第2課時(shí)

標(biāo)準(zhǔn)差導(dǎo)入新課思路

1均勻數(shù)為我們供給了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,可是,有時(shí)均勻數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)整體的片面判斷.某地域的統(tǒng)計(jì)顯示,該地域的中學(xué)生的均勻身高為176cm,給我們的印象是該地域的中學(xué)生生長發(fā)育好,身高較高.可是,若是這個(gè)均勻數(shù)是從五十萬名中學(xué)生抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來的話,那么,這個(gè)均勻數(shù)就不可以代表該地域所有中學(xué)生的身體素質(zhì).因此,只有均勻數(shù)難以歸納樣本數(shù)據(jù)的實(shí)質(zhì)狀態(tài).所以我們學(xué)習(xí)從此外的角度來觀察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量——標(biāo)準(zhǔn)差.(教師板書課題)思路2在一次射擊選拔競賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)以下﹕甲運(yùn)動(dòng)員:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙運(yùn)動(dòng)員:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.察看上述樣本數(shù)據(jù),你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)固些嗎？假如你是教練,選哪位選手去參加正式競賽？我們知道,x甲=7，x乙=7.兩個(gè)人射擊的均勻成績是同樣的.那么,能否兩個(gè)人就沒有水平差距呢？從上圖直觀上看,仍是有差異的.很明顯,甲的成績比較分別,乙的成績相對(duì)集中,所以我們從此外的角度來觀察這兩組數(shù)據(jù)——標(biāo)準(zhǔn)差.推動(dòng)新課新知研究提出問題如何經(jīng)過頻次散布直方圖預(yù)計(jì)數(shù)字特色（中位數(shù)、眾數(shù)、均勻數(shù)）？有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（以下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2）,經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個(gè)樣本的均勻數(shù)均為125.甲111111111112322232320005055555乙111111111110231224245050555555哪一種鋼筋的質(zhì)量較好？(3)某種子企業(yè)為了在當(dāng)?shù)貙?shí)行兩種新水稻品種,對(duì)甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的栽種對(duì)比實(shí)驗(yàn),年畝產(chǎn)量分別以下:(千克)甲：600,880,880,620,960,570,900(均勻773)乙：800,860,850,750,750,800,700(均勻787)請(qǐng)你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí),說明選擇哪一種品種推行更好?(4)全面建設(shè)小康社會(huì)是我們黨和政府的工作重心,某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算,人均年收入達(dá)到1.5萬元的家庭即達(dá)到小康生活水平.民政局對(duì)該市100戶家庭進(jìn)行檢查統(tǒng)計(jì),它們的人均收入達(dá)到了1.6萬元,民政局即宣告該市民生活水平已達(dá)到小康水平,你以為這樣的結(jié)論是否切合實(shí)質(zhì)?如何觀察樣本數(shù)據(jù)的分別程度的大小呢?把數(shù)據(jù)在座標(biāo)系中刻畫出來,能否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的失散程度?議論結(jié)果：(1)利用頻次散布直方圖預(yù)計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、均勻數(shù)：預(yù)計(jì)眾數(shù)：頻次散布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字.（最高矩形的中點(diǎn)）預(yù)計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻次散布直方圖分紅左右兩邊面積相等.預(yù)計(jì)均勻數(shù)：頻次散布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

