學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE17學必求其心得，業必貴于專精PAGE§2.6函數模型及函數的綜合應用考綱解讀考點內容解讀要求五年高考統計常考題型預測熱度20132014201520162017函數模型及函數的綜合應用函數模型建模求解以及函數的綜合應用B17題14分解答題★★★分析解讀應用題是江蘇高考的必考內容，試題主要考查實際問題建模求解.五年高考考點函數模型及函數的綜合應用1.(2015四川，13，5分）某食品的保鮮時間y(單位:小時）與儲藏溫度x(單位:℃）滿足函數關系y=ekx+b（e=2.718…為自然對數的底數，k,b為常數）.若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是小時.

答案242。(2014遼寧改編,12，5分）已知定義在[0，1］上的函數f（x)滿足:①f（0)=f（1)=0;②對所有x,y∈［0，1］，且x≠y,有｜f(x)—f（y）|〈｜x—y|。若對所有x,y∈［0，1］,｜f（x）-f（y)|〈k恒成立，則k的最小值為.

答案3.(2013課標全國Ⅰ理改編,11，5分）已知函數f(x）=若|f(x）｜≥ax，則a的取值范圍是。

答案[—2，0]4。（2015江蘇,17,14分)某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1,l2，山區邊界曲線為C，計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2。5千米，以l2,l1所在的直線分別為x，y軸,建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數y=(其中a，b為常數）模型.(1）求a，b的值；(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t。①請寫出公路l長度的函數解析式f（t），并寫出其定義域;②當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.解析(1)由題意知，點M,N的坐標分別為(5,40），(20,2。5)。將其分別代入y=，得解得(2）①由（1)知，y=(5≤x≤20)，則點P的坐標為，設在點P處的切線l交x，y軸分別于A,B點,y'=—，則l的方程為y—=-(x—t),由此得A，B.故f（t)==，t∈［5，20].②設g（t）=t2+，則g’（t）=2t—.令g’（t)=0,解得t=10.當t∈(5，10）時,g’（t)<0，g（t)是減函數；當t∈（10，20）時,g’（t)>0，g（t）是增函數;從而，當t=10時，函數g（t)有極小值，也是最小值，所以g（t）min=300,此時f(t)min=15.答：當t=10時,公路l的長度最短,最短長度為15千米。5。（2013課標全國Ⅰ，21,12分)設函數f（x)=x2+ax+b，g（x)=ex（cx+d).若曲線y=f（x）和曲線y=g(x)都過點P(0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.(1）求a，b,c,d的值;(2）若x≥—2時，f（x)≤kg(x)，求k的取值范圍.解析(1）由已知得f(0）=2,g(0)=2,f’(0)=4，g'（0）=4.而f'(x)=2x+a，g'(x）=ex（cx+d+c）,故b=2,d=2,a=4，d+c=4.從而a=4,b=2，c=2,d=2。(2）由(1）知，f（x）=x2+4x+2,g(x）=2ex（x+1).設函數F(x）=kg(x）-f（x）=2kex(x+1）-x2-4x-2，則F'（x）=2kex(x+2）-2x-4=2（x+2）(kex-1）。由題設可得F（0）≥0,即k≥1。令F'(x）=0，得x1=-lnk,x2=-2.（i）若1≤k<e2,則-2<x1≤0.從而當x∈（-2，x1)時，F'（x）〈0；當x∈(x1，+∞）時，F'（x)〉0。即F(x）在(-2，x1)上單調遞減,在（x1,+∞）上單調遞增。故F(x）在［—2，+∞）上的最小值為F(x1)。而F(x1）=2x1+2—-4x1-2=—x1（x1+2）≥0。故當x≥—2時,F(x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立。（ii)若k=e2,則F’（x）=2e2（x+2)(ex-e-2）。從而當x〉-2時，F'（x）>0，即F（x)在（-2，+∞）上單調遞增。而F（—2）=0,故當x≥—2時,F（x）≥0，即f(x）≤kg（x)恒成立.(iii）若k〉e2，則F（-2）=-2ke—2+2=-2e—2（k-e2)〈0。從而當x≥-2時，f（x)≤kg(x）不可能恒成立.綜上,k的取值范圍是[1,e2］。教師用書專用（6-7）6。（2017浙江,17,5分）已知a∈R,函數f（x)=+a在區間［1，4]上的最大值是5，則a的取值范圍是。

