可編輯版/初中數學新人教版八上期考壓軸題匯編〔三角形部分一、動點問題：例1〔1如圖10,在Rt△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,M為AB中點,AF=CE,請判斷△MEF的形狀.〔2已知：如圖11在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,點D為AB上任一點,DF⊥AC于F,DE⊥BC于E,M為BC的中點.

①判斷△MEF是什么形狀的三角形并證明你的結論.

②當點D在AB上運動時,四邊形FMEC的面積是否會改變,并證明你的結論．③當點D在BA的延長線上運動時,如圖12,①中的結論還成立嗎？思路點撥：在等腰三角形中,M為底邊AB的中點,連結CM是常用的輔助線．解析：〔1△MEF是等腰直角三角形．〔2①△MEF是等腰直角三角形．理由如下：連結CM,如圖13

∵DF⊥AC于F,DE⊥BC于E,∠ACB=90°∴四邊形CEDF為長方形,∴DF=CE

∵在Rt△ABC中,AB＝AC,∠ACB＝90°,M為AB中點,∴∠A=∠1=45°,CM⊥AB,AM=BM=CM．圖13

∵在Rt△ADF中,∠A=45°∴AF=DF,∴AF=CE

∵在△AMF和△CME中∴△AMF≌△CME〔SAS

∴MF=ME,∠2=∠3

∵∠2+∠CMF=90°,∴∠3+∠CMF=90°,即∠EMF=90°∴△MEF是等腰直角三角形．②當點D在AB上運動時,四邊形FMEC的面積不會改變,證明如下：由①可知,△AMF≌△CME,∴S△AMF=S△CME．∵S△ACM=S△BCM,∴S△CMF=S△BME,∴S四邊形FMEC=S△CMF+S△CME=S△ABC．∴四邊形FMEC的面積不會改變．③成立,理由如下：連結CM,如圖14

∵DF⊥AC于F,DE⊥BC于E,∠ACB=90°∴四邊形CEDF為長方形,∴DF=CE

∵在Rt△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,M為AB中點,∴∠BAC=∠1=45°,CM⊥AB,AM=BM=CM．∴∠MAF=∠MCE=135°．∵在Rt△ADF中,∠DAF=∠BAC=45°∴AF=DF,∴AF=CE

