正確；C．y=x2+x+1，根據表格對應數據代入得出y≠x2+x+1，故此選項錯誤；D．y=，根據表格對應數據代入得出y≠，故此選項錯誤．故選：B．點評：此題主要考查了求函數關系式，本題是開放性題目，需要找出題目中的兩未知數的對應變化規律是解題關鍵．8．已知△ABC的三邊長分別為，，2，△A′B′C′的兩邊長分別是1和，如果△ABC與△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三邊長應該是（）A．B．C．D．分析：根據題中數據先計算出兩相似三角形的相似比，則第三邊長可求．解答：解：根據題意，易證△ABC∽△A′B′C′，且相似比為：：1，∴△A′B′C′的第三邊長應該是=．故選A．點評：本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例．9．（2004?內江）給出下列命題：①平行四邊形的對角線互相平分；②對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；③菱形的對角線互相垂直；④對角線互相垂直的四邊形是菱形．其中真命題的個數為（）A．4B．3C．2D．1解答：解：①根據平行四邊形的性質，故正確；②根據平行四邊形的判定，故正確；③根據菱形的性質，故正確；④根據菱形的判定，應是對角線互相垂直的平行四邊形，故錯誤．故選B．點評：本題考查命題的真假性，是易錯題．注意對平行四邊形性質和判定的準確掌握．10．（2003?徐州）有以下4個命題：①兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形②兩條對角線相等的四邊形是菱形③兩條對角線互相垂直的四邊形是正方形④兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形則其中正確命題的個數為（）A．1B．2C．3D．4考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定．專題：證明題．分析：根據平行四邊形的判定對角線互相平分的四邊形是平行四邊形菱形的判定對角線互相垂直平分的四邊形是菱形正方形的判定對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進行驗證．解答：解：A、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，屬于平行四邊形的判定定理，成立．B、兩條對角線相等的四邊形有可能是等腰梯形，不成立．C、兩條對角線互相垂直的四邊形有可能是一般四邊形，不成立．D、兩條對角線相等且互相垂直的四邊形有可能是等腰梯形，不成立．故選A．點評：本題考查特殊平行四邊形的判定，有很多選項可用等腰梯形做反例來推翻其不成立．11．如圖，?ABCD的頂點A，B的坐標分別是A（﹣1，0），B（0，﹣2），頂點C，D在雙曲線上，邊AD交y軸于點E，且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，則k的值等于（）A．12B．10C．8D．6分析：分別過C、D作x軸的垂線，垂足為F、G，過C點作CH⊥DG，垂足為H，根據CD∥AB，CD=AB可證△CDH≌△ABO，則CH=AO=1，DH=OB=2，由此設C（m+1，n），D（m，n+2），C、D兩點在雙曲線y=上，則（m+1）n=m（n+2），解得n=2m，設直線AD解析式為y=ax+b，將A、D兩點坐標代入求解析式，確定E點坐標，求S△ABE，根據S四邊形BCDE=5S△ABE，列方程求m、n的值，根據k=（m+1）n求解．解答：解：如圖，過C、D兩點作x軸的垂線，垂足為F、G，DG交BC于M點，過C點作CH⊥DG，垂足為H，∵ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，AB=CD，∵BO∥DG，∴∠OBC=∠GDE，∴∠HDC=∠ABO，∴△CDH≌△ABO（ASA），∴CH=AO=1，DH=OB=2．設C（m+1，n），D（m，n+2），則（m+1）n=m（n+2）=k，解得n=2m，∴D的坐標是（m，2m+2）．設直線AD解析式為y=ax+b，將A、D兩點坐標代入得，由①得：a=b，代入②得：mb+b=2m+2，即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，∴，∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，∴S△ABE=×BE×AO=2，∵S四邊形BCDE=5S△ABE=5××4×1=10，∴S△ABE+S四邊形BEDM=10，即2+4×m=10，解得m=2，∴n=2m=4，∴k=（m+1）n=3×4=12．故選A．點評：本題考查了反比例函數的綜合運用，解答此題的關鍵是通過作輔助線，將圖形分割，尋找全等三角形，利用邊的關系設雙曲線上點的坐標，根據面積關系，列方程求解．二．填空題（共7小題）12．