2023/3/8第四章根軌跡法從前述章節(jié)可知,系統(tǒng)動態(tài)性能與閉環(huán)極點在S平面上的位置密切相關(guān)。因此,在分析系統(tǒng)性能時,需要定量研究系統(tǒng)的一個或者多個參量在一定范圍內(nèi)變化時,系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置變化以及對系統(tǒng)性能的影響。1948年,伊萬斯（W.R.Evans）根據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,提出了直接由開環(huán)傳遞函數(shù)尋求閉環(huán)特征根（即閉環(huán)極點）移動軌跡的方法,建立了一套繪制根軌跡的規(guī)則,這就是被廣泛應(yīng)用的根軌跡法。該方法可以簡便、直觀地分析系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。適用于單閉環(huán)系統(tǒng),也可用于多閉環(huán)系統(tǒng)。根軌跡法作為經(jīng)典控制理論的基本方法,與頻率特性法互為補(bǔ)充,是分析和研究自動控制系統(tǒng)的有效工具。實際上，我們可以利用matlab方便地繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。2023/3/8本章內(nèi)容第一節(jié)根軌跡的基本概念第二節(jié)繪制根軌跡的方法第三節(jié)參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡第四節(jié)正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能第六節(jié)延遲系統(tǒng)的根軌跡本章小結(jié)、重點和習(xí)題2023/3/8第一節(jié)根軌跡的基本概念對圖4-1所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K（根軌跡增益K1）從0向變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制為曲線，如圖4-2所示。這樣獲得的曲線稱為K1從0向變化時系統(tǒng)的根軌跡。圖4-1，二階系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征根：2023/3/8

可見，根軌跡圖全面地描述了參數(shù)K1對閉環(huán)特征根分布的影響。

定義：當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)(一般以增益為變化參數(shù))發(fā)生變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上描繪的曲線稱系統(tǒng)的根軌跡。

一般地，繪制系統(tǒng)根軌跡時選擇的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。以系統(tǒng)根軌跡增益K1為可變參量繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。以其它參數(shù)為變量繪制的根軌跡稱為參量根軌跡。圖4-2二階系統(tǒng)的根軌跡2023/3/8利用根軌跡，可對系統(tǒng)動態(tài)特性進(jìn)行下述分析：（1）判斷該系統(tǒng)在K1從0到變化時的穩(wěn)定性；（2）判斷系統(tǒng)在K1從0到變化時出根軌跡的條數(shù)；（3）判斷該系統(tǒng)在K1取值在何范圍時處于過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼狀態(tài)；（4）判斷系統(tǒng)的“型”，從而計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性；（5）當(dāng)K1值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點，從而計算系統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之；

2023/3/8第二節(jié)繪制根軌跡的基本方法一、繪制根軌跡的基本條件討論圖4-3所示系統(tǒng)，特征方程為

1＋G(s)H(S)=0

或

G(S)H(S)=-1

根據(jù)復(fù)數(shù)等式兩邊的幅值和相角應(yīng)分別相等的原則，可得繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件，即：幅值條件和相角條件：

以上條件是判斷復(fù)平面上某點是否在系統(tǒng)根軌跡上的充要條件。

圖4-3系統(tǒng)方框圖2023/3/8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)通常可以寫成兩種因子形式，即時間常數(shù)表達(dá)式和零極點表達(dá)式。（1）時間常數(shù)表達(dá)式：（2）零極點表達(dá)式：此時幅值條件和相角條件分別為：2023/3/8在實際繪制根軌跡時，只要依據(jù)相角條件就可以繪制根軌跡，而幅值條件主要用于確定根軌跡上各點對應(yīng)的根軌跡增益K1值。【例4-1】單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試檢驗S1=-1.5+j2.5是否為該系統(tǒng)根軌跡上的點；如果是，則確定與它相對應(yīng)的K1值是多少。解:（1）確定開環(huán)零、極點,并標(biāo)注到復(fù)平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6,z1=-4，（2）將s1坐標(biāo)帶入相角條件：滿足相角條件,S1=-1.5+j2.5是該系統(tǒng)根軌跡上的點。2023/3/8本例說明的是一種試探法繪制系統(tǒng)根軌跡的例子,十分煩瑣。圖4-4例4-1圖（3）利用幅值條件求得與S1相對應(yīng)的K1值。2023/3/8二、繪制根軌跡的基本規(guī)則

