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文檔簡介
工程數學期末復習輔導大家好!現在是工程數學(本)本學期期末網上輔導的時間,歡迎大家參與這次活動。我們首先對本課程的考核進行一些說明。本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結合的方式。考核成績由形成性考核成績和期末考試成績兩部分組成,考核成績滿分為100分,60分為及格。其中形成性考核成績占考核成績的30%,期末考試成績占考核成績的70%。形成性考核的內容及成績的評定按《中央廣播電視大學人才培養模式改革與開放教育試點工程數學形成性考核冊》的規定執行。期末考試的考核內容為線性代數、概率論與數理統計兩個部分,包括行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值及二次型、隨機事件與概率、隨機變量的分布和數字特征、數理統計基礎等方面的知識。期末考試采用半開卷筆試形式,題型不變。卷面滿分為100分,考試時間為90分鐘。半開卷考試是介于閉卷考試和開卷考試兩者之間考試方式。半開卷考試與開卷考試的差別就在于允許考生攜帶的資料的不同,開卷考試允許考生攜帶任何資料,而半開卷考試只允許考生攜帶指定的資料,比如允許考生攜帶一張統一印制A4紙,考生可以將自己對課程學習內容的總結包括重點、難點、不好記憶的公式、定理等寫在這張A4紙上帶入考場,作為答卷的參考。下面先給出各章的復習要求,然后針對重點內容給出一些綜合練習,與大家一起做好期末復習工作。行列式復習要求.知道n階行列式的遞歸定義;.掌握利用性質計算行列式的方法;.知道克萊姆法則。矩陣復習要求.理解矩陣的概念,了解零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、上(下)三角矩陣、對稱矩陣的定義,了解初等矩陣的定義;.熟練掌握矩陣的加法、數乘矩陣、乘法、轉置等運算;.掌握方陣乘積行列式定理;.理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質,掌握矩陣可逆的充分必要條件;.熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法,會用伴隨矩陣法求逆矩陣,掌握求解簡單的矩陣方程的方法;.理解矩陣秩的概念,掌握矩陣秩的求法;.會分塊矩陣的運算。線性方程組復習要求.掌握向量的線性組合與線性表出的方法,了解向量組線性相關與線性無關的概念,會判別向量組的線性相關性;.會求向量組的極大線性無關組,了解向量組和矩陣的秩的概念,掌握求向量組的秩和矩陣的秩的方法;.理解線性方程組的相容性定理,理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件。熟練掌握用矩陣初等行變換方法判斷齊次與非齊次線性方程組解的存在性和惟一性;.熟練掌握齊次線性方程組基礎解系和通解的求法;.了解非齊次線性方程組解的結構,掌握求非齊次線性方程組通解的方法。矩陣的特征值及二次型復習要求.理解矩陣特征值、特征多項式及特征向量的定義,掌握特征值與特征向量的求法;.了解矩陣相似的定義,相似矩陣的性質;.知道正交矩陣的定義和性質;.理解二次型定義、二次型的矩陣表示、二次型的標準形,掌握用配方法化二次型為標準形的方法;.了解正定矩陣的概念,會判定矩陣的正定性。隨機事件與概率復習要求.了解隨機事件、概率等概念;.掌握隨機事件的運算,了解概率的基本性質;.了解古典概型的條件,會求解較簡單的古典概型問題;.熟練掌握概率的加法公式和乘法公式,掌握條件概率和全概公式;.理解事件獨立性概念;.掌握貝努里概型。隨機變量的分布和數字特征復習要求.理解隨機變量的概率分布、概率密度的概念,了解分布函數的概念;.理解期望、方差與標準差等概念,掌握求期望、方差的方法;
