第四章層次分析法

層次分析法（analytichierarchyprocess，簡稱AHP）是美國運籌學家撒汀（T.L.Saaty）等人于20世紀70年代提出的對復雜問題作出決策的一種簡明有效的新方法。

在實際生活中，人們往往需要對許多較為復雜、較為模糊的問題作出決策。如：填報高考志愿，選擇科研課題等，往往需要考慮許多因素，對一些備選項目作出排序，從而作出最后的決策。定義1A=(aij)n×n為一n階方陣，若

(1)aij>0;(2)aij=1/aji

則稱A為正互反矩陣。如：定義2

若A=(aij)n×n為正互反矩陣，且

aijajk=aik(i,j,k=1,2,…,n)

則稱A為一致矩陣。層次分析法的一般步驟：1.建立層次結構模型：準則C1準則C2準則Cn……方案P1方案P2......方案Pm決策目標目標層O方案層P準則層C2.構造判斷矩陣：

（確定每一層對上一層次每個因素的判斷矩陣）A=(aij)n×n應滿足aij>0;aij=1/aji。（即A為正互反矩陣）其中比較尺度aij的取值如下：ci比cj

相等較強強很強絕對強aij13579返回3.單層排序及一致性檢驗：(1)單層排序：求解判斷矩陣A的最大特征值λmax,再由Ax=λmaxx求出λmax對應的特征向量x，并將x標準化（單位化），x標準化后的分量即為同一層次的各因素相對于上一層中某一因素的重要性權重。根據權重即可確定同一層中各元素對上一層次的排序。

(2)

一致性檢驗：為檢驗A的一致性，取一致性指標

:（n為A的階數）取隨機性指標RI如下：階數n123456789RI000.590.91.121.241.321.411.45令若CR<0.1,則判斷矩陣A具有滿意的一致性。否則要對A重新調整，直到有滿意的一致性為止。4.層次總排序及一致性檢驗：假定上一層C1,C2,…,Cn的總排序已完成,而且權重分別為a1,a2,…,an.下一層P包含m個方案：P1,P2,…Pm,其對于Cj的層次排序權重為則P層（方案層）的總排序權重為：各排序權重見下表：若則總排序結果具有滿意的一致性。此時可以根據P層的總排序權重的大小來確定P層各方案的排序。例1企業留成利潤合理使用問題（某一企業現有一筆留成利潤，請綜合各方面利益，確定應如何合理使用）分析：利潤的合理使用，目的都是為了更好的調動職工的生產積極性、提高企業水平、改善職工物質文化生活，最終目的是合理使用企業留成利潤。中國國營企業按照國家規定的條件和核定的比例，從實現利潤中留用一部分歸自己支配的一種利潤分配形式。

（一）

建立層次結構模型：C1：調動職工積極性C2：提高企業技術水平C3：改善職工文化生活P1：發獎金P2：建集體設施P3：辦職工培訓班P5：引進新設備合理使用企業留成利潤目標層O方案層P準則層CP4：建俱樂部返回（二）

（1）構造判斷矩陣O-C：o

C1C2C3特征向量x的分量C1C2C3

11/51/351331/310.10520.63720.2583此處表示：為達到合理使用留成利潤的目的，準則C2（提高企業技術水平）的權重應最大λmax=3.0385,CI=0.0193,RI=0.58,CR=0.0332<0.1(具有滿意的一致性)（2）構造判斷矩陣C1-P：C1P1P2P3P4P5特征向量的分量P1P2

P3

P4

P5

135471/313251/51/311/23??2131/71/51/31/310.4910.2320.0920.1380.046此處表示：在提高職工積極性方面，方案P1（發獎金）的權重最大λmax=5.126,CI=0.038,RI=1.12,CR=0.028<0.1(具有滿意的一致性)（3）構造判斷矩陣C2-P：C2P2P3P4P5特征向量的分量P2

P3

P4

P5

11/71/31/5715331/511/351/3310.0550.5640.1180.263此處表示：在提高企業技術水平方面，方案P3（辦培訓班）的權重最大λmax=4.117,CI=0.039,RI=0.9,CR=0.043<0.1(具有滿意的一致性)（4）構造判斷矩陣C3-P：C3P1P2P3P4特征向量的分量P1P2

