第2講

三形重、心外和心三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊含了深刻的思想，很多較復雜的形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數、向量、解三角形及立體幾何等部分都有切的聯系，因而扎實掌握三角形的相關知識是進一步學習的基礎。初中階段大家已經學習了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內角平分線的一些性質。如三形角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直平分線上的點到這條邊兩個端點的距相等，諸如此類。在高中學習中，還會涉及到三角形三條中線交點（重心條高線交點（垂心條的垂直分線交點（外心）及三條內角平分線交點（內心）的問題，因而有必要進一步了解它們的性質。【識理三形四(1)角平分線：三角形的三條角分線交于一點，這點叫做三角形的內心，它到三角形各邊的距離相等．(2)高線：三角形的三條高線交一點，這點叫做三角形的垂心．(3)中線：三角形的三條中線交一點，這點叫做三角形的重心．(4)垂直平分線：三角形的三條直平分線交于一點，這點叫做三角形的外心，外心到三角形三個頂點的距離相等．【例析求三角形的三條中線交一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1.已知：、、分別為△三、、的中點，求證：、、交于一點，且都被該點分成2：【解析】證明：連結，、交于點，

D、分為、的中點，則DE//，且

DE=

12

，\V∽V，相似比為1：，\AG=2GD,BG=GE

.

設、交于點G'，理可得，則與G'重，

'D,CG=2'\

AD、BE、交一點，且都被該點分成

.【解題反思】三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重.三角形的重心在三角形內部，恰好是每條中線的三等分.【式練求重心和三角形3個點組成的3個三角形面積相等。已知：

為

V

的重心求證：

ABG

=VACG

=VACGACB11GBCA1【分析】可聯系重心的性質，重心為中線的三等分點即；

GB=1

13

1

,在運用

等底，高成比例完成證明；【點評】將重心的性質借助相似比，推出了重心關于三角形面積的性質。同時應當想到它還有它性質。【例析已知

V

的三邊長分別為

=a=bAB

，I為

ABC

的內心，且I在

V的邊

BCAC、

上的射影分別為

、E、F

，求證：

=AF=

b+ca2

.

【解析】證明：作VABC的切，則

、E、F

分別為內切圓在三邊上的切點，AE,AF

為圓的從同一點作的兩條切線，

\AF

，同理，=，=.\c-=+BF+AE+-BD-=AFAE=AF=

；即

=AF=

b+ca2

.【解題反思】三角形的三條角平分相交于一點，這個交點稱為三角形的內心。內心到三角形三的距離相等。【變式訓練】若角形的內心重心為同一點，求證：這個三角形為正三角.已知：為三角的心和內.求證：三角形為等邊三角.【解析】證明：如圖，連并延長交于D.

O為三形的內心，故AD平分

BAC

，\

BD=DC

（角平分線性質定理）

O為三形的重心，為BC中點，即=.\

=

，即

AB=

.同理可得，BC\V

為等邊三角.

【點評】等邊三角形具有四心合一的性質。【式練在角形ABC中，為心I內心，若AB=6，BC=5，CA=4，三角形重心性質可得3GI=AI+BI+CI﹣（AG+BG+CG得GI后入求值即可．

的值析根據【點評】本題考查了三角形的五心的知識，解題的關鍵是了解三角形重心性質：3GI=AI+BI+CI（AG+BG+CG【例析在ABC中H為心，aCA，，R為外圓半徑，求證:AH

CH

．

AHO

CBM注此性質的證明，或由勾股定理有AH

BE

CE

EB

CH

等，即可．【解題反思】三角形的三條高線相交于一點為垂心，通過探究也具有豐富的性質。【式練設ABC的接圓半徑為，求證：AHR，B，CH【解析】證明當為角角形時，如圖，

AF

EHB

D

C顯然有AHE，而sinACBsinAHE在ABE中AB，

AEAH

．故AH

ABBACsinACB

RA．同理，B，RC．當為角三角形時，不妨設為角此時，只需調換圖中字母與HE與F的置圖形不變，即得