巧用“一一對應”，建構數學模型——“植樹問題”教學設計教學內容：人教版義務教育實驗教科書四年級下冊第117頁例1。教材分析：“植樹問題”是四年級下冊“數學廣角”單元中的內容，“數學廣角”主要是通過簡單的事例滲透一些重要的數學思想方法，讓學生發現規律，抽取出其中的數學模型，然后再用發現的規律來解決生活中的一些簡單實際問題。在植樹問題中“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線。即使是關于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形，例如，兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽。例1討論的是關于一條線段的植樹問題。教材用四幅圖來呈現學生探索解決問題的討論過程，即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來驗證，并且可以從簡單的事例中發現規律，然后應用找到的規律來解決原來的問題。學情分析：從學生的思維特點看，四年級學生仍以形象思維為主，但抽象思維能力也有了初步的發展，具備了一定的分析綜合、抽象概括能力。從學生的學習經歷來看，他們雖然在四年的學習歷程中積累了各種數學模型，在一年級就有了運用“一一對應”的思想方法來比多少的經驗，但是在面對“植樹問題”時，他們仍很難自覺運用“一一對應”“化繁為簡”等數學思想方法來建立數學模型，仍然需要教師的幫助和引導。教學方法：學生的學習不是被動接受的過程，而是主動建構的過程，因此本節課主要以問題情境為載體，以認知沖突為誘因，以數學活動為形式，使學生經歷生活數學化，數學生活化的全過程，讓學生在“領會‘一一對應’思想——尋找生活原型——發現排列規律——建構問題模型——拓展運用模型”的學習過程中，動腦、動手、合作探究，體會“一一對應”“化繁為簡”的數學思想方法，建構植樹問題的數學模型。教學目標：1．通過觀察、比較、概括等數學活動，理解生活中有許多間隔排列的現象，它們有著相同的數學結構；2.經歷用“一一對應”、“化繁為簡”的數學思想方法解決“植樹問題”的過程，初步學會運用對應思想解決簡單的實際問題，建立數學模型；

3．讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，培養學生的應用意識和激發對數學問題的好奇心，增強用數學的眼光觀察、分析事物的意識和能力。教學重難點：經歷用“一一對應”、“化繁為簡”的數學思想方法解決“植樹問題”的過程，初步學會運用對應思想解決簡單的實際問題，建立數學模型。教、學具準備:多媒體課件教學過程：一、創設情境，建立概念結構1、比多少，引出“一一對應”師：同學們，請看大屏幕，今天咱們要研究的是——生：植樹問題。（板書課題）師：在研究這個問題之前，老師有個小問題想請你們解決，愿意嗎？（課件出示小豬和蘋果比多少的圖片。）師：請看大屏幕，不用數數的情況下，你會給小豬和蘋果比多少嗎？生：會，小豬比蘋果多1。師：你們肯定數了。生：沒有數。師：沒數？那你們是怎么知道小豬比蘋果多一個的？生：因為它們是一個對著一個的，一下就看出來了。師：哦，原來你們是運用了“一一對應”的方法，難怪一下就看出來了。（板書：一一對應）【設計意圖：通過復習一年級學習的“比多少”的方法，喚起學生對“一一對應”思想的回憶，為后續應用“一一對應”思想解決問題作好鋪墊。】2、符號化，認識“間隔排列”師：仔細觀察，這些圓形和三角形是怎么排列的？生：一個隔一個排列的。師：對，這樣的排列叫做間隔排列。（板書：間隔排列）現在老師想請你給圓形和三角形來比多少，你也能用“一一對應”的方法解決嗎？生：能，圓形和三角形同樣多。師：你是怎么比較的呢？生：一個圓形對應一個三角形，每個圓形都對應了一個三角形，所以它們同樣多。師：現在呢？