∵在△AMF和△CME中∴△AMF≌△CME〔SAS

∴MF=ME,∠AMF=∠CME

∵∠CME+∠AME=90°,∴∠AMF+∠AME=90°,即∠EMF=90°∴△MEF是等腰直角三角形．總結升華：對比〔2中的①與③,都是先證明四邊形CEDF是長方形,從而得到AF=CE,接著證△AMF≌△CME,得到MF=ME,且∠EMF=90°,可以看出這兩問的證明思路大體上是相同的．也就是說,在這類問題中,可以通過第一問的解決來推測下面問題的推理方法,從而達到解題的目的．舉一反三[變式1]已知四邊形中,,,,,,繞點旋轉,它的兩邊分別交〔或它們的延長線于．當繞點旋轉到時〔如圖15,易證．當繞點旋轉到時,在圖16和圖17這兩種情況下,上述結論是否成立？若成立,請給予證明；若不成立,線段,又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想,不需證明．[答案]圖16,延長EA到O,使得OA=CF,連結OB,易證△ABO≌△CBF,OB=BF,進而證明△BEF≌△BEO,即可得到EF=AE+CF．圖17中,在AE中取一點O,使得OA=CF,連結OB,易證△ABO≌△CBF,OB=BF,進而證明△BEF≌△BEO,即可得到EF=AE-CF．[變式2]已知：正方形中,,繞點順時針旋轉,它的兩邊分別交〔或它們的延長線于點．當繞點旋轉到時〔如圖18,易證．〔1當繞點旋轉到時〔如圖19,線段和之間有怎樣的數量關系？寫出猜想,并加以證明．〔2當繞點旋轉到如圖20的位置時,線段和之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．[答案]此題與第1題方法相同．〔1BM+DN=MN；〔2DN-BM=MN．21．如圖1,點O是邊長為1的等邊△ABC內的任一點,設∠AOB=°,∠BOC=°〔1將△BOC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△ADC,連結OD,如圖2所示.求證：OD=OC。〔2在〔1的基礎上,將△ABC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△EAC,連結DE,如圖3所示.求證：OA=DE〔3在〔2的基礎上,當、滿足什么關系時,點B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。27．已知：如圖,中,,于,平分,且于,與相交于點是邊的中點,連結與相交于點．〔1求證：；〔2求證：；〔3與的大小關系如何？試證明你的結論．21、〔8分已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D是AB的中點,點E是AB邊上一點．〔1直線BF垂直于直線CE于點F,交CD于點G〔如圖①,求證：AE=CG；〔2直線AH垂直于直線CE,垂足為點H,交CD的延長線于點M〔如圖②,找出圖中與BE相等的線段,并證明．25.<1>如圖<1>,已知：在△ABC中,∠BAC＝90°,AB=AC,直線m經過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.<2>如圖<2>,將<1>中的條件改為：在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.<3>拓展與應用：如圖<3>,D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點〔D、A、E三點互不重合,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀并說明理由。21．如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分別以AB,CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF,連接AF,DE．〔1求證：AF=DE；〔2若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積,求BC的長．考點：等腰梯形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質。專題：探究型。分析：〔1根據等腰梯形的性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可；〔2如圖作BH⊥AD,CK⊥AD,利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長．解答：〔1證明：在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∴∠BAD=∠CDA,而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中,AB=AE,DC=DF,且∠BAE=∠CDF=60°,∴AE=DF,∠EAD=∠FDA,AD=DA,∴△AED≌△DFA〔SAS,∴AF=DE；〔2解：如圖作BH⊥AD,CK⊥AD,則有BC=HK,∵∠BAD=45°,∴∠HAB=∠KDC=45°,∴AB=BH=AH,同理：CD=CK=KD,∵S梯形ABCD=,AB=a,∴S梯形ABCD==,而S△ABE=S△DCF=a2,∴=2×a2,∴BC=a．點評：本題綜合性的考查了等腰梯形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定、全等三角形的性質以及等于直角三角形的性質和梯形、三角形的面積公式,屬于中檔題目．15．如圖,在等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝50°．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O,點C沿EF折疊后與點O重合,則∠CEF的度數是50°．考點：翻折變換<折疊問題>；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質。分析：利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質得出∠OBC＝40°,以及∠OBC＝∠OCB＝40°,再利用翻折變換的性質得出EO＝EC,∠CEF＝∠FEO,進而求出即可．解答：解：連接BO,∵∠BAC＝50°,∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O,∴∠OAB＝∠ABO＝25°,∵等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝50°,∴∠ABC＝∠ACB＝65°,∴∠OBC＝65°－25°＝40°,∵,∴△ABO≌△ACO,∴BO＝CO,∴∠OBC＝∠OCB＝40°,∵點C沿EF折疊后與點O重合,∴EO＝EC,∠CEF＝∠FEO,∴∠CEF＝∠FEO＝＝50°,故答案為：50°．點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及垂直平分線的性質和三角形內角和定理等知識,利用翻折變換的性質得出對應相等關系是解題關鍵．[9.2012XX]26．如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E,F為BC中點,BE與DF,DC分別交于點G,H,∠ABE=∠CBE．〔1線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明,若不相等請說明理由；〔2求證：BG2﹣GE2=EA2．考點：全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理。解答：證明：〔1∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,∴DB=DC,∠ABE=∠DCA,∵在△DBH和△DCA中∵∠DBH=∠DCA,∠BDH=∠CDA,BD=CD,∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC．〔2連接CG,∵F為BC的中點,DB=DC,∴DF垂直平分BC,∴BG=CG,∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB,在△ABE和△CBE中∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,∴△ABE≌△CBE,∴EC=EA,在Rt△CGE中,由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2．26．〔12分在?ABCD中,∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F,連接AC．〔1如圖1,若∠ADC=90°,G是EF的中點,連接AG、CG．①求證：BE=BF．②請判斷△AGC的形狀,并說明理由；〔2如圖2,若∠ADC=60°,將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG,連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．〔直接寫出結論不必證明考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定；等腰直角三角形．專題：壓軸題．分析：〔1①先判定四邊形ABCD是矩形,再根據矩形的性質可得∠ABC=90°,AB∥DC,AD∥BC,然后根據平行線的性質求出∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,再根據DF是∠ADC的平分線,利用角平分線的定義得到∠ADF=∠FDC,從而得到∠F=∠BEF,然后根據等角對等邊的性質即可證明；②連接BG,根據等腰直角三角形的性質可得∠F=∠BEF=45°,再根據等腰三角形三線合一的性質求出BG=FG,∠F=∠CBG=45°,然后利用"邊角邊"證明△AFG和△CBG全等,根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG,再求出∠GAC+∠ACG=90°,然后求出∠AGC=90°,然后根據等腰直角三角形的定義判斷即可；〔2連接BG,根據旋轉的性質可得△BFG是等邊三角形,再根據角平分線的定義以及平行線的性質求出AF=AD,平行四邊形的對角相等求出∠ABC=∠ADC=60°,然后求出∠CBG=60°,從而得到∠AFG=∠CBG,然后利用"邊角邊"證明△AFG和△CBG全等,根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG,全等三角形對應角相等可得∠FAG=∠BCG,然后求出∠GAC+∠ACG=120°,再求出∠AGC=60°,然后根據等邊三角形的判定方法判定即可．解答：〔1證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AB∥DC,AD∥BC,∴∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,∵DF是∠ADC的平分線,∴∠ADF=∠FDC,∴∠F=∠BEF,∴BF=BE；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：連接BG,由①知,BF=BE,∠FBC=90°,∴∠F=∠BEF=45°,∵G是EF的中點,∴BG=FG,∠F=∠CBG=45°,∵∠FAD=90°,∴AF=AD,又∵AD=BC,∴AF=BC,在△AFG和△CBG中,,∴△AFG≌△CBG〔SAS,∴AG=CG,∴∠FAG=∠BCG,又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°,∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°,即∠GAC+∠ACG=90°,∴∠AGC=90°,∴△AGC是等腰直角三角形；〔2連接BG,∵FB繞點F順時針旋轉60°至FG,∴△BFG是等邊三角形,∴FG=BG,∠FBG=60°,又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=60°,∴∠ABC=∠ADC=60°∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠AFG=∠CBG,∵DF是∠ADC的平分線,∴∠ADF=∠FDC,∵