§6.3萬有引力定律★教課目的領會物理研究中猜想與考證的魅力，能夠踏著牛頓的蹤跡認識月地查驗。進一步勇敢地推導得出萬有引力定律。認識引力常量的丈量及意義?！锝陶n要點萬有引力推導的過程。萬有引力公式的領會及應用。引力常量的相關知識?！锝陶n難點(一)萬有引力推導的過程。(二)萬有引力公式的領會及應用。★教課過程一、引入師：經過上節課的學習我們認識到：行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力是由太陽與行Mm星間的引力供給的，引力大小為FGr2，與兩星體質量的乘積成正比，與兩星體距離的平方成反比。師：牛頓接著又思慮：月球繞地球做勻速圓周運動的向心力能否是近似地由地球與月球間的引力供給？地球和月球間的引力與太陽和行星的引力會不會是同一性質的力，按照同一規律FGMmr2呢？師：正當牛頓在思慮這個問題時，蘋果有時落地惹起了他的聯想。蘋果之因此會落回地面是因為地球對蘋果的吸引力，還有即便把蘋果放到最高的建筑物或最高的山頂上，蘋果的重力也不會顯然地減弱，說明地球對蘋果的吸引力必然延長到遠得多的地方。那如果把蘋果放到月球所在的地點，它們應當還會遇到地球給它的重力。按這樣的說法，月球一定會遇到地球給它的重力的，那我先前思慮的地球對月球的引力就應當就是月球受到的重力，月球繞地球做圓周運動的向心力就是由月球遇到的的重力供給的。于是牛頓作了一個勇敢的猜想：地球對蘋果的力、地球對月球的力及太陽對行星的力可能是同一種性質的力，它們可能按照同樣的規律。二、月地查驗師：猜想一定由事實來考證。因為當時已經能夠精準測定地球表面的重力加快度g=9.8m/s2，也能比較精準地測定月球與地球的距離為60倍地球半徑，r=3.8*108m；月球公轉的周期為27.3天。因此牛頓就想到了月地查驗。師：假如你是牛頓，你怎樣利用這些已知量對你的猜想進行考證呢？學生思慮，教師巡視，應當有許多學生能夠思慮出來一點眉目。假如它們是同一種性質的力，知足同一規律則關于蘋果必有m果gM地m果M地gGGR地2R地2關于地球對月球的引力即向心力FGM地m月m月g(60R地)2，則向心加快度為3600aFg2.7103m/s2m3600而依據實驗觀察數據T=27.3天，r=3.8*108m，用公式a42r2.7103m/s2T2【實驗結論】：實驗表示，地面物體所受地球的引力，月球所受地球的引力，以及太陽與行Mm星間的引力，真的按照的規律FG三、萬有引力師：在月地查驗后，牛頓作了更勇敢的假想：能否隨意兩個物體之間都存在這樣的引力？很可能是一般物體的質量比天體質量小得多，它們之間的引力我們不易察覺罷了。于是牛頓將結論勇敢推行到宇宙中的全部物體：自然界中任何兩個物體之間都互相吸引，引FMm力大小與m1m2乘積成正比，與G2r2成反比，即r。師：只管這個推行是什么自然的，但仍要接受事實的直接或間接的查驗。本章后邊的討論表示，由此得出的結論與事實符合，于是它成為科學史上最偉大的定律之一——萬有引力定律。它于1687年發布在牛頓的傳世之作《自然哲學的數學原理》中。師：萬有引力定律清楚地向人們揭露，復雜運動的后邊隱蔽著簡短的科學規律，它明確地向人們宣布，天上和地上的物體都按照著完整同樣的科學法例。師：萬有引力定律的發現有側重要的物理意義：它對物理學、天文學的發展擁有深遠的影響；它把地面上物體運動的規律和天體運動的規律一致同來；對科學文化發展起到了踴躍的推進作用，解放了人們的思想，給人們探究自然的神秘成立了極大信心，人們有能力理解天地間的各樣事物。注意：(一)此公式合用于可視為質點的兩物體間的引力的計算。（1）假如兩物體間的距離遠遠大于物體自己大小，則兩物體看作質點;(2)關于平均球體，可視為質量集中于球心。(二)關于不可以視為質點的物體，能夠將物體無窮切割成無數個點。(三)太陽對地球的吸引力與地球對太陽的吸引力哪個大？例1、由公式FGMm可知，當兩物體距離趨勢于0時,兩物體之間的引力趨于無量大。r2這類看法對嗎？【分析】：當兩物體間距離趨于0時，公式FMmG2已不合用。r例2、離地面某一高度h處的重力加快度是地球表面重力加快度的二分之一，則高度h是地球半徑的倍?！痉治觥浚旱厍虮砻嫔衔矬w所受重力約等于地球對物體的引力，則有mgGMmR2，式中G為引力常量，M為地球質量，m為物體質量，R為軌道半徑。MmmghGh)2離地面高度為h處，(Rgh1gh(21)R由題意知2，兩式相消解得例3、設地球的質量為M，地球半徑為R，月球繞地球運行的軌道半徑為r，試證在地球引力的作用下：gGM（1）地面上物體的重力加快度R2；aGM（2）月球繞地球運行的加快度r2。mgGMmgGM【分析】：（1）利用在地球表面重力等于萬有引力，即R2，∴R2GMmmaaGM（2）利用萬有引力供給向心力，即r2，∴r2GMGMga答案：R2，r2例4、證明太陽系中各行星繞太陽公轉周期的平方，與公轉軌道半徑的三次方的比值是與太陽質量相關的恒量。證明：設太陽質量為M，某行星質量為m，行星繞太陽公轉周期為T，半徑為R。軌道近似看作圓，萬有引力供給行星公轉的向心力2T242而T，∴R3GM例5、地球半徑為R,地面鄰近的重力加快度為g0,試求在地面高度為R處的重力加快度。mg0GMmg0GM【分析】：在地球表面鄰近，重力近似等于萬有引力，即R2，∴R2GMmmggGM∴g1g024R24當距地面R處時，萬有引力供給向心力，2R，∴四、引力常量師：牛頓得出了萬有引力定律，但他卻沒法用這個公式來計算天體間的引力，因為他不知道引力常量G的值。直到一百多年后英國物理學家卡文迪許經過實驗比較正確地測出了G值。師：有哪位同學能告訴我引力常量G的單位。生：依據公式