生1：現在圓形比三角形多1個。生2：現在最后一個圓形沒有三角形和它對應，所以圓形多了1個。師：如果有無數組這樣排列的圓形和三角形，你還能給他們比多少嗎？生：其實無論中間省略了多少組都是一樣的，還是圓形比三角形多1個。師：現在三角形都不見了，還能看作是間隔排列嗎？生：可以看成是圓形和空格是間隔排列的。師：沒錯，我們可以把它看成是圓形和空格在間隔排列，空格也可以說是間隔。【設計意圖：將具象的小豬和蘋果抽象成符號化的圓形和三角形，再將分兩行排列的物體改為排成一行，既認識了“間隔排列”，也為接下來運用“一一對應”思想解決問題、建構模型打下基礎。】二、“一一對應”，初步建立問題模型1、尋找生活原型師：生活中有沒有這樣間隔排列的現象呢？我們先在教室里找找看？生：教室里的課桌和凳子是間隔排列的。師：是嗎？我們一起來看看，課桌、凳子，課桌、凳子，課桌、凳子……生：它們不但是間隔排列的，而且課桌和凳子同樣多。師：教室里還有其他間隔排列的現象嗎？生：還有窗戶和墻壁的排列，墻壁、窗戶，墻壁、窗戶，墻壁、窗戶，墻壁。墻壁比窗戶多1.師：看來，在間隔排列的情況下，兩種排列的物體究竟誰多還要具體情況具體分析。【設計意圖：通過尋找教室中的間隔排列并比較兩種排列物體的多少，進一步深化對“一一對應“思想方法的認識。】2、初步建立模型師：生活中其實還有很多間隔排列的情形，同學們看，這是電線桿和廣告牌，每兩根電線桿之間有一個廣告牌，我們現在看到了4根電線桿之間就有3個廣告牌。那么，25根電線桿之間會有多少個廣告牌呢？生：24個。師：你怎么知道的？生：因為廣告牌比電線桿的數量要少1。師：為什么你們這么肯定廣告牌比電線桿少1呢？生：因為這樣的間隔排列中兩端都是電線桿，一根電線桿對應一個廣告牌，后面就會多出來一根電線桿。【設計意圖：電線桿和廣告牌的間隔排列方式與植樹問題中“兩端都栽”的間隔排列方式完全一致，但比“植樹問題”中的植樹棵樹與間隔數的關系看起來更直觀，更容易理解。在解決“植樹問題”之前解決這一問題，有助于學生初步構建兩端物體比中間物體多1的問題模型，為解決較復雜的植樹問題奠定基礎。】三、“化繁為簡”，運用模型解決問題1、出示例題，理解題意同學們在全長100米的小路一邊植樹，如果每隔5米種一棵樹（兩端都要栽），一共需要多少棵樹苗？師：例題中哪句話比較重要？要注意什么？生：同學們在全長100米的小路一邊植樹。要注意是小路的一邊，就是種一行樹。生：兩端都要栽，就是兩頭都要栽。師：那現在請同學們試著解答這個問題。生：這太簡單了，100÷5＝20（棵）。每隔5米種一棵樹，有20個5米也就有20棵樹。2、化繁為簡，建構模型師：你們能在頭腦中想象一下小路一邊植樹的情形嗎？（給學生想象的時間）你覺得在小路一邊植樹的情況與我們剛才研究的間隔排列中的哪種情況最為相似？（課件出示剛才呈現過的小豬和蘋果、課桌和凳子、電線桿和廣告牌）生1：和電線桿、廣告牌的排列最像。種的樹就像電線桿，中間的間隔就像廣告牌。生2：是哦，那是不是它們的數量也像電線桿和廣告牌一樣一個多1，一個少1呢？生3：不一定。師：那怎么才能知道兩端都栽樹時植樹棵數和間隔數的排列規律呢？生：我們可以畫一畫。師：好像很麻煩，這么長的小路，這么多樹，怎么畫呢？能不能把復雜的問題變得簡單一點呢？生：我們畫出在小路的一邊種4棵數或者5棵樹的情況就知道了，不用畫這么多。師：嗯，我們可以用一條長的線段表示小路，再用短的線段表示樹苗。請同學們先試著在練習紙上畫出種5棵樹的排列情況。（教師巡視，指名板演）師：觀察我們畫的線段圖，你發現了什么？生1：一棵樹對應一個間隔，最后多了一棵樹。生2：樹比間隔多1。生3：4個間隔栽了5棵樹。師：如果把題目中的“每隔5米栽一棵”這個條件加上去，你又發現了什么？5米5米5米5米5米5米5米5米生：5米是每個間隔的長度，20米里面只有4個間隔但是要栽5棵樹師：如果把線段圖的中間部分改成這樣，現在不是5棵樹，而是無數棵樹，植樹棵樹和間隔數又是什么關系呢？