第八講復數知識、方法、技術．復數的四種表示形式代數形式：zabi(a,bR）幾何形式：復平面上的點Z（a,b）或由原點出發的向量OZ.三角形式：zr(cosisin),r0,0R.指數形式：zrei.復數的以上幾種形式，交流了代數、三角、幾何等學科間的聯系，令人們應用復數解決有關問題成為現實.．復數的運算法例加、減法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i;乘法：(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;abiacbdbcaddi0).除法：cbic2d2c2d2i(c乘方：[r(cosisin)]nrn(cosnisinn)(nN）；開方：復數r(cosisin)的n次方根是nr(cos2kisin2k)(k0,1,,n1).nn．復數的模與共軛復數復數的模的性質①|z||Re(z)|,|z|Im(z)|;②|z1z2zn||z1||z2||zn|;③|z1||z1|(z20);z2|z2|④||z1||z2|||z1z2|,與復數z1、z2對應的向量OZ1、OZ2反向時取等號；⑤|z1z2zn||z1||z2||zn|，與復數z1,z2,,zn對應的向量OZ1,OZ2,OZn同時取等號.共軛復數的性質①zz|z|2|z|2；②zz2Re(z),zz2Im(z)；③zz④z1z2z1z2；⑤z1z2z1z1；zz⑥(1)1(z20);⑦z是實數的充要條件是zz,z是純虛的充要條件是zz(z0).Ⅳ．復數解題的常用方法與思想1）兩個復數相等的充要條件是它們的實部、虛部對應相等，或許它們的模與輻角主值相等（輻角相差2的整數倍）.利用復數相等的充要條件，能夠把復數問題轉變為實數問題，進而獲取解決問題的一種門路.2）復數的模也是將復數問題實數化的有效方法之一.擅長利用模的性質，是模運算中的一個突出方面.賽題精講例1：設、為非零實數，i為虛單位，zC，則方程|zni||zmi|n①與mn|zni||zmi|m②如圖I—1—8—1，在同一復平面內的圖形（F、F是焦點）是（）12【思路剖析】可依據復平面內點圖的軌I—跡1的—定8—義；1也可依據m、n的取值議論進行求解.【略解】由復平面內點的軌跡的定義，得方程①在復平面上表示以點ni,mi為焦點的橢圓，n0,故n0.這表示，起碼有一焦點在下半虛軸上，可見（A）不真.又由方程①，橢圓的長軸之長為n，∴|FF|<n，而圖（C）中有|OF|=，可見（C）不真.121又因橢圓與雙曲線共焦點，必有橢圓的長軸長大于雙曲線的實軸長，即|n||m|.故在圖（B）與（D）中，均有F:－ni，F:mi，且m0.由方程②，雙曲線上的12點應知足，到F2點的距離小于該點到F1點的距離.答案：（B）【別解】仿上得n>0.（1）若n0,m0.這時，在座標平面上，F1（0，－），F2（0，），只可能為圖象（C），nm但與|FF|<長軸n，而|OF1|=n矛盾.12（2）若n0,m0.這時,F1(0,n),F2(0,m)均在y軸的下半軸下，故只好為圖象（B）與（D）.又因橢圓與雙曲線共焦點，必有橢圓的長軸長大于雙曲線的實軸長，即|n|>|m|.故在（B）與（D）中，均有F1:－ni；F2:mi，且m<0.由方程②，雙曲線上的點應知足到F2點的距離小于該點到F1點的距離.答案：（B）【評論】（1）本題波及的知識點：復數的幾何意義，復平面上的曲線與方程，橢圓，雙曲線，共焦點的橢圓與雙曲線，議論法.2）本題屬于讀圖題型.兩種解法均為基本方法：解法中前者為定義法；后者為分類議論法.例2：若zC,arg(z24)5,arg(z24)3,則z的值是.6【思路剖析】本題可由已知條件下手求出復數z的模，既而求出復數；也可由幾何意義下手來求復數z.【略解】令z241(cos5isin5),①66z242(cosisin),②33①—②得8(1231)i(3211),22223212

122322

11

0,解得24,143,代入后，8,①②得2z24(13),+i【別解】如圖I—1—8—2，ODz2.過D作與實軸平行的直線AB，取AD=BD=4，【評論】本題的兩種解法中，前者應用了復數的三角形式；后者應用了復數的幾何意義，數形聯合，形象直觀.例3：x的二次方程x2z1xz2m0中,z1、z2、m均是復數，且z124z21620i.設這個方程的兩個根為、，且知足||27.求|m|的最大值和最小值.【解法1】依據韋達定理有z1,z2m.這表示復數m在以A（4，5）為圓心，以7圖I—1—8—3所示.為半徑的圓周上如圖I—1—8—3|OA|4252417,故原點O在⊙A以內.連結OA，延伸交⊙A于兩點B與C，則|OB|=|OA|+|AB|=417為|m|最大值.|OC|=|CA|－|AO|=7－41為|m|最小值.∴|m|的最大值是417,|m|的最小值是7－41.【解法2】同解法1，得|m(45i)|7,令mxyi(x,yR）.此中sin4.41∴||=901441741,m的最大值|m|的最小值=901441741.【解法3】依據韋達定理，有z1z2m.()2()24z24z4m，12∴||2|4m(24z2)||4m(1620)|28.z1i等號建立的充要條件是m(45i)與(45i)的輻角主值相差，即m(45i)45i),因此當m(745i)時,|m|取最小值741.7(4141)(414141【評論】三種解法，平分秋色.解法1運用數形聯合法，揭露復數m的幾何意義，直觀清楚；解法2則活用三角知識，把56cos70sin化為角“”的正弦；解法3運用不等式中等號建立的條件獲取答案；三種解法從不一樣側面刻面了本題的內在構造特點.例4：若M{z|zti1t,tR，t1,t0},N{z|z21tt[cos(arcsint)icos(arccost)],tR，|t|1},則MN中元素的個數為（）A．0B．1C．2D．4解法同本章一的練習第4題.例5：設復數z1,z2知足|z1||z1z2|3,|z1z2|33,則log2|(z1z2)2000(z1z2)2000|.【思路剖析】應先想法求出(z1z)2000(z1z2)2000的值.【評論】由題設知由于|z1|3,故|z2|3,z1z2z1z29,而且|z1z2||z1z2|9.當z1z292時，可得相同結果，故答案4000.【評論】本題屬填空題中的難題，故解題時應認真.例6：設復平面上單位圓內接正20邊形的20個極點所對應的復數挨次為z1,z2,,z20,則復數z11995,z21995,,z199520所對應的不一樣的點的個數是（）A．4B．5C．10D．20【思路剖析】如題設可知，應設z201.故解題中應注意分解因式.k【解法1】由于我們只關懷不一樣的點的個數，因此不失一般性可設zk201.由zk601，有【答案】A.