.熟練掌握幾種常用離散型和連續型隨機變量的分布以及它們的期望與方差;.知道二維隨機變量的概念,了解隨機變量獨立性概念;.知道大數定律和中心極限定理。數理統計基礎復習要求.理解總體、樣本、統計量的概念,知道t分布,笈分布,F分布,會查t,Z2,F分布表;.會參數的矩估計法,掌握參數的最大似然估計法;.了解估計量的無偏性、有效性的概念;.了解區間估計的概念,熟練掌握求正態總體期望的置信區間的方法;.知道假設檢驗的基本思想,熟練掌握單正態總體均值的檢驗方法,會作單正態總體方差的檢驗;.了解最小二乘法的基本思想,會求一元線性回歸方程的方法和F檢驗。剛才我們給出了本課程各章復習要求,希望大家按照這些要求,結合下面的綜合練習題進行認真復習.綜合練習一、單項選擇題1.A,B都是n階矩陣(n>1),則下列命題正確的是( ).A.A.AB=BAC.(A—B)2=A2—2AB+B2B.若AB=O,則A=O或B=Od.1ABi=1ABi正確答案:正確答案:D2.向量組的秩是).2.向量組的秩是).1 B.2 C.1 B.2 C.3正確答案:CX-13.設矩陣A的特征多項式XI-A=00D.40 0X-2 0 ,則A的特征值為(0 X-3).正確答案:DX=2D.X=1,X=2,X=34.若隨機變量X與y相互獨立,則方差D(2X-3Y)=( ).4D4D(X)-9D(Y)C.2D(X)-3D(Y)4D(X)+9D(Y)D.2D(X)+3D(Y)正確答案:B5.已知總體X?N(正確答案:B5.已知總體X?N(旦,o2),。2未知,檢驗總體期望r采用().A.t檢驗法 B.U檢驗法C.X2檢驗法 D.F檢驗法正確答案:A‘L2 =016.方程組r X2+X3=a2相容的充分必要條件是(x+x=a),其中a豐0,i=1,2,3.a+a+a+a=0a+a—a=0a—a—a+a=0—a+a+a—0正確答案:B7.設A7.設A,B都是〃階方陣,則下列等式中正確的是()?A.|AA.|A+B|—A|+B|AB|—|A||B正確答案:C.下列命題中不正確的是( ).A.A與A-1有相同的特征值C.若A可逆,則零不是A的特征值正確答案:A.若事件A與B互斥,則下列等式中正確的是(P(A)+P(B)―1 B.A-1+B-1―A|-1忸,1D.|入A―^AA與A'有相同的特征多項式A與A'有相同的特征值).P(AB)—P(A)P(B)C.P(A)—P(A|B) D.P(A+B)―P(A)+P(B)正確答案:D10.設隨機變量X,則下列等式中不正確的是( ).A.E(2X+1)―2E(X) B.D(2X+1)―4D(X)C.D(X)—E(X2)-(E(X))2 D.D(-X)—D(X)正確答案:A二、填空題.設三階矩陣A的行列式A—1,則|a-1=.應該填寫:2.線性方程組AX—B中的一般解的自由元的個數是2,其中A是4x5矩陣,則方程組增廣矩陣r(AB)=應該填寫:3.若事件A,B滿足AnB,貝UP(A-B)=.應該填寫:P(A)-P(B)TOC\o"1-5"\h\z(0 1 2).設隨機變量X? ,則E(X)— .、\J*TI/.J17.Jj應該填寫:0.9八 八 八.設0是未知參數。的一個估計,且滿足E(0)-0,則9稱為6的估計.應該填寫:無偏一1 0 0一.若三階方陣A—0-12,則|a2-1=.23 6應該填寫:0.設A為〃階方陣,若存在數九和非零n維向量X,使得AX-九X,則稱數九為A的應該填寫:特征值.已知P(A)-0.2,P(B)-0.4,則當事件A,B相互獨立時,P(AB)—.應該填寫:0.089.設隨機變量X?9.設隨機變量X?12 340.10.30.5a,則a―應該填寫:0.110.不含未知參數的樣本函數稱為應該填寫:統計量應該填寫:0.110.不含未知參數的樣本函數稱為應該填寫:統計量三、計算題1.設矩陣A=解矩陣方程AX=B'.-10、(10、解:因為1、2-1-3-2(1-10、(1-32、(5-1-3-22、-30、(10、解:因為1、2-1-3-2(1-10、(1-32、(5-1-3-22、-3-4得 A-1―-4I-3(5-32、(2-3、(13-18、所以X―A-1B'=-3-4.設齊次線性方程組〈2x-5x+3x3—016I-7-2913)九為何值時方程組有非零解?在有非零解時,求出通解.解:因為解:因為1-321-3210-12-53-01-101-13-8九01九-600九-53A=當九-5—0即九—5時,r(A)<3,所以方程組有非零解.方程組的一般解為:〈”1—x3,其中x為自由元.Ix—x 3l2 3令x3=1得X1=(1,1,1)',則方程組的基礎解系為{XJ.通解為k1X1,其中k1為任意常數.3.設隨機變量X?N(4,1).(1)求P(X-4|>2);(2)若P(X>k)—0.9332,求k的值.(已知①(2)—0.9775,①(1)—0.8413,①(1.5)—0.9332).解:(1)P(|X-4|>2)=1—P(|X-4|<2)=1-P(-2<X-4<2)=1-(①(2)-①(-2))=2(1-①(2))=0.0454.