.(2)由上圖能夠看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)固.我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）.由上圖能夠看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分別；甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說明甲比乙穩(wěn)固.運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡單方便,但假如兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí),就不簡單得出結(jié)論.選擇的依照應(yīng)當(dāng)是,產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種,所以選擇乙更加合理.不切合實(shí)質(zhì).樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個(gè)別高收入者與多半低收入者差異太大.在統(tǒng)計(jì)學(xué)里,對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的剖析,需要聯(lián)合實(shí)質(zhì),重視于觀察整體的有關(guān)數(shù)據(jù)特色.比方,市民均勻收入問題,都是觀察數(shù)據(jù)的分別程度.(5)把問題(3)中的數(shù)據(jù)在座標(biāo)系中刻畫出來.我們能夠很直觀地知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在均勻數(shù)的鄰近,即乙的分別程度小,如何用數(shù)字去刻畫這類分別程度呢?觀察樣本數(shù)據(jù)的分別程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差：觀察樣本數(shù)據(jù)的分別程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation).標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到均勻數(shù)的一種均勻距離,一般用s表示.所謂“均勻距離”,其含義可作以下理解:假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1,x2,,xn,x表示這組數(shù)據(jù)的均勻數(shù).xi到x的距離是|xi-x|(i=1,2,,n).12n到x的“均勻距離”是|x1x||x2x||xnx|于是,樣本數(shù)據(jù)S=.x,x,,xn因?yàn)樯鲜胶薪^對(duì)值,運(yùn)算不太方便,所以,往常改用以下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差:s=1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2].n意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來表示穩(wěn)固性,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的失散程度就越大,也就越不穩(wěn)固.標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的失散程度就越小,也就越穩(wěn)固.從標(biāo)準(zhǔn)差的定義能夠看出,標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s=0時(shí),意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本均勻數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差還能夠用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的此外一種解說.比如,在對(duì)于居民月均用水量的例子中,均勻數(shù)x=1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868，所以x+s=2.841,x+2s=3.709；x-s=1.105,x-2s=0.237.x-2s,x這100個(gè)數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［+2s］=［0.237,3.709］外的只有4個(gè)，也就是說，［x-2s,x+2s］幾乎包括了所有樣本數(shù)據(jù).s2——方差來取代標(biāo)準(zhǔn)差，從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方作為丈量樣本數(shù)據(jù)分別程度的工具：s2=1［(x1-x)2+(x2-x)2++(xn-x)2］.n.但在解決實(shí)質(zhì)問題時(shí)，一般明顯，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的失散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是同樣的多采納標(biāo)準(zhǔn)差.需要指出的是,現(xiàn)實(shí)中的整體所包括的個(gè)體數(shù)常常是好多的,整體的均勻數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得整體的均勻數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?往常的做法是用樣本的均勻數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)整體的均勻數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻次散布來近似地取代整體散布是近似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是能夠接受的.二者都是描繪一組數(shù)據(jù)環(huán)繞均勻數(shù)顛簸的大小,實(shí)質(zhì)應(yīng)用中比較寬泛的是標(biāo)準(zhǔn)差.如導(dǎo)入中的運(yùn)動(dòng)員成績的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算器計(jì)算.用計(jì)算器計(jì)算運(yùn)動(dòng)員甲的成績的標(biāo)準(zhǔn)差的過程以下：即s甲=2.用近似的方法，可得s乙≈1.095.由s甲>s乙能夠知道,甲的成績失散程度大,乙的成績失散程度小.由此能夠預(yù)計(jì),乙比甲的射擊成績穩(wěn)固.應(yīng)用示例思路1例1畫出以下四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說明它們的異同點(diǎn).(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.剖析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖,依據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的均勻數(shù),利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖以下：四組數(shù)據(jù)的均勻數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83.它們有同樣的均勻數(shù),但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說明數(shù)據(jù)的分別程度是不同樣的.例2甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種部件.為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)選,從他們生產(chǎn)的部件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸以下(單位:mm):甲25.4625.3225.4525.3925.3625.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.4425.4025.4225.3525.4125.39乙25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4925.3625.3425.3325.4325.4325.3225.4725.3125.3225.3225.3225.48從生產(chǎn)的部件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高?剖析:每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有部件的內(nèi)徑尺寸構(gòu)成一個(gè)整體.因?yàn)椴考纳a(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40mm),生產(chǎn)質(zhì)量能夠從整體的均勻數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來權(quán)衡.整體的均勻數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40mm的差異大時(shí)質(zhì)量低,差異小時(shí)質(zhì)量高;當(dāng)整體的均勻數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很靠近時(shí),整體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低.這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量

