第三章3.1一、選擇題→2→)1．已知A(3，－2,4)、B(0,5，－1)，若OC＝AB，則C的坐標是導學號33780784(314，1014，－10A．(2，－33)B．(－2，33)14101410C．(2，－3，－3)D．(－2，－3，3)[答案]B[分析]→＝(－3,7，－5)，∵AB→2(－3,7，－5)＝－2，14，－10.∴OC＝333應選B.→→)2．設M(5，－1,2)、A(4,2，－1)，若OM＝AB，則點B應為導學號33780785(A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)[答案]B[分析]→→→→∵OM＝AB＝OB－OA，→→→∴OB＝OM＋OA＝(9,1,1)．應選B.3．已知點A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是導學號33780786()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]C[分析]→→→AB＝(3,4，－8)、AC＝(5,1，－7)、BC＝(2，－3，1)，→22289，∴|AB|＝3＋4＋8＝→52＋122＝75，|AC|＝＋7→22＋3214，|BC|＝＋1＝|AC→|2＋|BC→|2＝75＋14＝89＝|AB→|2.∴△ABC為直角三角形．4．已知a＝(1,2，－y)、b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則導學號33780787()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝－4321C．x＝2，y＝－4D．x＝1，y＝－1[答案]B[分析]a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，(a＋2b)∥(2a－b)，2x＋1＝λ2－x，1∴4＝3λ，∴x＝2，4－y＝－2y－2λ.y＝－4.5．(2015河·南鄭州市高二期末測試)已知a＝(2,4，x)、b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，則x＋y的值是導學號33780788()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1[答案]A[分析]∵|a|＝6，∴|a|2＝36，4＋16＋x2＝36，∴x2＝16，x＝±4.又∵a⊥b，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，x＋2y＋2＝0.當x＝4時，y＝－3，當x＝－4時，y＝1，∴x＋y＝1或－3.6．已知a＝(x,2,0)、b＝(3,2－x，x)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是導學號33780789()A．x<－4B．－4<x<0C．0<x<4D．x>4[答案]A[分析]∵a、b的夾角為鈍角，∴a·b<0，即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0.x<－4.又當夾角為π時，存在λ<0，使b＝λa，3＝λx，2－x＝2λ，此方程組無解，所以選A.x＝0.二、填空題7．已知a＝(2，－3,0)、b＝(k,0,3)，<a，b>＝120°，則k＝________.導學號33780790[答案]－39[分析]∵a·b＝2k，|a|＝13，|b|＝k2＋9，∴cos120°＝2k，13×k2＋9k＝－39.8．(2015山·東臨沂市高二期末測試)已知a＝(2，－1，3)、b＝(－1,4，－2)、c＝(7,7，λ)，若a、b、c共面，則實數(shù)λ＝________.導學號33780791[答案]9[分析]若a、b、c共面，∴c＝xa＋yb，2x－y＝7∴－x＋4y＝7，∴λ＝9.3x－2y＝λ三、解答題9．已知點A(2,3，－1)、B(8，－2,4)、C(3,0,5)，能否存在實數(shù)→→→x，使AB與AB＋xAC垂直？導學號33780792[分析]→→AB＝(6，－5,5)，AC＝(1，－3,6)，→→AB＋xAC＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)，→→→∵AB⊥(AB＋xAC)6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0，x＝－86，∴存在實數(shù)x＝－86，5151→→→使AB與AB＋xAC垂直．10．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2).導學號33780793→→→→(1)若DB∥AC，DC∥AB，求點D的坐標；(2)問能否存在實數(shù)→→→α、β，使得AC＝αAB＋βBC建立？若存在，求出α、β的值；若不存在，說明原因．[分析]→→→(1)設D(x，y，z)，則DB＝(－x,1－y，－z)，AC＝(－1,0,2)，DC＝(－x，－y,2－z)，→AB＝(－1,1,0)．→→→→由于DB∥AC，DC∥AB，x，1－y，－z＝m－1，0，2所以，x，－y，2－z＝n－1，1，0x＝－1解得y＝1.z＝2即D(－1,1,2)．