(2)P(X>k)=P(X—4>k—4)=1-P(X—4<k—4)=1-①(k—4)=0.9332=①(1.5)①(k—4):1—①(1.5)=①(-1.5)即 k-4=-1.5, k=2.5.(已知4.從正態總體N(從,9)中抽取容量為64的樣本,計算樣本均值得元=21,求從的置信度為95%的置信區間.(已知x一|H解:已知。—3,n=64,且u= -~N(0,1)因為x=21,u=1.96,且ouou—-1.96x3==0.735v64o1——n所以,置信度為95%的o1——no …,x+u =]=[20.265,21.735].1 2212-1-10,B―-111 350425.設矩陣A=,1-dnn2AX=B,解:利用初等行變換可得-1-2-2因此,A-1=-2-4-1-因此,A-1=-2-4-1-2-2-2-1-1-2-2-1于是由矩陣乘法可得-5-4-1-2-1-2-5-4-1-2-1-2-1-1-16.求線性方程組〈3x+8x-2x=13的通解.4x-x+9x=-612 3解:將方程組的增廣矩陣化為階梯形1234—24318-21234—24318-2-1 9413-2 4 -57 -7 1414 -14 287 -7 14-2-501-110000 2 -11 -1 20 0 00 0 0x=-2x—1方程組的一般解為〈1 3c,(其中當是自由元)x=x+2 3(2 3令x3=0,得到方程組的一個特解X0=(-1,2,0)';不計最后一列,x3=1,得到相應的齊次線性方程組的一個基礎解系X1=(-2,1,1)'于是,方程組的通解為:X=X0+kX/(其中k是任意常數).7.設X?N(2,25),試求:(1)P(12<X<17); (2)P(X>-3).(已知①(1)=0.8413,①(2):0.9773,①⑶=0.9987)12-2X-217-2 X-2解:(1)P(12<X<17)=P(=-<-y<—5-)=P(2<-y-<3)=①(3)-①(2)=0.9987-0.9772=0.0215X-2-3-2X-2⑵P(X>-3)=P(5> 5)=P(5>-1)=①(1)=0.84138.某廠生產日光燈管.根據歷史資料,燈管的使用壽命X服從正態總體N(1600,702).在最近生產的燈管中隨機抽取49件進行測試,平均使用壽命為1520小時.假設標準差沒有改變,在0.05的顯著性水平下,判斷最近生產的燈管質量是否有顯著變化.(已知u0975=1.96)解:零假設H0:N=1600;H1印w1600.由于標準差沒有改變,故已知。2=702,選取樣本函數由已知x=1520,N0=1600,\=70,n=49,于是得U=工=1520-吧0=-8
o0nn 70<49在0.05的顯著性水平下,=在0.05的顯著性水平下,=8>L96,因此拒絕零假設H0,即最近生產的燈管質量出現顯著變化.四、證明題.設A,B是n階對稱矩陣,試證:A+B也是對稱矩陣.證明:A,B是同階矩陣,由矩陣的運算性質可知(A+By=Ar+BB已知4,B是對稱矩陣,故有A'=A,B'=B,即(A+By=A+B由此可知A+B也是對稱矩陣,證畢..設A,B都是〃階矩陣,且A為對稱矩陣,試證B'AB也是對稱矩陣.證明:由矩陣轉置的運算性質可得(B'AB),=B'A'(B)=B'A'B又A為對稱矩陣,故A'=A,
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