答案7。（2013天津理改編，8，5分)已知函數f（x）=x（1+a｜x｜).設關于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集為A.若?A，則實數a的取值范圍是。

答案三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎題組考點函數模型及函數的綜合應用1.（2016江蘇揚州中學質檢，17）某環線地鐵按內、外環線同時運行，內、外環線的長均為30km（忽略內、外環線長度差異）。（1)當9列列車同時在內環線上運行時,要使內環線乘客最長候車時間為10min,求內環線列車的最小平均速度；(2）新調整的方案要求內環線列車平均速度為25km/h,外環線列車平均速度為30km/h.現內、外環線共有18列列車投入運行,問:要使內、外環線乘客的最長候車時間之差最短,則內、外環線應各投入幾列列車運行?解析（1）設內環線列車運行的平均速度為vkm/h，由題意可知×60≤10?v≥20。所以,要使內環線乘客最長候車時間為10min,列車的最小平均速度是20km/h。(2）設內環線投入x列列車運行,則外環線投入（18-x）列列車運行,設內、外環線乘客最長候車時間分別為t1min、t2min,則t1=×60=，t2=×60=。設內、外環線乘客的候車時間之差為tmin，于是有t=|t1—t2|==該函數在（1，9）上遞減,在（10，17）上遞增.又t(9）〉t(10),所以當內環線投入10列列車運行，外環線投入8列列車運行時，內、外環線乘客最長候車時間之差最短.2。(2017江蘇揚州期中，18)如圖,某市在海島A上建了一水產養殖中心。在海岸線l上有相距70千米的B，C兩個小鎮，并且AB=30千米，AC=80千米，已知B鎮在養殖中心工作的員工有3百人，C鎮在養殖中心工作的員工有5百人。現欲在B,C之間建一個碼頭D,運送來自兩鎮的員工到養殖中心工作,又知水路運輸與陸路運輸每百人每千米運輸成本之比為1∶2.（1）求sin∠ABC的大小；（2)設∠ADB=θ,試確定θ的大小，使得運輸總成本最少。解析(1）在△ABC中，cos∠ABC===—，所以sin∠ABC=.(2）在△ABD中,由==得==，所以AD=,BD==—,設水路運輸每百人每千米的運輸成本為k元，陸路運輸每百人每千米的運輸成本為2k元，k>0，則運輸總成本y=(5CD+3BD)×2k+8×k×AD=2k[5(70—BD）+3BD+4AD]=20k，=20k,令H（θ）=,θ∈,則H'(θ)=,令H’（θ）=0,解得cosθ=，θ=。當0<θ〈時，H’(θ)<0，H（θ)單調遞減；當<θ〈時，H’（θ)>0，H（θ)單調遞增，∴當θ=時,H（θ)取得最小值,∵k〉0，∴當θ=時,y取得最小值。此時BD=—=，滿足0<BD〈70,所以點D落在B,C之間,符合題意。所以θ=時,運輸總成本最少。答：當θ=時，運輸總成本最少.3。（2017江蘇鎮江期末，17）如圖，某公園的三條觀光大道AB,BC，AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200m,斜邊AB=400m。現有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC,AC大道上嬉戲,所在位置分別記為點D,E,F。(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發,當乙出發1分鐘后,求此時甲、乙兩人之間的距離;(2）設∠CEF=θ，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍,且∠DEF=，請將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數,并求甲、乙之間的最小距離。解析（1）依題意得BD=300，BE=100,在Rt△ABC中，cosB==，∴B=,在△BDE中，由余弦定理得:DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cosB=3002+1002-2×300×100×=70000,∴DE=100。答:甲、乙兩人之間的距離為100m。（2)由題意得EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ，在直角三角形CEF中，CE=EF·cos∠CEF=2ycosθ，在△BDE中，由正弦定理得=,即=，∴y==，0〈θ<,當θ=時,y取得最小值50。答：y=,0<θ<，且甲、乙之間的最小距離為50m.B組2016-2018年模擬·提升題組(滿分:30分時間：15分鐘)解答題（共30分）1.