→→→(2)依題意AB＝(－1,1,0)、AC＝(－1,0,2)、BC＝(0，－1,2)，假定存在實數(shù)→→→α、β，使得AC＝αAB＋βBC建立，則有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)(－α，α－β，2β)，α＝1所以α－β＝0→→→，故存在α＝β＝1，使得AC＝αAB＋βBC建立.2β＝2一、選擇題1．已知△ABC的三個極點為A(3,3,2)、B(4，－3,7)、C(0,5,1)，則BC邊上的中線長為導學號33780794()A．2B．3C．4D．5[答案]B[分析]設BC邊上的中點為→1→→→1＋4＋4D，則AD＝(AB＋AC)＝(－1，－2,2)，所以|AD|＝23.2．以下各組向量中共面的組數(shù)為導學號33780795()a＝(1,2,3)、b＝(3,0,2)、c＝(4,2,5)a＝(1,2，－1)、b＝(0,2，－4)、c＝(0，－1,2)a＝(1,1,0)、b＝(1,0,1)、c＝(0,1，－1)a＝(1,1,1)、b＝(1,1,0)、c＝(1,0,1)A．0B．1C．2D．3[答案]D[分析]①設a＝xb＋yc，則1＝3x＋4yx＝－12＝0·x＋2y，解得.y＝13＝2x＋5y故存在實數(shù)x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c，∴a，b，c共面．②中b＝－2c，③中c＝a－b.x＋y＝1故②③中三個向量共面．④設a＝xb＋c，則x＝1明顯無解，故a、b、c不共面．y＝13．已知向量a＝(1,2,3)、b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為導學號33780796()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]C[分析]a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝12＋22＋32＝14，所以cos〈a，c〉＝a·c＝－1，〈a，c〉＝120°.|a||c|2→→4．已知A(1,2,3)、B(2,1,2)、C(1,1,2)，O為坐標原點，點D在直線OC上運動，則當DA·DB取最小值時，點D的坐標為導學號33780797()444B．(848)A．(，，)，，333333448884C．(，，)D．(，，)333333[答案]C[分析]→→→點D在直線OC上運動，因此可設OD＝(a，a,2a)、DA＝(1－a,2－a,3－2a)、DB＝→→(2－a,1－a,2－2a)，DA·DB＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝→→→4，4，8)，應選C.4時DA·DB最小為－2，此時OD＝(33333二、填空題5．已知a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)、c＝(0,0,2)，則a·(b－c)＝________.導學號33780798[答案]5[分析]b－c＝(2,0,1)，a·(b－c)＝(2，－3,1)(2,0,1)·＝4＋0＋1＝5.6．已知正三棱柱ABC－DEF的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點，若直線CF上有一點N，使MN⊥AE，則CN＝________.導學號33780799CF[答案]116[分析]設CN→→→→→→1→→CF＝m，則CN＝mCF＝mAD，∵M為BC中點，∴MN＝MC＋CN＝BC＋mAD，2→→→又AE＝AB＋BE，由條件知，→→→→1→→AE·MN＝(AB＋BE)·(BC＋mAD)2＝1→→1→→→→→→AB·BC＋2BE·BC＋mAB·AD＋mBE·AD2＝－1＋4m＝0，∴m＝1416.三、解答題7．已知空間三點A(0,2,3)、B(－2,1,6)、C(1，－1,5).導學號33780800→→(1)求以AB、AC為鄰邊的平行四邊形面積；(2)若|a|＝→→a的坐標．3，且a分別與AB、AC垂直，求向量[分析](1)由題中條件可知→→AB＝(－2，－1,3)、AC＝(1，－3,2)，→→→→－2＋3＋61〉＝AB·AC＝∴cos〈AB，AC＝，→→14×142|AB||AC·|→→3∴sin〈AB，AC〉＝，2→→∴以AB，AC為鄰邊的平行四邊形面積→→→→S＝|AB||AC·|sin·〈AB，AC〉＝73.(2)設a＝(x，y，z)，x2＋y2＋z2＝3x＝1x＝－1由題意得－2x－y＋3z＝0，解得y＝1，或y＝－1.x－3y＋2z＝0z＝1z＝－1∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．8．設O為坐標原點，向量→→→，點Q在直線OP上運OA＝(1,2,3)、OB＝(2,1,2)、OP＝(1,1,2)→→動，則當QA·QB獲得最小值時，求點Q的坐標.導學號33780801[分析]→→設OQ＝λOP，→→→→→∴QA＝OA－OQ＝OA－λOP(1,2,3)－λ(1,1,2)(1－λ，2－λ，3－2λ)，→→→