米．【點評】此題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是平行線的性質、特殊角的三角函數值、等腰三角形的性質、俯角、坡度的概念．26．隨著柴靜紀錄片?穹頂之下?的播出，全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也大增，商社電器從廠家購進了A，B兩種型號的空氣凈化器，一臺A型空氣凈化器的進價比一臺B型空氣凈化器的進價多300元，用7500元購進A型空氣凈化器和用6000元購進B型空氣凈化器的臺數相同．〔1〕求一臺A型空氣凈化器和一臺B型空氣凈化器的進價各為多少元？〔2〕在銷售過程中，A型空氣凈化器因為凈化能力強，噪音小而更受消費者的歡送．為了增大B型空氣凈化器的銷量，商社電器決定對B型空氣凈化器進行降價銷售，經市場調查，當B型空氣凈化器的售價為1800元時，每天可賣出4臺，在此根底上，售價每降低50元，每天將多售出1臺，如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，請問商社電器應將B型空氣凈化器的售價定為多少元？【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用．【分析】〔1〕設每臺B種空氣凈化器為x元，A種凈化器為〔x+300〕元，根據用6000元購進B種空氣凈化器的數量與用7500元購進A種空氣凈化器的數量相同，列方程求解；〔2〕根據總利潤=單件利潤×銷量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：〔1〕設每臺B型空氣凈化器為x元，A型凈化器為〔x+300〕元，由題意得，=，解得：x=1200，經檢驗x=1200是原方程的根，那么x+300=1500，答：每B型空氣凈化器、每臺A型空氣凈化器的進價分別為1200元，1500元；〔2〕設B型空氣凈化器的售價為x元，根據題意得；〔x﹣1200〕〔4+〕=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，請問商社電器應將B型空氣凈化器的售價定為1600元．【點評】此題考查了一元二次方程及分式方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系，注意分式方程應該檢驗，難度不大．27．〔2022?亭湖區一模〕如圖，點E，F分別是?ABCD的邊BC，AD上的中點，且∠BAC=90°．〔1〕求證：四邊形AECF是菱形；〔2〕假設∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面積．【考點】菱形的判定與性質．【分析】〔1〕由平行四邊形的性質得出AD=BC，由直角三角形斜邊上的中線性質得出AE=BC=CE，AF=AD=CF，得出AE=CE=AF=CF，即可得出結論；〔2〕連接EF交AC于點O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位線定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面積=AC?EF，即可得出結果．【解答】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E是BC邊的中點，∴AE=BC=CE，同理，AF=AD=CF，∴AE=CE=AF=CF，∴四邊形AECF是菱形；〔2〕解：連接EF交AC于點O，如下圖：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=BC=5，AB=AC=5，∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，∴OE是△ABC的中位線，∴OE=AB=，∴EF=5，∴菱形AECF的面積=AC?EF=×5×5=．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、三角形中位線定理、菱形的面積公式；熟練掌握菱形的判定與性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．28．AB為⊙O直徑，BC為⊙O切線，切點為B，CO平行于弦AD，作直線DC．①求證：DC為⊙O切線；②假設AD?OC=8，求⊙O半徑r．【考點】切線的判定與性質．【分析】①連接OD，要證明DC是⊙O的切線，只要證明∠ODC=90°即可．根據題意，可證△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可證DC是⊙O的切線；②連接BD，OD．先根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△ADB∽△ODC，再根據相似三角形對應邊成比例即可得到r的值．【解答】①證明：連接OD．∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，∴∠BOC=∠COD．∵在△OBC與△ODC中，，∴△OBC≌△ODC〔SAS〕，∴∠OBC=∠ODC，又∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴DC是⊙O的切線；②解：連接BD．∵在△ADB與△ODC中，，∴△ADB∽△ODC，∴AD：OD=AB：OC，∴AD?OC=OD?AB=r?2r=2r2，即2r2=8，故r=2．【點評】此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點．要證某線是圓的切線，此線過圓上某點，連接圓心與這點〔即為半徑〕，再證垂直即可．29．如圖，雙曲線y=〔x＞0〕經過△OAB的頂點A和OB的中點C．AB∥x軸，點A的坐標為〔4，6〕，連接AC交x軸于D．連接BD．〔1〕確定k的值；〔2〕求直線AC的解析式；〔3〕判斷四邊形OABD的形狀，并說明理由；〔4〕求△OAC的面積．【考點】反比例函數綜合題．【專題】綜合題；反比例函數及其應用．【分析】〔1〕把A的坐標代入反比例解析式求出k的值即可；〔2〕由AB與x軸平行，且A縱坐標為6，得到B縱坐標為6，再由C為OB中點，確定出C縱坐標為3，代入反比例解析式確定出C坐標，利用待定系數法確定出直線AC解析式即可；〔3〕四邊形OABC為平行四邊形，理由為：由C的坐標確定出B的坐標，進而確定出AB的長，由直線AC與x軸的交點為D，確定出D坐標，得出OD的長，由AB與OD平行且相等，得到四邊形OABC為平行四邊形；〔4〕由四邊形OABC為平行四邊形，得到對角線互相平分，得到三角形AOC面積為平行四邊形面積的四分之一，求出即可．【解答】解：〔1〕將A〔4，6〕代入解析式y=得：k=24；〔2〕∵AB∥x軸，B的縱坐標是6，C為OB中點，∴把y=3代入反比例解析式得：x=8，即C坐標為〔8，3〕，設直線AC的解析式為y=kx+b，將A〔4，6〕與C〔8，3〕代入得：，解得：，那么直線AC解析式為y=﹣x+9；〔3〕四邊形OABC為平行四邊形，理由為：∵點C的坐標為〔8，3〕，∴B的坐標為〔16，6〕，即AB=12，把y=0代入y=﹣x+9中得：x=12，即D〔12，0〕，∴OD=12，∴AB=OD，∵AB∥OD，∴四邊形OABC為平行四邊形；〔4〕∵S四邊形OABC=12×6=72，∴S△OAC=S四邊形OABC=18．【點評】此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定反比例、一次函數解析式，坐標與圖形性質，平行四邊形的判定與性質，以及線段中點坐標，熟練掌握待定系數法是解此題的關鍵．30．如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕問：當t為何值時，△APQ為直角三角形；〔3〕設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？假設存在，請求出t的值；假設不存在，請說明理由．【考點】二次函數綜合題．【分析】〔1〕先由直線AB的解析式為y=﹣x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=﹣x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；〔2〕由直線與兩坐標軸的交點可知：∠QAP=45°，設運動時間為t秒，那么QA=t，PA=3﹣t，然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數值列出關于t的方程求解即可；〔3〕設運動時間為t秒，可得OP=t，BQ=〔3﹣t〕，然后分別從當△BOP∽△QBM時與當△BOP∽△MBQ時，去分析求解即可求得答案．【解答】解：〔1〕∵y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴當y=0時，x=3，即A點坐標為〔3，0〕，當x=0時，y=3，即B點坐標為〔0，3〕，將A〔3，0〕，B〔0，3〕代入y=﹣x2+bx+c，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；〔2〕∵OA=OB=3，∠BOA=90°，∴∠QAP=45°．如圖①所示：∠PQA=90°時，設運動時間為t秒，那么QA=t，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，=，即：，解得：t=1；如圖②所示：∠QPA=90°時，設運動時間為t秒，那么QA=t，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，，即：=，解得：t=．綜上所述，當t=1或t=時，△PQA是直角三角形；〔3〕如圖③所示：設運動時間為t秒，那么OP=t，BQ=〔3﹣t〕．∵y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴點M的坐標為