規(guī)則1：根軌跡的分支數(shù)和對稱性。根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)n；根軌跡對稱于實軸。規(guī)則2：根軌跡的起點與終點。

起始點：K1=0時的閉環(huán)極點，即系統(tǒng)的開環(huán)極點。起始點與終止點個數(shù)相等，均為n；終止點：（1）有限值終止點：當(dāng)K1時，有m條分支趨向開環(huán)零點；（2）無限遠(yuǎn)終止點：n-m條分支趨向無窮遠(yuǎn)處,需要確定其方位和走向。

2023/3/8證明：由幅值條件當(dāng)時，只有才能滿足以上幅值條件，故根軌跡必從開環(huán)極點出發(fā)。當(dāng)時，只有才能滿足以上幅值條件，故根軌跡必從終止于開環(huán)零點或無窮遠(yuǎn)處。2023/3/8

規(guī)則3:

實軸上的根軌跡。實軸上某線段右邊的實零點和實極點總數(shù)為奇數(shù)時，這些線段就是根軌跡的一部分。如圖4-5所示。

圖4-5實軸上的根軌跡證明：s1左邊每個開環(huán)極點或零點提供的相角為0，s1右邊每個開環(huán)極點或零點提供的相角為180o，沒對共軛極點和零點提供的相角只和為0或360o，互相抵消。故，只有其右邊開環(huán)零點、極點的總數(shù)為奇數(shù)的實軸線段才滿足相角條件。2023/3/8

規(guī)則4:根軌跡的漸近線。

當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益K1時，趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條，它們趨向無窮遠(yuǎn)處的方位可由漸近線決定。（1）漸近線與實軸的傾角為：（2）漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為：（證明略）2023/3/8【例4-2】解：無零點，只有一個極點故其根軌跡只有一條分支，且就在實軸上，其根軌跡如圖4-6所示，畫根軌跡。圖4-6例4-2的根軌跡圖【例4-3】，畫根軌跡。解：無零點，有兩個極點故其根軌跡有兩條分支趨向無窮遠(yuǎn)，漸近線傾角：2023/3/8漸近線與實軸只交點：其根軌跡如圖4-7所示兩條根軌跡分別從極點0、－0.5出發(fā)，并匯合于a點，然后分離，分別沿90o，－90o的漸近線趨向無窮遠(yuǎn)圖4-7例4-3的根軌跡圖a2023/3/8用Matlab繪制根軌跡：>>n=[1];>>d=[conv([1,0],[1,0.5])];>>rlocus(n,d)圖4-8例4-3的根軌跡圖Matlab繪制2023/3/8【例4-4】設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)K1由0變化到時，試按一般步驟與規(guī)則繪制其根軌跡圖。解:

（1）本系統(tǒng)為3階系統(tǒng)，有3條根軌跡；（2）起始點：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，只有三個開環(huán)極點，分別為p1=0，p2=-1，p3=-2。（3）漸近線：K1時，有3條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處，其漸近線的傾角為：漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為

2023/3/8（4）實軸上的根軌跡：在S平面實軸上[0，-1]和[-，-2]線段上存在根軌跡。根軌跡草圖如圖4-8所示

其中一條從p3=-2出發(fā),隨著K1的增加,沿著負(fù)實軸趨向無窮遠(yuǎn)處。另兩條分支分別從p1=0和p2=-1出發(fā),沿著負(fù)實軸向b點移動。當(dāng)K1值達(dá)到某一數(shù)值時,這兩條分支相交于實軸上的b點,這時系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K1繼續(xù)增大時,這兩條分支離開負(fù)實軸分別趨近60o和-60o的漸近線，向無窮遠(yuǎn)處延伸。在Kb＜K1＜Kc時,系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài),出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng)K1＞Kc時,，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。圖4-9例4-4的根軌跡圖2023/3/8用Matlab繪制根軌跡：>>n=[1];>>d=[conv([1,1],[1,2]),0];>>rlocus(n,d)圖4-10例4-4的根軌圖Matlab繪制2023/3/8規(guī)則5：根軌跡的分離點、會合點和分離角。幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分離點（或會合點）。分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之間。分離點(會合點)是閉環(huán)特征方程的重根點，在的變化過程中，分離點(會合點)是取得極大值或極小值的點，在特征方程中，將用s及其各次冪的形式表達(dá)出來，再根據(jù)求極值的方法尋找分離點(會合點)處的s值，即分離點與會合點必須滿足方程:

