PAGEPAGE13第九章平面解析幾何9.3圓的方程教師用書理新人教版圓的定義與方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F>0圓心坐標：(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)【知識拓展】1．確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數法，大致步驟為(1)根據題意，選擇標準方程或一般方程；(2)根據條件列出關于a，b，r或D、E、F的方程組；(3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程．2．點與圓的位置關系點和圓的位置關系有三種．圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)(1)點在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)點在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)點在圓內：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判斷以下結論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圓．(×)(5)假設點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，那么xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)1．(教材改編)將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析圓心是(1,2)，所以將圓心坐標代入檢驗選項C滿足．2．圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，假設圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，那么m的最大值為()A．7B．6C．5D．4答案B解析根據題意，畫出示意圖，如下圖，那么圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m.因為∠APB＝90°，連接OP，易知|OP|＝eq\f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離．因為|OC|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6.3．(2022·北京)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析圓的半徑r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，那么圓C的方程為______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析設圓心坐標為C(a,0)，∵點A(－1,1)和B(1,3)在圓C上，∴|CA|＝|CB|，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，∴圓心為C(2,0)，半徑|CA|＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.5．(2022·浙江)a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，那么圓心坐標是________，半徑是________．答案(－2，－4)5解析由方程表示圓，那么a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓.題型一求圓的方程例1(1)(2022·天津)圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，eq\r(5))在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為eq\f(4\r(5),5)，那么圓C的方程為________________．(2)(2022·課標全國Ⅰ)一個圓經過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，那么該圓的標準方程為________．答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)解析(1)因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a,0)，且a>0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圓C的半徑r＝|CM|＝eq\r(4＋5)＝3，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.(2)由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，－2)三點，(4,0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)，令y＝0，解得x＝eq\f(3,2)，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，半徑為eq\f(5,2).思維升華(1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數法①假設條件與圓心(a，b)和半徑r有關，那么設圓的標準方程，依據條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②假設條件沒有明確給出圓心或半徑，那么選擇圓的一般方程，依據條件列出關于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值．(2022·湖北八校聯考)圓C關于y軸對稱，經過點A(1,0)，且被x軸分成兩段弧，弧長之比為1∶2，那么圓C的標準方程為________________．答案x2＋(y±eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3)解析∵圓C關于y軸對稱，∴可設C(0，b)，設圓C的半徑為r，那么圓C的標準方程為x2＋(y－b)2＝r2，依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋－b2＝r2，,|b|＝\f(1,2)r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝\f(4,3)，,b＝±\f(\r(3),3)，))于是圓C的標準方程為x2＋(y±eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3).題型二與圓有關的最值問題例2點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．求x＋y的最大值和最小值．解設t＝x＋y，那么y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距．由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值為eq\r(2)－1，最小值為－eq\r(2)－1.引申探究1．在本例的條件下，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．解eq\f(y,x)可視為點(x，y)與原點連線的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率．設過原點的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3).∴eq\f(y,x)的最大值為－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值為－2－eq\f(2\r(3),3).2．在本例的條件下，求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．解eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(x＋12＋y－22)，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(－1,2)的距離的最值，可轉化為圓心(2，－3)到定點(－1,2)的距離與半徑的和或差．又圓心到定點(－1,2)的距離為eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為eq\r(34)＋1，最小值為eq\r(34)－1.思維升華與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．(2)與圓上點(x，y)有關代數式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉化為動點到定點(a，b)的距離平方的最值問題．實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2,0)為圓心，以eq\r(3)為半徑的圓．設eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，那么圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑，即直線與圓相切時，斜率取得最大值、最小值．由eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k2＝3，∴kmax＝eq\r(3)，kmin＝－eq\r(3).(2)設y－x＝b，那么y＝x＋b，當且僅當直線y＝x＋b與圓切于第四象限時，在y軸上的截距b取最小值，由點到直線的距離公式，得eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6)，故(y－x)min＝－2－eq\r(6).(3)x2＋y2是圓上的點與原點的距離的平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，那么(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).題型三與圓有關的軌跡問題例3(2022·濰坊調研)圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)假設∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．解(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y)．因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設PQ的中點為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設O為坐標原點，連接ON，那么ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.思維升華求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根據題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質列方程；(4)代入法，找到要求點與點的關系，代入點滿足的關系式等．(2022·天津模擬)設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．