1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(一)1.單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．一、知識(shí)回顧：2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法比如：判斷函數(shù)的單調(diào)性。xyo函數(shù)在上為_(kāi)___函數(shù)，在上為_(kāi)___函數(shù)。圖象法定義法減增如圖：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然可行，但十分麻煩，尤其是在不知道函數(shù)圖象時(shí).例如y=x3+2x2-x.是否有更為簡(jiǎn)捷的方法呢？下面我們考察單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系?這表明：導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)2yx0.......再觀察函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：

分析:該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上切線斜率小于0,即其導(dǎo)數(shù)為負(fù),這時(shí)函數(shù)在（－∞，2）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（2，+∞）上切線斜率大于0,即其導(dǎo)數(shù)為正，這時(shí)函數(shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞增。而當(dāng)x=2時(shí)其切線斜率為0,即導(dǎo)數(shù)為0.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),例1、已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：當(dāng)1<x<4時(shí)，>0;當(dāng)x>4,或x<1時(shí)，<0;當(dāng)x=4,或x=1時(shí)，=0.則函數(shù)f(x)圖象的大致形狀是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD例2.確定函數(shù)f(x)=x2-4x-5在哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)？在哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)？2xyo例3、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)>0從而函數(shù)f(x)=x3+3x在x∈R上單調(diào)遞增，見(jiàn)右圖。(2)f(x)=x2-2x-3;(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1)圖象見(jiàn)右圖。當(dāng)>0，即x>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)<0，即x<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1<0從而函數(shù)f(x)=sinx-x

在x∈(0,)單調(diào)遞減，見(jiàn)右圖。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)當(dāng)>0，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；圖象見(jiàn)右圖。當(dāng)<0，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