已知函數y=x2與y=﹣x+1圖象交點的橫坐標就是一元二次方程y=x2+x﹣1的解，如圖，拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點A的橫坐標是1，則關于x的不等式+x2+1＜0的解集是﹣1＜x＜0．考點：二次函數與不等式（組）．分析：把A點的橫坐標1代入拋物線y=x2+1，求出點A的坐標，代入y=中求的值，再求式＜﹣x2﹣1的解集，確定不等式+x2+1＜0的解．解答：解：當x=1時，y=x2+1=2，∴A（1，2）；k=xy=1×2=2，即y=，解方程+x2+1=0，實際就是求出y=，與y=﹣x2﹣1，交點進而得出＜﹣x2﹣1的解集，∵y=，與y=﹣x2﹣1，交點橫坐標為：x=﹣1，由圖象可知，不等式＜﹣x2﹣1的解集就是+x2+1＜0的解集，得出：﹣1＜x＜0．故答案為：﹣1＜x＜0．點評：本題主要考查了二次函數與不等式的關系．關鍵是根據題意求反比例函數解析式，求出二次函數與反比例函數解析式和為0時x的值．13．在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠ADC=135°，點P在射線BA上，連接CP，將△BCP沿著CP折疊，點B恰好落到射線AD上，若AD=2，AB=3，則BP的長為．分析：根據已知畫出圖形，利用垂直平分線的性質得出CQ=BC=5，CF=AB=3，進而得出QF的長，以及AQ的長，再利用翻折變換的性質以及勾股定理求出AP即可得出BP的長．解答：解：作DE⊥BC，垂足E，延長AD，作CF⊥AD，交于F．∵∠ADC=135°∴∠DCE=45°∴△DEC是等腰直角三角形DE=CE∵四邊形ADEB是矩形∴DE=AB=3BE=AD=2BC=BE+EC=5設AD上Q點是B關于PC的對稱點，則PC是BQ的垂直平分線∴CQ=BC=5CF=AB=3∴QF==4DF=CE=3∴QD=QF﹣DF=4﹣3=1，∴AQ=AD﹣QD=2﹣1=1設AP=x∵PQ=PB，∴PB=3﹣x∵AP2+AQ2=PQ2∴x2+12=（3﹣x）2解得x=．∴BP=3﹣=．點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及勾股定理和垂直平分線的性質等知識，根據已知畫出正確圖形是解題關鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，四邊形CDEF為其內接正方形，若AE=2cm，BE=1cm，則圖中陰影部分的面積為1cm2．分析：顯然△BEF∽△BAC∽△EAD，S陰影部分=S△ABC﹣S正方形CDEF．根據BE：EA=BF：ED=BF：FE，運用勾股定理可求BF、FE、BC、AC，進一步計算面積．解答：解：∵EF∥AC，DE∥BC，∴△BEF∽△BAC∽△EAD．∴BE：EA=BF：ED=BF：FE=1：2，∵BE=1，設BF=x，則FE=2x．根據勾股定理得x2+（2x）2=1．解得x=．∴BF=，FC=FE=．∴BC=．∴AC=．S陰影部分=S△ABC﹣S正方形CDEF．=×﹣=﹣=1（cm2）．故答案為1．點評：此題考查相似三角形的判定與性質、正方形的性質，綜合性強，難度較大．15．觀察下列圖案：它們是按照一定規律排列的，依照此規律，第5個圖案中共有22個三角形，第n（n≥1，且n為整數）個圖案中三角形的個數為4n+2（用含有n的式子表示）．分析：結合圖形，發現：第1個圖案中，有6個三角形；第2個圖案中，有10個三角形；第3個圖案中，有14個三角形，依此類推，在6的基礎上，依次多4個三角形．解答：解：第5個圖案中，有6+4×4=22（個）三角形；第n個圖案中，有6+4（n﹣1）=4n+2（個）三角形．點評：此題中要能夠首先正確找到幾個特殊圖案的三角形個數，然后從結果中發現規律，進而求解．16．（2023?臨沂）某電動自行車廠三月份的產量為1000輛，由于市場需求量不斷增大，五月份的產量提高到1210輛，則該廠四、五月份的月平均增長率為10%．分析：設出四、五月份的平均增長率，則四月份的市場需求量是1000（1+x），五月份的產量是1000（1+x）2，據此列方程解答即可．解答：解：設四、五月份的月平均增長率為x，根據題意得，1000（1+x）2=1210，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（負值舍去），所以該廠四、五月份的月平均增長率為10%．點評：本題考查數量平均變化率問題，解題的關鍵是正確列出一元二次方程．原來的數量為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經過第一次調整，就調整到a×（1±x），再經過第二次調整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增長用“+”，下降用“﹣”．17．在三角形紙片△ABC中，AB=AC，把這個三角形折疊，使得點B與點A重合，折痕分別交直線AB、AC于點M、N，若∠ANM=50°，則∠B的度數等于70或20度．考點：翻折變換（折疊問題）；等腰三角形的性質．分析：根據題意畫出圖形，關鍵是考慮全面，①MN與AC相交于線段AC上，②MN與AC相交于線段CA的延長線上，根據兩種情況分別進行計算．