上述方程是求取分離點或會合點的必要條件，是否確實為分離點或回合點，需要用相角條件進(jìn)行判斷。分離點或會合點可能在s平面上任何一點2023/3/8【例4-5】求例4-4中分離點b的坐標(biāo)。解：系統(tǒng)的特征方程為推出：由此得：解得：s1=-0.423,s2=-1.577，即此兩點為可能得分離點，又知分離點在0至－1之間的線段上，故s1=-0.423為分離點b的坐標(biāo)。分離角：根軌跡離開重根點處的切線與實軸正方向的夾角被稱為分離角,其計算公式為：

r為分離點處根軌跡的分支數(shù)2023/3/8規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角。根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出發(fā)的角度（出射點的切線與實軸正方向的夾角）稱為出射角；進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點的角度（入射點的切線與實軸正方向的夾角）稱為入射角。(出射角對復(fù)極點入射角對復(fù)零點)。出射角：入射角：其中：為其它開環(huán)零點、極點對出射點或入射點提供的相角，即：說明：如圖4-9所示為已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布，可說明出射角的求取。在根軌跡上靠近起點P1較遠(yuǎn)處取一點S1,顯然滿足相角條件，有2023/3/8當(dāng)S1無限趨近于P1點時，即為P1點的出射角，一般情況下，開環(huán)復(fù)數(shù)極點Pk的出射角為：圖4-11出射角的確定用同樣的方法可以確入射角2023/3/8規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點。在根軌跡與虛軸的交點處，存在系統(tǒng)的純虛根，實際上是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定點。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點。（1）勞斯判據(jù)法；（2）復(fù)數(shù)相等方法

【例4-6】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點。

解：

求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：（1）勞斯判據(jù)法；列出勞斯表：若陣列中的S1和S0行等于零，則系統(tǒng)就處于穩(wěn)定邊界上，特征方程具有純虛根，由此可得：K1=6時，s=j1.414;K1=0時，s=j0。2023/3/8（2）復(fù)數(shù)相等方法令系統(tǒng)特征方程中的s=j,令整理得到方程的實部和虛部分別為零，可得到相同的結(jié)果：即由得到：

K1=6時，s=j1.414;K1=0時，s=j0。規(guī)則8：閉環(huán)極點的和與積。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系

閉環(huán)極點之和：

閉環(huán)極點之積：為系統(tǒng)特征方程的系數(shù)2023/3/8特別地，當(dāng)n-m2時，有:

即閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。這些表明在開環(huán)極點確定的情況下，隨著K1的變化，若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。即一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行。【例4-7】已知與開環(huán)傳遞函數(shù)為

其根軌跡與虛軸的交點為s1,2=j1.414,試求交點處的臨界K1值及第三個特征根。解：系統(tǒng)的特征方程為：由閉環(huán)極點之和公式易得s3=-3

由閉環(huán)極點之和公式易得K1=62023/3/8【例4-8】已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制K1變化時的根軌跡。解：按以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：（1）開環(huán)極點為p1=0，p2=-3，p1=-1j,無開環(huán)零點；（2）根軌跡分支數(shù)n=4條；（3）在實軸上[-3，0]之間為根軌跡段；（4）漸近線,n-m=4條：（5）由特征方程求分離點