F

GMmr2

可推出公式單位為

Nm2

/kg2?！締挝弧浚篘m2/kg2卡文迪許扭秤實驗1）儀器：卡文迪許扭秤2）原理：如圖'mm′○1固定兩個小球的之間微θT形架，能夠使m，mMθS小的萬有引力產生較大的力矩，使石英絲產生一θθ定角度的偏轉,這是一次放大。Rr○2讓光芒射到平面鏡M上，在M偏轉角后，反射光芒偏轉2角。反射光點在刻度尺上挪動的弧長s2R，增大R，可增大S，又一次“放大”效應。○3測出S，依據石英絲扭轉力矩跟扭轉角度的關系算出這時的扭轉力矩，從而求得萬有引力F。觀看動畫：扭秤；卡文迪許實驗；桌面細小形變【切記】：往常取G=6.67*10-11N*m2/kg2卡文迪許測出G值的意義：證了然萬有引力的存在。使得萬有引力定律有了適用價值。例6、要使兩物體間的萬有引力減小到本來的1/4，以下方法不行采納的是（D）使兩物體的質量各減小一半，距離不變B.使此中一個物體的質量減小到本來的

1/4

，距離不變C.使兩物體間的距離增為本來的

2倍，質量不變D.使兩物體間的距離和質量都減為本來的1/4例7、半徑為R,質量為M的平均球體,在其內部挖去一個半徑為R/2的小球,在距離大球圓心為L處有一個質量為為m的小球,求此兩個球體之間的萬有引力.【分析】：化不規則為規則——先補后割（或先割后補）,等效辦理MmR的小球對在沒有挖去前，大球對m的萬有引力為FG2，該力等效于挖去的直徑為Lm的力和節余不規則部分對m的力這兩個力的協力。則設不規則部分對m的引力為Fx，M4(R)3m4332RGMm有FxG3R(L2L2)2【問題】：為何我們感覺不到旁邊同學的引力呢？【分析】：下邊我們大略地來計算一下兩個質量為50kg，相距0.5m的人之間的引力F=GMm/R2=6.67×10-7N【答案】:那么太陽與地球之間的萬有引力又是多大？【分析】：已知：太陽的質量為M=2.0×1030kg，地球質量為m=5.9×1024kg，日地之間的距離為R=1.5×1011mF=GMm/R2=3.5×1023N五、萬有引力與重力：一、理論：F向mgF萬：在赤道，向心力最大，重