P3

P4

113311331/31/3111/31/3110.4060.4060.0940.094此處表示：在改善物質生活方面，方案P1（發獎金）與P2（建集體設施）的權重最大λmax=4,CI=0,RI=0.9,CR=0<0.1(具有滿意的一致性)（三）

層次總排序結果：

準則C方案P

C1C2C3方案層P的總排序結果

0.1050.6370.258P1P2

P3

P4

P50.49100.4060.2320.0550.4060.0920.5640.0940.1380.1180.0940.0460.26300.1570.1640.3930.1130.172從而對方案的最后排序結果為：P3>P5>P2>P1>P4(作出決策)此處亦確定了5個方案的權重第五章TOPSIS方法TOPSIS（Techniquefororderperformancebysimilaritytoidealsolution：逼近理想解的排序方法）方法最初是由Hwang和Yoon（HwangCL,YoonK.Multipleattributedecisionmaking:methodsandapplications.Berlin:Springer,1981.）提出的，它是一種解決多屬性決策問題的有效方法，其主要思想是最終被選擇的方案與負理想解的距離越大越好而與正理想解的距離越小越好。

所謂理想解（正理想解），是設想各指標屬性都達到最滿意的解；所謂負理想解，是設想各指標屬性都達到最不滿意的解。

假設一個多屬性決策問題具有m個備選方案A1,A2,…Am,同時有n個決策屬性(標準)R1,R2,…Rn.備選方案在各個屬性下的評價值構成一個決策矩陣，見表1現用TOPSIS方法確定應該選擇哪個方案？TOPSIS方法的過程如下：（1）計算規范決策矩陣，其規范值為：（2）計算加權規范決策矩陣，其加權規范值為：這里ωj為第j個屬性的權重。而且（3）確定正理想解和負理想解：這里I為效益型屬性（其值越大越好，如：汽車的安全系數，服務質量等），J為成本型屬性（其值越小越好，如：汽車的價格等）。（4）計算每個方案與正理想解和負理想解的分離度：（5）計算備選方案與正理想解的相對接近度：（6）根據ri*由大到小對備選方案進行排序.例1.一家庭現有一購車計劃，在初步調查后確定4個備選車型：本田飛度、AudiA4、桑塔納Vista、別克君越：在選擇時決策者需要考慮油耗、功率、價格、安全性、維護性、操縱性等因素（屬性），其購買轎車的決策矩陣如下：油耗（L/100km）功率（瓦特）價格(萬)安全性維護性操縱性本田飛度51.46差（0.3）中（0.5）好（0.7）AudiA49230好（0.7）中（0.5）很好（0.9）桑塔納Vista81.811中（0.5）高（0.7）中（0.5）別克君越122.518好（0.7）中（0.5）中（0.5）權重0.10.10.30.20.20.1應用TOPSIS方法評選轎車，對四種方案排序，過程如下：第一步：構造決策矩陣第二步：計算規范化決策矩陣第三步：計算加權規范決策矩陣第四步：這里R1(油耗)與R3(價格)為成本型屬性，而R2(功率)、R4(安全性）、R5(維護性)、R6(操縱性）為效益型屬性，從而計算正理想解和負理想解如下第五步：確定各方案與正理想解和負理想解的分離度第六步：確定相對接近度類似地，r2*=0.2847,r3*=0.7126,r4*=0.5168從而對方案的排序為：桑塔納Vista>本田飛度>別克君越>AudiA4第六章模糊模式識別問題：已知某類事物的若干標準集，現有該類事物中的一個具體對象，問應把它歸到哪一類？例1蘋果分級問題.

按照蘋果的大小、色澤、有無損傷將蘋果分為4級，分級是模糊的.標準模型庫＝{Ⅰ級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級}.現有一個蘋果，它屬于哪一級？――元素對標準模糊集的識別問題（個體識別）該病人癥狀屬于上述標準庫的哪一類癥狀？――模糊集對標準模糊集的識別問題（群體識別）例2醫生診病問題.設論域U＝{各種疾病癥狀}.由長期臨床積累的經驗，得到標準模型庫：心臟病：………感冒：現有一病人，病人向醫生訴說癥狀：模糊模式識別主要有以下兩個方法：1.最大隸屬原則方法；2.擇近原則方法。1.最大隸屬原則適用于個體識別例1（學習成績的模糊識別）論域U=[0,100]（分數）上確定了三個模糊集A=“優”，B=“良”，C=“差”，且隸屬函數分別為：現有一同學的成績為88分，問該同學的成績應評為優、良，還是差？將x=88代入以上隸屬函數，計算得：A(88)=0.8;B(88)=0.7;C(88)=0.此處A(88)最大。根據最大隸屬度原則，認為該成績應評為“優”。注：①兩相同集合的貼近度最大;②兩個較“接近”的模糊集的貼近度較大.為論域U上的模糊集，若映射（1）貼近度：設σ為映射，且2.擇近原則滿足：適用于群體識別（2）幾種常用的貼近度：此處2,3也稱為距離貼近度，其中2為海明距離，3為歐幾里得距離（3）擇近原則：例2.設論域