解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。s1為分離點。分離角為90o。

2023/3/8利用根軌跡的幅值條件可求得對應(yīng)于分離點s1=-2.3的K1值為4.33。（6）求出射角根據(jù)對稱性可知：p4=71.6（7）求根軌跡與虛軸的交點。由特征方程并列出勞斯表：令勞斯表中S1行的首項為零，求得K1=8.16。根據(jù)表中S2行的系數(shù)寫出輔助方程:令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根軌跡的兩條分支與虛軸交于=1.1j處對應(yīng)的K1=8.16。2023/3/8圖4-12例4-8的根軌跡圖最后，得到系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示2023/3/8用Matlab繪制根軌跡：>>n=[1];>>d=[conv([1,3],[1,2,2]),0];>>g=tf(n,d);>>rlocus(g)圖4-13例4-8的根軌跡圖Matlab繪制2023/3/8三、閉環(huán)極點的確定

根據(jù)上述規(guī)則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。當(dāng)需要比較準(zhǔn)確地確定某些局部圖形時，可用相角條件逐點繪出。當(dāng)K1值滿足幅值條件時，對應(yīng)的根軌跡上的點，就是閉環(huán)極點。有兩個方面的工作要做：（1）利用幅值條件，可以確定根軌跡上任一點所對應(yīng)的K1值，也可在根軌跡上標(biāo)出一些點的K1值。（2）在一些情況下，給出一對主導(dǎo)共軛極點的阻尼比，要求確定閉環(huán)極點及相應(yīng)的根軌跡增益。為此可先畫一條給定的線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡的交點確定一對共軛閉環(huán)極點，然后再求相應(yīng)的根軌跡增益和實數(shù)極點。

2023/3/8

在例4-8中，若給定一對主導(dǎo)極點的阻尼比=0.5。根據(jù)=0.5線與根軌跡的交點，可以確定一對共軛極點為-0.4j0.7。對應(yīng)的根軌跡增益K1值等于各開環(huán)極點至此點距離之積，即K1=0.84*1.86*2.74*0.68=2.91，用試探法可找到另外兩個閉環(huán)極點：s=-1.4;s=-2.85

由此可求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：

2023/3/8【例4-9】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點：

p1=0，p2=-4，p3,4=-2j4

（1）根軌跡分支數(shù)n=4條。（2）實軸上［-4，0］區(qū)間為根軌跡段。（3）漸近線

n-m=4條：（4）出射角為：

由對稱性知p4=90o。2023/3/8（5）求分離點。由特征方程令：解得分離點為：

S1=-2,S2,3=-2j2.449（6）求根軌跡與虛軸的交點。由特征方程列出勞斯表并計算：令表中S1行的首項為零，求得K1=260，根據(jù)表中S2行的系數(shù)得到輔助方程：2023/3/8求解得到根軌跡與虛軸的交點：根據(jù)幅值條件可得到根軌跡圖上的幾個特殊點對應(yīng)的K1值。系統(tǒng)根軌跡如圖4-14所示:用Matlab繪制根軌跡：>>d=[conv([1,4],[1,4,20]),0];>>g=tf(1,d);>>rlocus(g)圖見下頁之圖4-15圖4-14例4-9的根軌跡圖2023/3/8圖4-15例4-9的根軌跡圖Matlab繪制2023/3/8表4-1列出了繪制根軌跡的基本規(guī)則：表4-1繪制根軌跡的基本規(guī)則2023/3/8表4-2中列出了一些系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布及其相應(yīng)的根軌跡圖表4-2一些系統(tǒng)的根軌跡2023/3/8第三節(jié)參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡一、參量根軌跡

前述以根軌跡增益K1為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。實際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、極點、時間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非K1為參變量的根軌跡稱為參量根軌跡，又稱廣義根軌跡。第二節(jié)所講根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參量根軌跡，但需要預(yù)先將可變參量演化到相當(dāng)于常規(guī)根軌跡增益K1的位置上。下面舉例說明參數(shù)演化和參量根軌跡的繪制方法的方法。