,只需比較他們所生產(chǎn)的部件內(nèi)徑尺寸所構(gòu)成的兩個(gè)整體的均勻數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.可是,這兩個(gè)整體的均勻數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,依據(jù)用樣本預(yù)計(jì)整體的思想,我們能夠經(jīng)過抽樣分別獲取相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),而后比較這兩個(gè)樣本的均勻數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個(gè)整體之間差異的預(yù)計(jì)值.解：用計(jì)算器計(jì)算可得x甲≈25.401，x乙≈25.406;s甲≈0.037,s乙≈0.068.從樣本均勻數(shù)看,甲生產(chǎn)的部件內(nèi)徑比乙的更靠近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),可是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,因?yàn)閟甲<s乙,所以甲生產(chǎn)的部件內(nèi)徑比乙的穩(wěn)固程度高得多.于是,能夠作出判斷,甲生產(chǎn)的部件的質(zhì)量比乙的高一些.評(píng)論：從上述例子我們能夠看到,對(duì)一名工人生產(chǎn)的部件內(nèi)徑(整體)的質(zhì)量判斷,與所抽取的部件內(nèi)徑(樣本數(shù)據(jù))直接有關(guān).明顯,我們能夠從這名工人生產(chǎn)的部件中獲取很多樣本.這樣,只管整體是同一個(gè),但因?yàn)闃颖静煌?相應(yīng)的樣本頻次散布與均勻數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等都會(huì)發(fā)生改變,這就會(huì)影響到我們對(duì)整體狀況的預(yù)計(jì).假如樣本的代表性差,那么對(duì)整體所作出的預(yù)計(jì)就會(huì)產(chǎn)生誤差;樣本沒有代表性時(shí),對(duì)整體作犯錯(cuò)誤預(yù)計(jì)的可能性就特別大.這也正是我們在前面講隨機(jī)抽樣時(shí)頻頻重申樣本代表性的原因.在實(shí)質(zhì)操作中,為了減少錯(cuò)誤的發(fā)生,條件允許時(shí),往常采納適合增添樣本容量的方法.自然,重點(diǎn)仍是要改良抽樣方法,提高樣本的代表性.變式訓(xùn)練某地域全體九年級(jí)的3000名學(xué)生參加了一次科學(xué)測試,為了預(yù)計(jì)學(xué)生的成績,從不同學(xué)校的不同程度的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的成績以下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)預(yù)計(jì)該地域3000名學(xué)生的均勻分、合格率（60或60分以上均屬合格）.解：運(yùn)用計(jì)算器計(jì)算得：100129030801870246012504=79.40,100(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以樣本的均勻分是79.40分,合格率是96%,由此來預(yù)計(jì)整體3000名學(xué)生的均勻分是79.40分,合格率是96%.思路2例1甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的均勻單位面積產(chǎn)量以下（單位：t/hm2）,試依據(jù)這組數(shù)據(jù)預(yù)計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)固.品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品種的樣本均勻數(shù)為10,樣本方差為［（9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品種的樣本均勻數(shù)也為10,樣本方差為［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因?yàn)?.24>0.02,所以,由這組數(shù)據(jù)能夠以為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)固.例2為了保護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后一定改換.已知某校使用的100只日光燈在一定換掉前的使用天數(shù)以下,試預(yù)計(jì)這類日光燈的均勻使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差.天151181211241271301331361數(shù)—1—2—2—2—3—3—3—38010407000306090燈泡1111820251672數(shù)剖析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命,再求均勻壽命.解：各組中值分別為165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得均勻數(shù)約為165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).這些組中值的方差為1×100［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2］=2128.60(天2).故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約2128.6≈46（天）.答：預(yù)計(jì)這類日光燈的均勻使用壽命約為268天,標(biāo)準(zhǔn)差約為46天.知能訓(xùn)練1）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)以下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的均勻值和方差分別為____________.（2）若給定一組數(shù)據(jù)2,ax,,ax的方差是____________.x,x,,x,方差為s,則axn12n12(3)在同樣條件下對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測試,測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)以下：甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項(xiàng)重要競賽更適合？答案：（1）9.5,0.016（2）a2s2(3)x甲＝33，x乙＝33,2472s甲3s乙乙的成績比甲穩(wěn)固拓展提高

37,3,應(yīng)選乙參加競賽更適合.某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個(gè)養(yǎng)魚池放入一批魚苗,一年此后準(zhǔn)備銷售,為了在銷售從前預(yù)計(jì)賣掉魚后有多少收入,這個(gè)專業(yè)戶已經(jīng)認(rèn)識(shí)到市場的銷售價(jià)是每千克15元,請(qǐng)問,這個(gè)專業(yè)戶還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)什么？如何去認(rèn)識(shí)？請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一個(gè)方案.解：這個(gè)專業(yè)戶應(yīng)認(rèn)識(shí)魚的總重量,能夠先捕出一些魚（設(shè)有x條）,作上標(biāo)志后放回魚塘,過一段時(shí)間再捕出一些魚（設(shè)有a條）,察看此中帶有標(biāo)志的魚的條數(shù),作為一個(gè)樣原來預(yù)計(jì)整體,則這樣就能夠求得總條數(shù),同時(shí)把第二次捕出的魚的均勻重量求出來,就能夠預(yù)計(jì)魚塘中的均勻重量,從而預(yù)計(jì)所有魚的重量,最后預(yù)計(jì)出收入.講堂小結(jié)用樣本的數(shù)字特色預(yù)計(jì)整體的數(shù)字特色分兩