且：問B與A1，A2，A3中哪個最接近？解：不妨用貼近度來計算：從而，認為：B與A1最貼近。若采用其它貼近度，其計算結果是一致的。例3.茶葉的模糊識別“西湖龍井茶”的茶葉質量（外形與內質）的指標共7個：形狀、色澤、凈度、湯色、香氣、滋味、葉底，這些指標都是模糊的。西湖龍井茶可分為七個等級：特一級（A1）、特二級（A2）、特三級（A3）、一級（A4）、二級（A5）、三級（A6）、四級（A7），其數據見下表：A1A2A3A4A5A6A7形狀10.90.80.60.50.40.3色澤0.90.80.70.50.40.30.2凈度0.90.90.90.70.50.50.5湯色0.90.90.80.60.50.40.2香氣10.90.80.70.60.50.3滋味10.90.70.70.60.50.3葉底0.90.80.70.60.40.40.2現有一待識別茶葉B=(0.8,0.8,0.7,0.8,0.7,0.7,0.6),判斷B應屬于哪個級別？解：不妨采用距離貼近度來計算，計算結果為：通過計算得知：B與A3最貼近，從而認為B應屬于“特三級”。例41998年美國大學生數學建模競賽題：蠓的分類左圖給出了9只Af和6只Apf蠓的觸角長和翼長數據,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根據觸角長和翼長來識別一個標本是Af還是Apf是重要的.①給定一只Af族或Apf族的蠓,如何正確地區分它屬于哪一族？②將你的方法用于觸角長和翼長為：(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三個標本.解：先將已知的15只蠓進行模糊聚類，當

=0.919時,將已知的15只蠓分為3類：{1,2,3,4,5,6,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三類的中心向量分別為(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).用平移極差變換將它們分別變為：三個待識別標本(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)見下圖：從該圖看到，三只待識別的蠓處于Af族蠓和Apf族蠓的邊界位置，這三只蠓屬于哪一類具有模糊性。現將三只待識別的蠓(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)也用上面的極差變換分別變為：不妨采用如下貼近度進行計算：經計算，得根據擇近原則知：第一只待識別的蠓B1(1.24,1.80)屬于第三類，即Apf蠓；第二只待識別的蠓B2(1.28,1.84)屬于第三類，即Apf蠓；第三只待識別的蠓B3(1.40,2.04)屬于第二類，即Af蠓。第七章模糊數學在數學建模中的應用數學建模的步驟：（1）問題分析；（2）模型假設；（3）模型建立；（4）模型求解；（5）模型分析(檢驗、改進)。五步建模法56

國際數學建模競賽簡介1、國際數學建模競賽起源(1)數學建模競賽最早是在1985年起源于美國的一年一度的大學生數學建模競賽，其全稱為MathematicalContestinModelling，簡稱為MCM。(2)它是美國國家科學基金、美國數學、運籌與管理學會及其應用聯合會聯合舉辦的在世界上影響范圍最大的高水平大學生學術賽事.