【例4-10】設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。

解：對給定系統(tǒng)特征方程進(jìn)行以下變換：2023/3/8不含參數(shù)的部分含參數(shù)的部分等效開還傳遞函數(shù)黃金法則2023/3/8現(xiàn)在來繪制等效開還傳遞函數(shù)：的根軌跡，方法同前。解：開還零極點：2023/3/8用Matlab繪制根軌跡：>>g=tf([1,0],[1,0,4])>>rlocus(g)圖4-17例4-10的參量根軌跡，matlab繪制2023/3/8【例4-11】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求以開環(huán)極點a為連續(xù)可變參數(shù)，以K1為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。解：系統(tǒng)特征方程為：或：應(yīng)用黃金法則，得：其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：求出G*（s）H*（s）的極點，即方程的跟，2023/3/8（確切地說是根軌跡，因為K1為變量）。為了作出的根軌跡，再一次應(yīng)用黃金法則，即有：從而得到另一個等效開環(huán)傳遞函數(shù)：根據(jù)G1*(s)H1*(s),繪出不同K1值時的根軌跡，如圖4-18。在圖4-19中用虛線表示這個根軌跡圖。注意，這些虛線上的點就是G*(s)H*(s)對應(yīng)于不同K1值的極點，也就是按G*(s)H*(s)作出的根軌跡（當(dāng)a=0～）的起點。這樣，給定一個K1值，即可按G*(s)H*(s)描繪出a=0～時的一組根軌跡；給定另一個K1值，就得到另一組這樣的根軌跡……，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖4-19中實線所示。由圖可見，a=0時系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)a增大至一定數(shù)值時，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。2023/3/8a的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為K1=a(a＋1)。圖4-18的根軌跡圖4-19根軌跡族2023/3/8二、多回路系統(tǒng)的根軌跡

根軌跡分析方法不僅適用于單回路系統(tǒng)，也適用于多回路系統(tǒng)。繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的步驟：（1）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)反饋回路的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點分布。（2）由內(nèi)反饋回路的零、極點和內(nèi)回路外的零、極點構(gòu)成整個多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極點。再按照單回路根軌跡的基本法則，繪制整個系統(tǒng)的根軌跡。【例4-12】設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-20所示，試?yán)L制多回路系統(tǒng)的跟軌跡。解：（1）首先確定內(nèi)回路的根軌跡2023/3/8內(nèi)回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為：內(nèi)回路特征方程為：繪制a變化時內(nèi)環(huán)系統(tǒng)特征方程的根軌跡,需要根據(jù)D1(s)構(gòu)造一個等效系統(tǒng),新系統(tǒng)的特征方程與D1（s）一樣，而參數(shù)a相當(dāng)于開環(huán)增益，故等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)為：注意：在繪制根軌跡時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母中若有相同因子時，不能相消，相消后將會丟掉閉環(huán)極點。

圖4-20系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2023/3/8

當(dāng)a變化時內(nèi)回路的根軌跡如圖4-21所示。當(dāng)a1=2.5，a＝1.25時，對應(yīng)的內(nèi)回路閉環(huán)極點分別為P’1=0；P’2,3=-l.5j1.5，此時內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

（2）繪制K變化時的多回路系統(tǒng)根軌跡多回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：按照前述繪制常規(guī)根軌跡的方法求出出射角、根軌跡與虛軸交點等，繪制根軌跡如圖4-22所示2023/3/8圖4-21內(nèi)環(huán)根軌跡圖當(dāng)a1為約2.5時，內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點為P’1=0；P’2,3=-l.5j1.52023/3/8

當(dāng)a取l.25，K＞6.25時，此多回路系統(tǒng)將有兩個閉環(huán)極點分布在右半S平面，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。

繪制多回路反饋控制系統(tǒng)根軌跡的方法：從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步擴(kuò)展到整個系統(tǒng)。圖4-22多回路系統(tǒng)根軌跡2023/3/8第四節(jié)正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡復(fù)雜的控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，如圖4-22所示。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計系統(tǒng)時加進(jìn)的。具有局部正反饋的系統(tǒng)可以由主回路的負(fù)反饋使之穩(wěn)定，但在利用根軌跡法對系統(tǒng)進(jìn)行分析時必須求出正反饋回路的零、極點。下面討論正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。圖4-23所示的局部正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即：相應(yīng)的特征方程為：圖4-23具有局部正反饋的系統(tǒng)2023/3/8其幅值條件和相角條件分別為：與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件和相角條件相比,可見繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件沒有變，相角條件發(fā)生了改變。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件是180o等相角條件，正反饋系統(tǒng)則是0o等相角條件。所以通常稱負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡為180o根軌跡，稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為零度根軌跡。2023/3/8