生：無論中間省略了多少棵樹都是一樣的，因為一棵樹對應一個間隔，后面還是會多1棵樹。師：也就是說，我們運用“一一對應”的方法發現，兩端都栽的情況下，植樹的棵數總比間隔數多1。板書：植樹棵數＝間隔數＋1【設計意圖：通過將植樹問題的間隔排列與電線桿、廣告牌的間隔排列進行比對，使植樹棵數與間隔數之間的排列有了更為具體的模型依托；通過“化繁為簡”的線段圖分析，學生體驗到了如何將復雜的問題簡單化，在深化對“一一對應”思想方法認識的同時也建立了“兩端都栽”情況下的植樹問題模型。】3、運用模型，解決問題師：回到剛才的例題，你們覺得我們剛才寫的100÷5＝20（棵）需不需要修正呢？生：應該再加一步，20＋1＝21（棵）師：為什么要用20+1呢？生：因為100÷5＝20求出來的其實是間隔數，樹的棵數比間隔數還要多1。師：那么100÷5＝20（棵），這個單位“棵”應該改成？生：改成“個”，20個間隔。小結：同學們剛才首先是“化繁為簡”，畫出栽4棵樹的情況，接著運用“一一對應”的方法，找出了“兩端都栽”這種情況下植樹棵數和間隔數之間的關系，知道了“植樹棵數＝間隔數＋1”，這才順利地解決了問題，看來我們在解決問題的時候一定要善于運用各種數學方法。四、發展練習，拓展模型運用范圍師：生活中類似于植樹問題這樣牽涉到“間隔排列”的實際問題還有很多，讓我們一起去解決它們吧！1、5路公共汽車行駛路線全長12千米，相鄰兩站的距離是1千米。一共有幾個車站？2、媽媽從1樓走到2樓要用20秒，從1樓走到5樓要用多少秒？3、比賽時，劉翔要跨10個欄，兩欄間距離約為9米,【設計意圖：把植樹問題推廣到與其相近的一些問題中，通過想象、觀察圖片等形式讓讓學生體會現實生活中的公交站問題、樓梯問題等，都含有與植樹問題相同的數量關系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決它，感悟數學建模的重要意義。最后再現劉翔2022年雅典奧運會上精彩奪冠的場景，并出示110米欄的圖片，讓學生求出10個欄架之間的距離，既鞏固了所學知識也滲透了愛國主義教育。】五、全課總結，升華認識說一說，今天的學習過程你覺得最開心的事情是什么？最驚奇的事情又是什么？你還有哪些感想？【設計意圖：數學學習是一個不斷發現，不斷驚喜的過程，本環節的意圖是幫助學生體驗發現的快樂，放大學習的快樂，培養學生對數學研究的興趣。】板書設計：植樹問題一一對應間隔排列化繁為簡兩端都栽植樹棵數＝間隔數＋1100÷5＝20（個）20＋1＝21（棵）【設計意圖：將重要的數學思想方法以及探究的過程完整地呈現在黑板上，有助于學生梳理知識，對學習的內容形成完整、清晰的認識。】教學反思：這節課的教學實踐取得了比較好的教學效果，課堂練習的情況表明，學生不僅掌握了“兩端都栽”情況下的植樹問題模型，而且能夠在不同的問題情境中運用。認真反思，之所以能取得這樣的教學效果源于以下幾點：1.充分發揮了“一一對應”這一數學思想方法在建構植樹問題模型中的作用。“一一對應”是非常樸素的一種數學思想方法，對于小學生來說，這一方法直觀、形象，便于理解。本課的教學由始至終貫穿了“一一對應”思想方法的運用，開始是比較兩種間隔排列物體的多少，接著是發現兩端都是同一物體時，兩端的物體多一的規律，然后再建構植樹問題的基本模型，最后運用模型解決問題時依然聯系“一一對應”的方法來思考是否符合模型。“一一對應”起到了幫助學生理解模型、建構模型、運用模型的作用。2.聯系生活，直觀的生活模型使植樹問題不再抽象。教室里的間隔排列，電線桿間的廣告牌……這些都和植樹問題是如此的相似。有了這些具象的支撐，學生在想象植樹問題的時候就有了形象的依托，很容易聯想到樹與電線桿類似，間隔與廣告牌類似。3.處理好了簡單模型到復雜問題的過渡。學生建構了“植樹棵數＝間隔數＋1”的模型之后，很容易回答20棵樹之間有多少個間隔這樣的問題，但是卻很難解答類似例