解答：解：如圖1所示：根據折疊可得MN⊥AB，則∠AMN=90°，∵∠ANM=50°，∴∠A=180°﹣90°﹣50°=40°，∴∠B=（180°﹣40°）÷2=70°；如圖2所示：根據折疊可得MN⊥AB，則∠AMN=90°，∵∠ANM=50°，∴∠NAM=40°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B+∠C=∠NAM=40°，∴∠B=20°，故答案為：70或20．點評：此題主要考查了圖形的折疊，關鍵是考慮全面，根據題意畫出圖形．18．（2023?哈爾濱）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是斜邊AB的中點，DE⊥AC，垂足為E，若DE=2，CD=，則BE的長為4．分析：由點D為AB的中點，DE=2，求得BC，在直角三角形CDE中求得CE，在直角三角形CEB中從而求得BE得長．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∵點D為AB的中點，DE=2，∴BC=4，∵DE⊥AC，垂足為E，若DE=2，CD=，在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=4，∵在Rt△BCE中，∠ACB=90°，BE==4．故答案為：4．點評：本題考查了勾股定理，本題考查了三角形中線性質，利用勾股定理求得．三．解答題（共9小題）19．（2023?咸寧）在一條直線上依次有A、B、C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發，沿直線勻速駛向C港，最終達到C港．設甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數關系如圖所示．（1）填空：A、C兩港口間的距離為120km，a=2；（2）求圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；（3）若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍．分析：（1）由甲船行駛的函數圖象可以看出，甲船從A港出發，0.5h后到達B港，ah后到達C港，又由于甲船行駛速度不變，則可以求出a的值；（2）分別求出0.5h后甲乙兩船行駛的函數表達式，聯立即可求解；（3）將該過程劃分為0≤x≤0.5、0.5＜x≤1、1＜x三個范圍進行討論，得到能夠相望時x的取值范圍．解答：解：（1）A、C兩港口間距離s=30+90=120km，又由于甲船行駛速度不變，故，則a=2（h）．（2）由點（3，90）求得，y2=30x．當x＞0.5時，由點（0.5，0），（2，90）求得，y1=60x﹣30．當y1=y2時，60x﹣30=30x，解得，x=1．此時y1=y2=30．所以點P的坐標為（1，30）．該點坐標的意義為：兩船出發1h后，甲船追上乙船，此時兩船離B港的距離為30km．（3）①當x≤0.5時，由點（0，30），（0.5，0）求得，y1=﹣60x+30依題意，（﹣60x+30）+30x≤10．解得，x≥．不合題意．②當0.5＜x≤1時，依題意，30x﹣（60x﹣30）≤10解得，x≥．所以≤x≤1．（8分）③當x＞1時，依題意，（60x﹣30）﹣30x≤10解得，x≤．所以1＜x≤（9分）④當2≤x≤3時，甲船已經到了而乙船正在行駛，∵90﹣30x≤10，解得x≥，所以，當≤x≤3，甲、乙兩船可以相互望見；綜上所述，當≤x≤時或當≤x≤3時，甲、乙兩船可以相互望見．點評：此題為函數方程、函數圖象與實際結合的問題，同學們應加強這方面的訓練．20．（2023?綏化）某電腦公司經銷甲種型號電腦，受經濟危機影響，電腦價格不斷下降．今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，如果賣出相同數量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年銷售額只有8萬元．（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？（2）為了增加收入，電腦公司決定再經銷乙種型號電腦，已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺，有幾種進貨方案？（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現金a元，要使（2）中所有方案獲利相同，a值應是多少此時，哪種方案對公司更有利？分析：（1）求單價，總價明顯，應根據數量來列等量關系．等量關系為：今年的銷售數量=去年的銷售數量．（2）關系式為：4.8≤甲種電腦總價+乙種電腦總價≤5．（3）方案獲利相同，說明與所設的未知數無關，讓未知數x的系數為0即可；對公司更有利，因為甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，所以要多進乙．解答：解：（1）設今年三月份甲種電腦每臺售價m元．則：．