根據(jù)正反饋的相角條件，在繪制正反饋回路的根軌跡時需對表4-1中的與相角條件有關(guān)的規(guī)則作如下修改，其余規(guī)則不變。規(guī)則3：實軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊的開環(huán)零、極點數(shù)目之和為偶數(shù)。規(guī)則4：（n-m）條漸近線的傾角為：規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角為：【例4-13】圖

4-24所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試?yán)L制其零度根軌跡。

2023/3/8解：（1）開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-2，有三條根軌跡起于開環(huán)極點，終點均在無窮遠(yuǎn)處。（2）實軸上區(qū)間[-2，-1]和［0，］為根軌跡段。（3）漸近線與實軸相交于-1點，傾斜角由傾角公式計算,取q=0、1、2，得a=0o、120o、240o。

（4）分離點的求法與負(fù)反饋情況完全一樣。在例4-4中已解出兩個分離點：S1=0.423，S2=-1.577，并且已確定-0.423是負(fù)反饋情況下的分離點，這里可以確定-1.577是正反饋情況下的分離點。

最后得系統(tǒng)的根軌跡如圖4-25所示。圖4-24正反饋系統(tǒng)2023/3/8由圖4-25可以看出，該系統(tǒng)在正反饋情況下總存在一個正實根，因而該系統(tǒng)在正反饋情況下是不可能穩(wěn)定的。圖4-25正反饋系統(tǒng)的根軌跡2023/3/8【例4-14】繪制圖4-26所示具有正反饋內(nèi)環(huán)回路系統(tǒng)的根軌跡。解：首先繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡。內(nèi)環(huán)部分的特征方程為或設(shè)內(nèi)環(huán)的開環(huán)極點為根據(jù)規(guī)則6可知，由這一對共軛復(fù)數(shù)極點出發(fā)的根軌跡的出射角為對內(nèi)環(huán)的特征方程，求出dK0/ds，得圖4-26具有正反饋內(nèi)環(huán)的系統(tǒng)2023/3/8于是得到根軌跡與實軸的交點坐標(biāo)為：S=-n規(guī)則3指出:實軸上存在根軌跡的條件是其線段右邊的開環(huán)零、極點為偶數(shù)。現(xiàn)在該系統(tǒng)內(nèi)環(huán)在實軸上不存在開環(huán)零、極點,所以根軌跡可以存在于全部實軸上。正反饋內(nèi)環(huán)回路的根軌跡如圖4-27（a）所示。

由圖可見，隨著回路開環(huán)增益K0的增大，閉環(huán)極點將從一對穩(wěn)定的復(fù)數(shù)極點逐漸成為兩個穩(wěn)定的實數(shù)極點。當(dāng)K0增到K0=1時，回路將有一個p=0的極點。如果使K0＞1，則回路就有位于S平面右半部的實極點了。

圖4-27例4-14系統(tǒng)的根軌跡2023/3/8假定系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的開環(huán)增益K0=1，則內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點是p1=0和p2=-2-n，如圖5-27（a）中根軌跡上的小三角所示。這時，系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)相當(dāng)于是一個積分環(huán)節(jié)與一個非周期環(huán)節(jié)串聯(lián)而成。將內(nèi)環(huán)的兩個閉環(huán)極點與內(nèi)環(huán)外控制器的零、極點標(biāo)在圖5-27（b）中，然后按負(fù)反饋根軌跡的規(guī)則，可以繪出K0變化時整個系統(tǒng)的根軌跡。2023/3/8【例4-15】已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡（很小)。解：當(dāng)很小時，例如=0.5，延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)化為：

