相關分析和回歸分析一、相關分析（一）相關的概念兩個變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關系稱為相關關系。兩個變量之間的變化關系，既表現(xiàn)在變化方向上，又表現(xiàn)在密切程度上。（二）相關的種類1、從變化方向上劃分正相關：一個變量增大，另一個變量對應值也隨之增大；或另一個變量值減小，另一個變量對應值也隨之減小，兩列變量變化方向相同。負相關：一個變量增大，另一個變量對應值也隨之減少；或一個變量值減小，另一個變量對應值也隨之增大，兩列變量變化方向相反。零相關：兩變量值的變化方向無規(guī)律。2、從變量相互關系的程度上劃分無論兩個變量的變化方向是否一致，凡密切程度高的稱為強相關或高度相關；密切程度一般的稱為中度相關；密切程度弱的稱為弱相關或低度相關。（三）相關散布圖它是表示兩種事物之間的相關性及聯(lián)系的模式。以直角坐標的橫軸表示x列變量，縱軸表示y列變量，在相關的兩變量對應值的垂直相交處畫點，構成相關散布圖。相關散布圖的用途：圖5-2(b)直線相關圖5-2(a)曲線相關1、判斷相關是否直線式圖5-2(b)直線相關圖5-2(a)曲線相關圖5-3b低度相關圖5-3（a）高度相關2、判斷相關密切程度高低圖5-3b低度相關圖5-3（a）高度相關圖5-4（a）正相關3、判斷相關變化方向圖5-4（a）正相關圖5-4（b）負相關圖5-4（b）負相關（四）相關系數(shù)用來描述兩個變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相關系數(shù)。一般用r表示。注：（1）相關系數(shù)的數(shù)值范圍是。（2）從r的正負以及絕對值的大小，可以表明兩個變量之間變化的方向及密切程度。“+”、“—”號表示變化方向（“+”號表示變化方向一致，即正相關；“—”號表示變化方向相反，即負相關）r的絕對值表示兩變量之間的密切程度（即強度）。絕對值越接近1，表示兩個變量之間關系越密切；越接近0，表示兩個變量之間關系越不密切。（3）相關系數(shù)只能描述兩個變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭示兩者之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。另外若兩變量相關系數(shù)為0，只能表示兩變量間沒有線性關系，也可能存在曲線關系，即r=0，并不意味著兩變量是獨立的。（五）積差相關1.積差相關的概念當兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，且兩者之間呈線性關系時，表示這兩個變量之間的相關稱為積差相關。2.積差相關的適用條件（1）兩變量均應由測量得到的連續(xù)性數(shù)據(jù)（量—量數(shù)據(jù)）。兩個變量的總體都呈是正態(tài)分布，或接近正態(tài)的單峰對稱分布。3.積差相關系數(shù)的定義公式積差相關系數(shù)就是兩個變量標準分數(shù)乘積之和除以n所得之商。用公式可表示為：在此：表示X變量的樣本標準差，表示Y變量的樣本標準差。（六）相關系數(shù)的顯著性檢驗1.：條件下，相關系數(shù)的顯著性檢驗對于總體相關系數(shù)的零假設進行顯著性檢驗時，又分為兩種情況：（1）當?shù)那闆r當時，r的抽樣分布接近于正態(tài)分布，其檢驗的統(tǒng)計量為：在此r表示兩個變量的積差相關系數(shù)n表示樣本的容量（2）當?shù)那闆r當時，關于的零假設，可以用t統(tǒng)計量來檢驗相關系數(shù)的顯著性。在此r表示兩個變量的積差相關系數(shù)n表示樣本的容量例2.從高一學生中隨機抽取26名學生，其數(shù)學與英語考試成績的積差相關系數(shù)為0.65，試問從總體上講，數(shù)學與英語考試成績是否相關？解：(1)提出假設：(2)選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值由于假設，樣本相關系數(shù)的標準記分呈t分布，故選擇t作為檢驗統(tǒng)計量，將r=0.65,n=26代入公式，則(3)確定檢驗的形式：雙側檢驗（4）統(tǒng)計決斷根據(jù)df=n-2=26-2=24,查t值表得，。由于實際的。根據(jù)統(tǒng)計決斷規(guī)則，在0.01的顯著性水平上拒絕原假設。結論：從總體上看：高一學生數(shù)學與英語考試成績呈正相關。 2.