（2017江蘇南京、鹽城一模)如圖所示，某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心，其中AE=30米.活動中心東西走向,與居民樓平行。從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足tanθ=。(1）若設計AB=18米,AD=6米，問能否保證上述采光要求？(2）在保證上述采光要求的前提下，如何設計AB與AD的長度，可使得活動中心的截面面積最大？(注:計算中π取3）解析如圖所示,以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.(1)因為AB=18，AD=6，所以半圓的圓心為H（9,6）,半徑r=9.設太陽光線所在直線的方程為y=—x+b,即3x+4y—4b=0,則由=9，解得b=24或b=（舍).故太陽光線所在直線的方程為y=—x+24，令x=30，得EG=1。5,因為1。5〈2。5，所以此時能保證采光要求。（2)設AD=h，AB=2r,則半圓的圓心為H（r,h),半徑為r。設太陽光線所在直線的方程為y=—x+b，即3x+4y—4b=0,由=r，解得b=h+2r或b=h—r（舍)。故太陽光線所在直線的方程為y=-x+h+2r,令x=30,得EG=2r+h-,由EG≤，得h≤25—2r。所以活動中心的截面面積S=2rh+πr2=2rh+r2≤2r(25-2r)+r2=-r2+50r=—（r—10）2+250≤250。當且僅當r=10時取等號.所以當AB=20米且AD=5米時，活動中心的截面面積最大.2。(2016江蘇蘇、錫、常、鎮四市二模,17)如圖是某設計師設計的Y形飾品的平面圖,其中支架OA,OB，OC兩兩成120°角，OC=1,AB=OB+OC,且OA〉OB.現設計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M,且M與OB的長成正比,比例系數為k(k為正常數)；在△AOC區域(陰影區域）內鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數為4k.設OA=x,OB=y.（1）求y關于x的函數解析式,并寫出x的取值范圍;(2）求N—M的最大值及相應的x的值。解析(1)由題意得,AB=y+1,在△ABC中,由余弦定理得,x2+y2—2xycos120°=（y+1)2，解得y=。由x〉0,y〉0,x>y,得1〈x<，所以x的取值范圍是.(2）M=kOB=ky，N=4k·S△AOC=3kx,且N-M=k（3x-y）=k，設2—x=t,則t∈，且N-M=k=k≤k=(10—4）k。當且僅當4t=,即t=時取等號，此時t∈，x=2—,所以當x=2-時,N—M取最大值(10-4）k。C組2016-2018年模擬·方法題組方法函數的實際應用題1。(2018江蘇常熟高三期中）如圖所示為自動通風設施.該設施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB為2米,梯形的高為1米,CD為3米,上部CFD是個半圓，固定點E為CD的中點.MN是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿,且滑動過程中始終保持和CD平行。當MN位于CD下方或上方時,通風窗的形狀均為矩形MNGH(陰影部分均不通風)。（1)設MN與AB之間的距離為x米,試將通風窗的通風面積S(平方米）表示成關于x的函數y=S(x）；（2）當MN與AB之間的距離為多少米時,通風窗的通風面積S取得最大值?解析（1)當0≤x〈1時，過A作AK⊥CD于K(如圖).則AK=1,DK==，HM=1—x,由==2，得DH==,∴HG=3—2DH=2+x，∴S（x)=HM·HG=（1—x)（2+x)=—x2—x+2.當1〈x<時,過E作ET⊥MN于T，連結EN（如圖）。則ET=x—1，TN===，∴MN=2，∴S(x）=MN·ET=2·(x—1），綜上,S(x)=(2)當0≤x<1時，S（x)=—x2—x+2=—+，∴S（x)在[0,1)上遞減,∴S(x)max=S(0）=2.當1〈x<時,S（x)=2（x-1）≤2·=，當且僅當（x—1)=,即x=+1∈時取“="，∴S（x)max=,∵>2,∴S(x)的最大值為.故當MN與AB之間的距離為米時,通風窗的通風面積S取得最大值.2。一個圓柱形圓木的底面半徑為1m,長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分.現要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變,底面為等腰梯形ABCD(如圖所示，其中O為圓心,C,D在半圓上）,設∠BOC=