（1分）解得：m=4000．（1分）經檢驗，m=4000是原方程的根且符合題意．（1分）所以甲種電腦今年每臺售價4000元；（2）設購進甲種電腦x臺．則：48000≤3500x+3000（15﹣x）≤50000．（2分）解得：6≤x≤10．（1分）因為x的正整數解為6，7，8，9，10，所以共有5種進貨方案；（1分）（3）設總獲利為W元．則：W=（4000﹣3500）x+（3800﹣3000﹣a）（15﹣x）=（a﹣300）x+12000﹣15a．（1分）當a=300時，（2）中所有方案獲利相同．（1分）此時，購買甲種電腦6臺，乙種電腦9臺時對公司更有利．（1分）點評：本題考查分式方程和一元一次不等式組的綜合應用，找到合適的等量關系及不等關系是解決問題的關鍵．21．（2023?沈陽）如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M．CN⊥直線a于點N，連接PM，PN．（1）延長MP交CN于點E（如圖2）．①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN；（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B，P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由．分析：（1）①根據平行線的性質證得∠MBP=∠ECP再根據BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN．（2）證明方法與②相同．（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．解答：（1）證明：①如圖2：∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，∴∠BMA=∠CNM=90°，∴BM∥CN，∴∠MBP=∠ECP，又∵P為BC邊中點，∴BP=CP，又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE，（3分）②∵△BPM≌△CPE，∴PM=PE∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN．（5分）（2）解：成立，如圖3．證明：延長MP與NC的延長線相交于點E，∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，（7分）又∵P為BC中點，∴BP=CP，又∵∠BPM=∠CPE，在△BPM和△CPE中，，∴△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，則Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN．（10分）（3）解：如圖4，四邊形M′BCN′是矩形，根據矩形的性質和P為BC邊中點，得到△M′BP≌△N′CP，（11分）得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．（12分）點評：本題考查旋轉的性質．旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．22．（2000?荊門）已知：E是正方形ABCD的邊BC上的中點，F是CD一點，AE平分∠BAF．求證：AF=BC+CF．分析：證法1：作EM⊥AF于M，連接EF，根據已知和正方形的性質分別證明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，從而得出結論．證法2：過中點E作EM∥AB，交AF于M．通過中位線的性質證明EM=（AB+CF），從而得出結論．解答：證法1：作EM⊥AF于M．∵∠B=90°，∴∠B=∠AME=90°，∵∠1=∠2，AE是公共邊，∴BE=EM，∴Rt△ABE≌Rt△AME．∴AM=AB=BC，EM=BE．①連接EF，E是BC中點，∴EC=BE=EM∴Rt△EMF≌Rt△ECF，∴FM=FC、②綜合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．證法2：過中點E作EM∥AB，交AF于M．則AM=MF，且∠1=∠2=∠3．∴EM=AM=AF∵EM=（AB+CF），∴AF=AB+CF=BC+CF．點評：本題考查了正方形的性質，及全等三角形的判定和性質．合理的將AF分成與BC，CF相等的兩份是解題的關鍵，本題難度較大．23．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A為第二象限內一點，過點A作x軸垂線交x軸于點B，點C為x軸正半軸上一點，且OB、OC的長分別為方程x2﹣4x+3=0的兩根（OB＜OC）．（1）求B、C兩點的坐標；（2）作直線AC，過點C作射線CE⊥AC于C，在射線CE上有一點M（5，2），求直線AC的解析式；（3）在（2）的條件下，坐標平面內是否存在點Q和點P（點P在直線AC上），使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．