解如下圖，設P(x，y)，N(x0，y0)，那么線段OP的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四邊形的對角線互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應除去兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(點P在直線OM上的情況)．21．利用幾何性質巧設方程求半徑典例在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程．思想方法指導此題可采用兩種方法解答，即代數法和幾何法．(1)一般解法(代數法)：可以求出曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的三個交點，設圓的方程為一般式，代入點的坐標求解析式．(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設圓的方程為標準式，簡化計算，顯然幾何法比代數法的計算量小，因此平時訓練多采用幾何法解題．標準解答解一般解法(代數法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)，設圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,3＋2\r(2)2＋D3＋2\r(2)＋F＝0，,3－2\r(2)2＋D3－2\r(2)＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1，))故圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.巧妙解法(幾何法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)．故可設C的圓心為(3，t)，那么有32＋(t－1)2＝(2eq\r(2))2＋t2，解得t＝1.那么圓C的半徑為eq\r(32＋t－12)＝3，所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.1．(2022·南昌檢測)圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，那么該圓的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0答案B解析根據題意，設圓心坐標為(0，r)，半徑為r，那么32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.2．(2022·昆明一模)方程|x|－1＝eq\r(1－y－12)所表示的曲線是()A．一個圓 B．兩個圓C．半個圓 D．兩個半圓答案D解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|－12＋y－12＝1，,|x|－1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y－12＝1，,x≥1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－12＝1，,x≤－1.))故原方程表示兩個半圓．3．假設直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，那么eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．1B．5C．4eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)答案D解析由題意知圓心C(2,1)在直線ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2)，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2－eq\r(2)，a＝eq\r(2)－1時，等號成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為3＋2eq\r(2).4．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案A解析設圓上任一點坐標為(x0，y0)，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，連線中點坐標為(x，y)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4,2y＝y0－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．(2022·綿陽診斷)圓C的圓心在y軸正半軸上，且與x軸相切，被雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線截得的弦長為eq\r(3)，那么圓C的方程為()A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－eq\r(3))2＝3C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y＋eq\r(3))2＝3答案A解析依題意得，題中的雙曲線的一條漸近線的斜率為eq\r(3)，傾斜角為60°，結合圖形(圖略)可知，所求的圓C的圓心坐標是(0,1)、半徑是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1.6．(2022·九江模擬)P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線(A，B是切點)，C是圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)答案C解析圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，那么C(1,1)，當|PC|最小時，四邊形PACB的面積最小，|PC|min＝eq\f(|3－4＋11|,\r(32＋42))＝2，此時|PA|＝|PB|＝eq\r(3).所以四邊形PACB的面積S＝2×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\r(3)，應選C.7．(2022·南昌模擬)假設圓C經過坐標原點與點(4,0)，且與直線y＝1相切，那么圓C的方程是__________________．答案(x－2)2＋(y＋eq\f(3,2))2＝eq\f(25,4)解析因為圓的弦的垂直平分線必過圓心且圓經過點(0,0)和(4,0)，所以設圓心為(2，m)．又因為圓與直線y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解之得m＝－eq\f(3,2).所以圓C的方程為(x－2)2＋(y＋eq\f(3,2))2＝eq\f(25,4).8．過點P(1,1)的直線，將圓形區域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩局部，使得這兩局部的面積之差最大，那么該直線的方程為______________．答案x＋y－2＝0解析當圓心與點P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件．圓心O與點P連線的斜率k＝1，所求直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.9．D是由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y≥0，,x＋3y≥0))所確定的平面區域，那么圓x2＋y2＝4在區域D內的弧長為________．答案eq\f(π,2)解析作出可行域D及圓x2＋y2＝4，如下圖，圖中陰影局部所在圓心角θ＝α－β所對的弧長即為所求．易知圖中兩直線的斜率分別為eq\f(1,2)、－eq\f(1,3)，得tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,3)，tanθ＝tan(α－β)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，得θ＝eq\f(π,4)，得弧長l＝θ·R＝eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2)(R為圓的半徑)．10．(2022·岳陽模擬)在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，動點D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，那么|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是________．答案eq\r(7)＋1解析設D(x，y)，由eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y)及|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1知(x－3)2＋y2＝1，即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－1,0)＋(0，eq\r(3))＋(x，y)＝(x－1，y＋eq\r(3))，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y＋\r(3)2).問題轉化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點與點P(1，－eq\r(3))間距離的最大值．∵圓心C(3,0)與點P(1，－eq\r(3))之間的距離為eq\r(3－12＋0＋\r(3)2)＝eq\r(7)，故eq\r(x－12＋y＋\r(3)2)的最大值為eq\r(7)＋1.11．圓C經過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段的長為4eq\r(3)，半徑小于5.(1)求直線PQ與圓C的方程；(2)假設直線l∥PQ，且l與圓C交于點A，B，且以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，求直線l的方程．解(1)由題意知直線PQ的方程為x＋y－2＝0.設圓心C(a，b)，半徑為r，由于線段PQ的垂直平分線的方程是y－eq\f(1,2)＝x－eq\f(3,2)，即y＝x－1，所以b＝a－1.①由圓C在y軸上截得的線段的長為4eq\r(3)，知r2＝12＋a2，可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②由①②得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.當a＝1，b＝0時，r2＝13，滿足題意，當a＝5，b＝4時，r2＝37，不滿足題意．故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝13.(2)設直線l的方程為y＝－x＋m(m≠2)，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)．由題意可知OA⊥OB，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，化簡得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋m，,x－12＋y2＝13))得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝eq\f(m2－12,2)，代入③，得m2－12－m·(1＋m)＋m2＝0，∴m＝4或m＝－3，經檢驗都滿足題意，∴直線l的方程