特征方程為：上式為正反饋回路特征方程，可根據(jù)非最小相位系統(tǒng)繪制零度根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡。2023/3/8（1）此系統(tǒng)的根軌跡有兩條分支，分別從開環(huán)極點pl=0和p2=-1出發(fā)。當(dāng)k2,一條分支趨向開環(huán)零點Z=2，另一條趨向無窮遠(yuǎn)處。（2）實軸上的根軌跡存在于［-1，0］和［2，］區(qū)間。（3）令dK2/ds=0，求解得分離點為：S1=-0.45，S2=4.45（4）將S=j代入特征方程，解得根軌跡與虛軸的交點為：該系統(tǒng)的零度根軌跡如圖4-28所示。圖4-28具有遲后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的根軌跡2023/3/8

表4-3列出了幾種具有相同開環(huán)零、極點分布的負(fù)反饋系統(tǒng)和正反饋系統(tǒng)的根軌跡圖。若正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則其特征方程可寫為與負(fù)反饋系統(tǒng)的特征方程式相比較，可知：正反饋系統(tǒng)的根軌跡，就是當(dāng)K1從零變化到負(fù)無窮時的具有相同開環(huán)傳遞函數(shù)的負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡。因此可將負(fù)反饋系統(tǒng)和正反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，繪制-＜K1＜+整個區(qū)間的根軌跡。2023/3/8表4-3幾種正、負(fù)反饋回路的根軌跡2023/3/8第五節(jié)利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能

系統(tǒng)的閉環(huán)極點與系統(tǒng)的穩(wěn)定性及暫態(tài)響應(yīng)有密切的關(guān)系，而閉環(huán)系統(tǒng)的極、零點可由根軌跡法確定。當(dāng)系統(tǒng)存在一對主導(dǎo)極點時，可按低階系統(tǒng)近似估算系統(tǒng)的暫態(tài)性能。一、利用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)

根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：１．繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；２．分析根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益K1對閉環(huán)零、極點分布的影響；３．根據(jù)閉環(huán)極點的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)；４．對高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉環(huán)主導(dǎo)極點。2023/3/8例4－16：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試在根軌跡上確定一個Kg值，使其中一個閉環(huán)極點位于的阻尼線上，并求解其余的閉環(huán)極點；估算該Kg值下的性能指標(biāo)。解在根軌跡上作的阻尼線（）交于s1點，讀得其共軛根另一特征根可由特征方程次高次冪的系數(shù)求得為

2023/3/8與s1的實部比為，滿足閉環(huán)主導(dǎo)極點的條件。由幅值條件知，s1點的Kg值為將s1當(dāng)作二階系統(tǒng)的極點可用二階性能指標(biāo)來估算系統(tǒng)性能。2023/3/8二、增加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響增加的開環(huán)零點能夠改變根軌跡的分布。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為以Kg為參變量的根軌跡，以及附加開環(huán)零點-4、-2.5、-1.5時的根軌跡分別如圖所示。增加的開環(huán)實值零點使根軌跡向左偏移了，零點越遠(yuǎn)離虛軸，根軌跡向左偏移的程度越小；零點越靠近虛軸，偏移的程度越厲害。

2023/3/8增加的開環(huán)零點也是閉環(huán)零點，與閉環(huán)主導(dǎo)極點的實部會產(chǎn)生一定的抵消作用，使由閉環(huán)主導(dǎo)極點所確定的超調(diào)量有所增大，若使超調(diào)量不增加，增加零點后可選ζ值大些的阻尼線。

若增加的開環(huán)零點太靠近虛軸，阻尼線上的特征根不能擔(dān)當(dāng)閉環(huán)主導(dǎo)極點了，此時實軸上有比它們更靠近虛軸的閉環(huán)極點，該極點過大的時間常數(shù)使響應(yīng)呈過阻尼性質(zhì)，如圖d)所示。2023/3/8三、增加開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響增加開環(huán)極點與增加開環(huán)零點的作用互補(bǔ)。例如，開環(huán)傳遞函數(shù)為的根軌跡圖如圖a)所示。增加一個穩(wěn)定的開環(huán)極點p＝－2后的根軌跡如圖b)所示。圖中可見，復(fù)平面上的根軌跡向右偏移了，漸近線由變?yōu)椋琄g值越大右移得越多，穿過虛軸后系統(tǒng)不穩(wěn)定了。分離點由(-0.5)點移至(-0.42)點，對應(yīng)的Kg值也由0.25減小到0.19，意味著增加開環(huán)極點后，開環(huán)放大系數(shù)需要降低才可能使響應(yīng)具有同樣的振蕩傾向，而降低開環(huán)放大系數(shù)會增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