分析：（1）依題意OB，OC分別為方程x2﹣4x+3=0的兩根，求解后可求出點B，C的坐標．（2）設CE的直線解析式為y=kx+b，把已知坐標代入可得解析式，然后根據CE⊥AC求出直線AC的解析式即可．（3）已知點P在直線AC上，要作以O、C、P、Q為頂點的菱形，CP=OC，根據OC的長度，并且依據直線AC的解析式，即可求得P的坐標，OC必須平行且相等于QP，即可求得Q的坐標．解答：解：（1）解方程x2﹣4x+3=0得x1=1，x2=3．依題意得點B的坐標是（﹣1，0），C（3，0）．（2）設CE的直線解析式為y=kx+b，把點C，M的坐標代入可得?．得出CE的直線解析式為y=x﹣3，又因為直線CE⊥AC，故直線AC的解析式為y=﹣x+3．（3）存在．Q1（3，3）；Q2（）；Q3（）；Q4（，﹣）．點評：本題考查的是一次函數的綜合運用，菱形的性質以及一元二次方程的有關知識，難度中等．24．（2023?阜新）如圖，拋物線y=x2+x﹣與x軸相交于A、B兩點，頂點為P．（1）求點A、B的坐標；（2）在拋物線是否存在點E，使△ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）坐標平面內是否存在點F，使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標．考點：二次函數綜合題．專題：綜合題．分析：（1）令y=0，則x2+x﹣=0，解方程即可得到點A、B的坐標；（2）先利用對稱性得到頂點P的坐標，然后根據△ABP的面積等于△ABE的面積得到點E坐標為（a，2），再把E（a，2）代入拋物線的解析式得到關于a的方程，解方程即可確定E點坐標；（3）分類討論：分別以AB、PA、PB為平行四邊形的對角線，根據平行四邊的性質易確定點F的坐標．解答：解：（1）令y=0，則x2+x﹣=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴點A坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0）；（2）存在．拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，令x=﹣1，則y=﹣1﹣=﹣2，∴P點坐標為（﹣1，﹣2），∵△ABP的面積等于△ABE的面積，∴點E到AB的距離等于2，設E（a，2），把E（a，2）代入拋物線的解析式得，a2+a﹣=2，解得a=﹣1﹣2或﹣1+2，∴符合條件的點E的坐標為（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）．（3）所有符合條件的點F的坐標為（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）．點評：本題考查了解二次函數的綜合題的方法：先通過二次函數的解析式確定各特殊點的坐標，得到有關線段的長，然后利用幾何性質（如三角形面積公式，平行四邊形的性質）去確定其他點的坐標．25．（2023?佳木斯）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，點C的坐標為（﹣18，0）．（1）求點B的坐標；（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．分析：（1）如答圖1所示，構造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長度，即可求出B點坐標；（2）已知E點坐標，欲求直線DE的解析式，需要求出D點的坐標．如答圖1所示，構造相似三角形△ODG∽△OBA，由線段比例關系求出D點坐標，從而可以求出直線DE的解析式；（3）如答圖2所示，符合題意的點Q有4個，注意不要遺漏．解答：解：（1）過點B作BF⊥x軸于F在Rt△BCF中∵∠BCO=45°，BC=12∴CF=BF=12∵C的坐標為（﹣18，0）∴AB=OF=6∴點B的坐標為（﹣6，12）．（2）過點D作DG⊥y軸于點G∵AB∥DG∴△ODG∽△OBA∵===，AB=6，OA=12∴DG=4，OG=8∴D（﹣4，8），E（0，4）設直線DE解析式為y=kx+b（k≠0）∴∴∴直線DE解析式為y=﹣x+4．（3）結論：存在．設直線y=﹣x+4分別與x軸、y軸交于點E、點F，則E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．如答圖2所示，有四個菱形滿足題意．①菱形OEP1Q1，此時OE為菱形一邊．則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E=4﹣4．易知△P1NF為等腰直角三角形，∴P1N=NF=P1F=4﹣2；設P1Q1交x軸于點N，則NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，又ON=OF﹣NF=2，∴Q1（2，﹣2）；②菱形OEP2Q2，此時OE為菱形一邊．此時Q2與Q1