2020版高考數學大二輪復習專題三立體幾何第二講立體幾何中的綜合問題限時規范訓練文PAGE13-第二講立體幾何中的綜合問題1．(2022·江蘇二模)如圖，在三棱錐ABC-A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分別是AB1，(1)DE∥平面ACC1A1(2)AE⊥平面BCC1B1.證明：(1)連接A1B，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，且AA1＝BB1，∴四邊形AA1B1B是平行四邊形，又∵D是AB1的中點，∴D是BA1的中點，在△BA1C中，D和E分別是BA1和BC的中點，∴DE∥A1C，∵DE?平面ACC1A1，A1C?平面ACC1A1，∴DE∥平面ACC1A1.(2)∵A1C⊥BC1，AB1⊥BC1又由(1)知DE∥A1C，∴BC1⊥DE.又AB1∩DE＝D，∴BC1⊥平面ADE，∵AE?平面ADE，∴AE⊥BC1，在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中點，∴AE⊥BC，∵BC1∩BC＝B，∴AE⊥平面BCC1B1.2．(2022·呼和浩特一模)如圖，平面四邊形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2eq\r(2)，沿BD折起，使AC＝2eq\r(2).(1)證明：△ACD為直角三角形；(2)設B在平面ACD內的射影為P，求四面體PBCD的體積．解析：(1)證明：在Rt△ABD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2eq\r(2)，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(4＋8)＝2eq\r(3)，∵AC＝2eq\r(2)，CD＝2，∴AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD，∴△ACD是直角三角形．(2)由(1)知CD⊥AC，CD⊥BC，∵AC∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，其交線為AC，故過B點作AC的垂線，垂足為P，點P即為B在平面BCD內的射影，P為AC的中點，∴四面體PBCD的體積：VP-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).3．(2022·內蒙古一模)如下圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD＝PD，E、F分別是CD、PB的中點．(1)求證：EF⊥平面PAB；(2)設AB＝eq\r(3)BC＝3，求三棱錐P-AEF的體積．解析：(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，底面ABCD是矩形，BA⊥AD，∴BA⊥平面PAD，那么平面PBA⊥平面PAD，∵AD＝PD，取PA的中點G，連接FG，DG，那么DG⊥PA，∴DG⊥平面PAB.又E、F分別是CD、PB的中點，G是PA的中點，底面ABCD是矩形，∴四邊形EFGD為矩形，那么DG∥EF，∴EF⊥平面PAB.(2)由AB＝eq\r(3)BC＝3，得BC＝eq\r(3)，AB＝3，AD＝AP＝eq\r(3)，且F是PB的中點．∴VP-AEF＝VB-AEF＝VF-ABE＝eq\f(1,2)VP-ABE＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)S△ABE·PD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,4).4．(2022·成都模擬)如圖①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分別為AB，CD的中點，CD＝2AB＝2EF＝4，M為DF中點．現將四邊形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如圖②所示的多面體．在圖②中，(1)證明：EF⊥MC；(2)求三棱錐M-ABD的體積．解析：(1)證明：由題意，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分別為AB，CD的中點，∴EF⊥AB，EF⊥CD，∴折疊后，EF⊥DF，EF⊥CF，∵DF∩CF＝F，∴EF⊥平面DCF，又MC?平面DCF，∴EF⊥MC.(2)由可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，∵DM＝1，∴MF＝1＝AE，又AE∥MF，∴四邊形AEFM為平行四邊形，∴AM∥EF，故AM⊥DF.∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且BE⊥EF，∴BE⊥平面AEFD，∴VM-ABD＝VB-AMD＝eq\f(1,3)S△AMD·BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).即三棱錐M-ABD的體積為eq\f(1,3).5．(2022·蘭州模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△PCD為正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝2eq\r(3)，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點．(1)證明：BE⊥PC；(2)求多面體PABED的體積．解析：(1)證明：∵BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝4，∴BD＝2，∴∠ABD＝90°，∴BD⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BD⊥平面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E為PC的中點，∴DE⊥PC，∴PC⊥平面BDE，∴BE⊥PC.(2)作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G為垂足，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，EG⊥平面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD＝2eq\r(3)，∴PF＝3，EG＝eq\f(3,2)，∴VP-ABCD＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(3)×3＝4eq\r(3)，VE-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\r(3)，∴多面體PABED的體積V＝VP-ABCD－VE-BCD＝4eq\r(3)－eq\r(3)＝3eq\r(3).6．(2022·汕尾一模)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝2AA1＝2，D是BC(1)證明：A1B∥平面ADC1；(2)線段BC1是否存在點N，使三棱錐N-ADC1的體積為eq\f(\r(3),12)？假設存在，確定點N的位置；假設不存在，說明理由．解析：(1)證明：如圖，連接A1C，與AC1交于點O，連接OD，在△CA1B中，O和D分別是CA1和CB的中點，那么OD∥A1B，又OD?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.(2)連接BC1，假設線段BC1上存在點N，使得三棱錐N-ADC1的體積為eq\f(\r(3),12)，設N到平面ADC1的距離為h，由題意可知，△ABC為等邊三角形，又D為BC的中點，∴AD⊥BC.又三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，∴BB1⊥AD，故AD⊥平面BCC1B1，∴△ADC1為直角三角形，AD＝eq\r(3)，DC1＝eq\r(2)，∴△ADC1的面積為eq\f(\r(6),2)，由三棱錐的體積公式可知，VN-ADC1＝eq\f(1,3)S△ADC1·h＝eq\f(\r(3),12)，∴h＝eq\f(\r(2),4).又AD⊥平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ADC1，故點N到平面ADC1的距離與點N到直線DC1的距離相等，又△DC