0n1nrC0n1nrC5時

二式理基過1．(a＋＝(n∈N)這個公式稱做二項式定理，右邊的多項式叫(a＋的二項展開式的數

叫做二項式系數的

叫做二項展開式的通項，用T表，即通項公式T＝

是表示展開式的第r＋項2．二項式定理中，二項式系數性質有：①在項式展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項二項式系數相等，即：CCCC,nnnn

C.nn②如二項式的冪指數是偶數間一項的二項式系數最大果項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且大，即當n是偶時，是奇數，展開式共有項中間一項，即：第

項的二項式系數最大，為；奇數時n+1是偶數，展開式共有n+1項，中間兩項，即第

項及每

項，它們的二項式系數最大，為③二式系數的和等于，④二展開式中，偶數項系數和等于奇數項的系數和＝⑤展式中相鄰兩項的二項式系數的比是：

即

:

:

3．二項式定理主要有以下應用①近似計算②解決有關整除或求余數問題③用二項式定理證明一些特殊的不等式和推導組合公式（其做法稱為“賦值法注意二項式定理只能解決一些與自然數有關的問題④楊三角形典例例（06湖南(ax1)的開式中x

的系數是－實數的值．(2)（湖北8）在

(

3

x

)

24

的展開式中，x的冪指數是整數有

項．(3)(1+x)+(1+x)+(1+x)+……+(1+

展開式中x

項的系數為．解1－25（）35變式訓練1：若多項式

x2(x(910

,則

()A、、、－9、－1/4

92rr892rr8解根據左邊

10

的系數為1,易

，左邊的數為0,右邊的系數為a9

a10

10

9

,∴

故選D。例已知f(x)＝(1+x)，其中、∈N展開中x的次項系數為11，mn為何值時，含x項系取得最小值？最小值是多？由題意

，則含x項系數為

1n(n6

＋

16

(m

1n297()6228

，當n＝5或6時x

系數取得最小值為變式訓練2：分已知

(

2

ix

)

n

的展開式中第三項與第五項的系數之比為

314

,其中i2

,則展開式中常數項是()A、－B、45i、－、45解：第三項,第五項的系數分別為

C

2

,C4

4n

n依據題意有：

CC

2n4

((

24

314

,n整理得

n50即解方程n－10)(n＋5)＝則只有n=10適合題意.由

T

n

rr10

2

(

,當

20r

r2

0

時有r=8,故常數項為

C8(

C

2

=45

故選D10例3.若(1)

2004

x20

2004,x…20040

）02004解對于式子：

)

2004

axx012

2

2004

x

2004

令x=0，得到：a=10令x=1，到

......02

2004

=1又原式

01

）（

0

2

）……+（

0

2004

）=

a012

2004

)2003a0

2004

)∴原式

01

）（

0

2

）……+（

0

2004

）=20042/4

22*C,r并且≤r22*C,r并且≤r注意項系數”同二項式開式中“項的系數”的區別與聯.變式訓練3：若

2

ax

，則

021

的值是

（）A．C．解A

B．1D．2例已知項式

(x

2x

)

n

∈）展開式中第5項的數與第的系數的比是10：，（）展開式中各項的系數和（）展開式中系數最大的項以及二項式系數最大的項解1∵第5的系數與第項的數的比是：，∴

4n2

42

101

，解得n=8n令x=1得到展開式中各項的系數(1-2)=1(2)展式中第r項第r+1項第r+2的系數絕對值分別為C

r

n

,

C

rr

r

,8

8

8若第r+1項的系數絕對值最大則必須滿足：C

r

n

≤

C

rrr

r

，解得5≤r≤；88所以系數最大的項為T=1792

8

1x

8；二項式系數最大的項為T=1120

1x變式訓練4：①已知(

x

13x

)第5的二項式系數與第三項的二項系數的比是14:3，求展開式中不含x的.②求(x－－－＋－－(x－1)＋－1)的開式中x項系.解

1(1)n

1nn

1n

1n

1(1)nn

1nn

n(nnn1223/4

rrr111n

122

1

小結歸納1．注意(a＋及a－

展開式中，通項公式分別為

br

及

r

rrr

這里

且展開式都有n+1項，在使用時注意兩個公式的區別，求二項式的展開式中的指定項，要扣住通項公式來解決問題．2．二項式的展開式中二項式系與項的系數是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數及項數有關，與二項式無關，后者與二項式，二項式的指數及項數均