增加開環(huán)極點后,根軌跡將向右彎曲,不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。因此,一般不希望單獨增加開環(huán)極點。2023/3/8四、增加開環(huán)偶極子對系統(tǒng)性能的影響開環(huán)偶極子滿足：①、極點比零點更靠近坐標(biāo)原點，②、較比原系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點而言，這對零極點的間距很小，并且很靠近坐標(biāo)原點，通常它們的中心距到坐標(biāo)原點的距離比閉環(huán)主導(dǎo)極點的負(fù)實部要小一個數(shù)量級。

2023/3/8增加開環(huán)偶極子對原系統(tǒng)的暫態(tài)性能影響甚微，但增加偶極子對減小穩(wěn)態(tài)誤差的作用明顯。例如，某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為穩(wěn)態(tài)誤差為，在前向通道配置偶極子新的開環(huán)傳遞函數(shù)為穩(wěn)態(tài)誤差為可見，穩(wěn)態(tài)誤差減小了10倍，等于偶極子零極點的比值。2023/3/8

系統(tǒng)閉環(huán)的零、極點位置與暫態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系有如下結(jié)論：

（1）如系統(tǒng)閉環(huán)極點全部位于S左半平面,則系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)呈收斂性,系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）如系統(tǒng)閉環(huán)極點均為負(fù)實數(shù),且無零點,則系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的,響應(yīng)時間主要取決于距虛軸最近的極點。2023/3/8（3）如系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，則系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，而調(diào)節(jié)時間主要取決于主導(dǎo)極點的實部1=n。（4）如系統(tǒng)存在距離非常接近的閉環(huán)極點和零點，其相互距離比其本身的模小一個數(shù)量級以上，則把這一對閉環(huán)零、極點稱為偶極子。一般情況下，偶極子對系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。但如偶極子的位置接近坐標(biāo)原點，其影響不可忽略。偶極子不影響系統(tǒng)主導(dǎo)極點的地位。（5）如除了一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點外，系統(tǒng)還具有若干實數(shù)零、極點，零點的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增加；實數(shù)極點的存在會增大系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減小。2023/3/8第六節(jié)延遲系統(tǒng)的根軌跡

有的實際系統(tǒng)或環(huán)節(jié)存在純時間延遲現(xiàn)象，即環(huán)節(jié)的輸出信號比輸入信號延遲時刻。具有這種特性的環(huán)節(jié)稱為延遲環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為e-s。延遲環(huán)節(jié)的存在對系統(tǒng)穩(wěn)定性有不利影響。具有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)根軌跡具有一定的特殊性。設(shè)延遲系統(tǒng)的方框圖如圖5-29所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為這是一個關(guān)于s的超越方程，具有無限多個解圖4-34延遲系統(tǒng)方框圖2023/3/8延遲環(huán)節(jié)的近似處理將e-s展開為冪級數(shù)：或：在一定條件下取前兩項，得到延遲環(huán)節(jié)的近似表達(dá)式。一、繪制延遲系統(tǒng)根軌跡的條件由延遲系統(tǒng)的特征方程可推導(dǎo)繪制系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件可見，當(dāng)=0時，上述條件與常規(guī)系統(tǒng)根軌跡繪制條件相同。

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當(dāng)0時，特征根s=+j的實部將影響幅值，相角條件與、q值有關(guān)。注意：當(dāng)q值從0，1，2，…變到時，相角條件右邊有無窮多個數(shù)值。表明對于一定的K1值，復(fù)平面上滿足幅值條件和相角條件的點有無窮多個，說明延遲系統(tǒng)的根軌跡有無窮多條。二、繪制延遲系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則

根據(jù)延遲系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件,可得繪制延遲系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則。規(guī)則1：根軌跡的分支數(shù)和對稱性。因系統(tǒng)特征方程的根有無窮多個，因而系統(tǒng)的根軌跡有無窮多個分支，且對稱于實軸。規(guī)則2：