：（）條件下，相關系數(shù)的顯著性檢驗檢驗步驟：（1）提出假設（2）查r與的轉(zhuǎn)換表將r轉(zhuǎn)換成，轉(zhuǎn)換成（3）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值由于的抽樣分布呈正態(tài)分布，則檢驗統(tǒng)計量為在這里表示的標準誤，其中n代表樣本容量（4）、確定檢驗的形式（5）、統(tǒng)計決斷例3，26名高一學生的數(shù)學與英語考試成績的積差相關系數(shù)為0.65是否來自于相關系數(shù)等于0.5的總體？解：提出假設，進行r與的轉(zhuǎn)換：查r與轉(zhuǎn)換表得，與r=0.65相對應的=0.775，與相對應的。選擇統(tǒng)計量并計算—由于的抽樣分布呈正態(tài)分布，故選擇Z作為統(tǒng)計量，將上述數(shù)據(jù)代入公式： 統(tǒng)計決斷：由于實際算出的|Z|=1.08<1.96=,根據(jù)雙側Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，則P>0.05。于是，只得保留原假設。結論是：在0.05的顯著性水平上可以認為，高一學生數(shù)學與英語考試成績總體相關系數(shù)一致，來源于總體。（七）其他相關系數(shù)1.等級相關系數(shù)等級相關是指以等級次序排列或以等級次序表示的變量之間的相關。我們主要介紹斯皮爾曼等級相關。（1）斯皮爾曼等級相關的概念及適用條件兩變量是等級測量數(shù)據(jù)，且總體不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，這樣兩變量的相關，稱為斯皮爾曼等級相關。適用條件：①兩變量的資料為等級測量數(shù)據(jù)，且具有線性關系。②對于粗略估計到的連續(xù)變量的測量數(shù)據(jù)，按其大小排成等級，亦可用等級相關計算。③不要求總體呈正態(tài)分布。（2）相關系數(shù)的計算計算等級相關系數(shù)的公式為：在這里表示等級相關系數(shù)D表示兩個變量每對數(shù)據(jù)等級（不是指原始的等級）之差n表示樣本的容量注：若出現(xiàn)相同的等級分數(shù)時，可用它們所占等級位置的平均數(shù)作為它們的等級。如下例，X列中90分有兩個，且所占等級位置分別為3、4，故取它們的平均值（3+4）/2=3.5。例4，某校為了研究學生自學能力與學業(yè)成績之間的關系，隨機抽取10名學生的自學能力和學科成績，見下表，求其相關系數(shù)。序號X（能力）等級Y（成績）等級D 1903.5884-10.25285780611370108064164857798-115903.5952.51168097010-117857759-2481001981009875806-1110922922.5-10.25 25.5解：即學生的自學能力與學習成績的相關程度是0.852.點二列相關（質(zhì)—量相關）（1）概念及適用條件兩列變量一列是正態(tài)連續(xù)變量，另一列是二分變量，描述這兩個變量之間的相關，稱為點二列相關。適用條件：一列是正態(tài)連續(xù)變量，另一列是二分變量（如男與女，對與錯等）。（2）相關系數(shù)的計算在此p為二分變量中某一項所占比例q為二分變量中另一項所占比例為二分變量中比例為p部分所對應的連續(xù)變量的平均數(shù)為二分變量中比例為q部分所對應的連續(xù)變量的平均數(shù)為連續(xù)變量的標準差另一種表示形式為：在這里表示連續(xù)變量中所有分數(shù)的平均數(shù)（八）相關分析小結一、如何判斷兩個變量的相關性——步驟（1）找出兩個變量的正確相應數(shù)據(jù)；（2）畫出它們的散布圖（散點圖）；（3）通過散布圖判斷它們的相關性；（4）給出相關系數(shù)的解答；（5）對結果進行評價和顯著性檢驗。二、知識結構一覽表 相關類型相關系數(shù)水平顯著性檢驗適用條件統(tǒng)計量檢驗類備注量-量相關積差相關系數(shù)r=(n<50)T檢驗小樣本(n>50)Z檢驗大樣本，近似于正態(tài)分:Z檢驗近似于正態(tài)分質(zhì)-質(zhì)相關等級相關系數(shù)兩類都是等級變量T檢驗非正態(tài)分布質(zhì)-量相關點二列相一列是正態(tài)變量一列是二分變量采用積差相關系數(shù)的檢驗方法同上同上查表法——df=n-2,找到相關系數(shù)的臨界值，將計算所得的值與臨界值進行比較，若小于臨界值，保留原假設，否則，拒絕。。T檢驗非正態(tài)分布二、回歸分析相關表示兩個變量之間的雙向相互的關系。如果我們將存在相關的兩個變量，一個作為自變量，另一個作為因變量，并把兩者之間不十分準確、穩(wěn)定的關系，用數(shù)學方程式來表達，則可利用該方程由自變量的值來估計、預測因變量的估計值，這一過程稱為回歸分析。可見，回歸表示一個變量隨另一個變量作不同程度變化的單向關系。回歸分析的目的在于了解兩個或多個變量間是否相關、相關方向與強度，并建立數(shù)學模型以便觀察特定變量來預測研究者感興趣的變量。在教育研究中，不少變量之間存在一定的關系，但是由于關系比較復雜，而且受偶然因素影響較大，兩者只是一種不十分確定的回歸關系。如果散點的分布有明確的直線趨勢，我們就可以配制一條最能代表散點圖上分布趨勢的直線，這條最優(yōu)擬合線即稱為回歸線。確定回歸線的方程稱為回歸方程。（一）一元線性回歸方程的建立一元線性回歸方程的通式為，式中a是回歸線在Y軸上的截距；b是回歸線的斜率，稱為回歸系數(shù)。如何求a、b？方法一：用最小二乘法確定a、b：我們構造一元線性回歸方程，用來估計實際值y，要使這樣估計獲得最好的效果。那么，a、b的值應該使的值最小，由于用計算，有正有負，總體上看趨向于0。因此，在計算時，我們對其取平方值，用，求a、b，使得最小。因此，構造一個新的函數(shù)，令求出Q(a，b)的最小值點——根據(jù)微積分求極值原理:（2）（1）（2）（1）將代入（2）中運用最小二乘法，確定回歸方程：方法二:在r(相關系數(shù))已知的情況下，可以代入以下公式：:Y的標準差:X的標準差一元線性回歸方程的檢驗用回歸系數(shù)檢驗回歸方程的顯著性模型：首先，提出原假設和備擇假設：其次，確定并計算統(tǒng)計量：最后，統(tǒng)計決斷：查自由度為n-2的t值分布表，若,拒絕原假設，認為X對Y有顯著影響。 2、用積差相關系數(shù)檢驗回歸方程的顯著性采用統(tǒng)計量：（同積差相關系數(shù)顯著性檢驗）3、用方差分析檢驗回歸方程的顯著性回歸平方和所占比重越大，誤差平方和所占比重就越小，意味著變量間線性關系就越顯著。所以，回歸方程的顯著性，可以采用回歸平方和的分析來進行。總平方和=回歸平方和+誤差平方和方差分析檢驗的過程1.提出假設：2.采用統(tǒng)計量：注：F= 3.查表并作統(tǒng)計推斷：當F<，接受,不存在顯著關系；當,在0.05水平上拒絕原假設；當,在0.01水平上拒絕原假設。 15名學生的數(shù)學分數(shù)與物理分數(shù)計算表序號 13132-1.40-6.731.9645.299.422238-9.40-30.7388.36944.33288.86340697.6030.2757.76916.27230.0541921-13.40-17.73179.56314.35273.585606627.6027.27761.76743.65752.6561541-17.402.27302.765.15-39.507465713.6018.27184.96333.79248.478267-6.40-31.7340.961006.79203.0793257-0.4018.270.16333.79-7.31103037-2.40-173.005.762.994.1511586825.6029.27655.36856.73749.31122827-4.40-11.7319.36137.5951.61132241-10.402.27108.165.19-23.61142321-9.40-18.7388.36305.81176.601533300.60-8.730.3676.21-5.24總和4865816072.932875.60平均32.438.73例5，對建立的數(shù)學分數(shù)預測物理分數(shù)的回歸方程進行顯著性檢驗。解：提出假設：（1）用回歸系數(shù)檢驗回歸方程的顯著性由表11.1中的結果得：由表中數(shù)據(jù)，計算帶入查表得，結論：在0.01的顯著性水平上拒絕,其回歸方程是顯著的。(2)用積差相關系數(shù)檢驗回歸方程的顯著性由于N<50，采用統(tǒng)計量查表得所以，在0.01的顯著性水平上拒絕原假設，認為回歸方程是顯著的。(3)用方差分析檢驗回歸方程的顯著性由于查表得，因為所以，在0.01水平上拒絕原假設，認為兩個變量間回歸關系極其顯著。綜上所述：三種檢驗方法得到的結果是相同的，可見，三種檢驗具有等效性。參考文獻【1】《教育統(tǒng)計與測量評價新編教程》【M】黃光揚，原霞，華東師范大學出版社【2】《教育統(tǒng)計學》第4版【M】王孝玲，華東師范大學出版社【3】《教育統(tǒng)計與測量導論》【M】劉新平，劉存?zhèn)b，科學出版社【4】《教育統(tǒng)計學—思想、方法與應用》第2版【M】徐文彬，南京師范大學文獻使用情況：相關分析主要借鑒的是王孝玲的《教育統(tǒng)計學》。例如相關的