全國數學建模競賽的發展57◆1992年由中國工業與應用數學學會組織舉辦了我國10城市的大學生數學模型聯賽；◆

1994年起由教育部高教司和中國工業與應用數學學會共同主辦全國大學生數學建模競賽；◆數學建模競賽已成為全國大學生四大科技競賽之一。是規模最大、參加校數最多、參加人數最多的科技競賽。◆數學建模競賽從一個側面反映了一個學校學生的綜合能力；

◆數學建模競賽為學生提供了一個展示自我才華的舞臺。

數學建模競賽的特點

59◆組織形式◆競賽內容◆競賽時間◆競賽的相對開放與對立性◆成果為一篇論文

數學建模競賽的評獎標準60◆假設的合理性◆建模的創造性◆結果的正確性◆文字表述的清晰程度61我校大學生近年參加數學建模競賽成績年度國際特等獎國際特等提名獎

國際一等獎

國際二等獎

國家一等獎國家二等獎省級獎合計20121142011125201016200952010高教社杯全國大學生數學建模競賽題目（B）

（B）2010年上海世博會影響力的定量評估

世博軸上海館北京館甘肅館新疆館

題目：2010年上海世博會是首次在中國舉辦的世界博覽會。從1851年倫敦的“萬國工業博覽會”開始，世博會正日益成為各國人民交流歷史文化、展示科技成果、體現合作精神、展望未來發展等的重要舞臺。請你們選擇感興趣的某個側面，建立數學模型，利用互聯網數據，定量評估2010年上海世博會的影響力。2010年上海世博會影響力的定量評估摘要：2010年上海世博會能給參展國家帶來發展的機遇，擴大國際交流和合作，提升國際影響力，促進經濟的發展，同時也能給我國創造巨大的經濟效益和社會效益。本文是從經濟和旅游兩方面定量評估上海世博會的影響力。首先，我們從中國、上海、江蘇和浙江統計局官方網站查到統計年鑒的相關數據，進行分析比較后，得到體現上海世博會對經濟和旅游影響力的七個具體方面：旅游業、基礎設施建設、對外貿易、零售業、餐飲業、交通運輸業和其它相關產業。模型一：層次分析模型。根據層次分析法得到了上海世博會對七個具體方面影響力從大到小的排序：旅游業、零售業、對外貿易、餐飲業、交通運輸業、其它相關產業及基礎設施，其所占權重分別為：0.6076、0.5527、0.2603、0.1576、0.0917、0.0249、0.0174，其中上海世博會對旅游業、零售業、對外貿易影響力較大，政府應該加大在這些方面的投入。通過這些方面的相關數據建立了數學模型對上海世博會在經濟和旅游兩方面的影響力進行定量評估。模型二：模糊綜合評價模型.由旅游業、基礎設施建設、對外貿易、零售業、餐飲業、交通運輸業和其它相關產業的2004-2010年上海市相關數據建立了單因素評判矩陣R=(rij),又根據模型一得到七個方面所占權重為:A=(0.6076,0.5527,0.2603,0.1576,0.0917,0.0249,0.0174)由模糊綜合評價法，可得2004-2010年上海的經濟增長權重為：（0.1909,0.2076,0.2041,0.2304,0.2660,0.2727,0.3405）。可以看出，距上海世博會越近，經濟增長權重越大，這就是世博會的“臨近效應”，并且年經濟增長權重明顯高于其它年份，上海世博會對上海經濟的影響是巨大的。

Ⅰ問題重述

2010上海世博會是首次在中國舉辦的世界博覽會，會展期為2010年5月1日到2010年10月31日。世界博覽會是由一個國家的政府主辦，有多個國家或國際組織參加，以展現人類在社會、經濟、文化和科技領域所取得成就為目的的國際性大型展示會。世博會正日益成為各國人民交流歷史文化、展示科技成果、體現合作精神、展望未來發展等的重要舞臺。一般來說，世博會會給舉辦國和舉辦城市帶來社會各個方面的影響。試從某個側面，建立數學模型，利用互聯網數據，定量評估2010年上海世博會的影響力。Ⅱ問題分析中國2010年上海世界博覽會（Expo2010），是第41屆世界博覽會。于2010年5月1日至10月31日期間，在中國上海市舉行。此次世博會也是由中國舉辦的首屆世界博覽會。上海世博會以“城市，讓生活更美好”（BetterCity,BetterLife）為主題，總投資達450億人民幣，創造了世界博覽會史上最大規模記錄。同時超越7000萬的參觀人數也創下了歷屆世博之最。世博會享有經濟、科技和文化領域內的奧林匹克盛會的美譽，不僅能給參展國家帶來發展的機遇，擴大國際交流和合作，促進經濟的發展，而且也能給舉辦國家創造巨大的經濟效益和社會效益，宣傳和擴大舉辦國家的知名度和聲譽，促進社會的繁榮和進步。世博會在一定程度上推動了舉辦國家、特別是舉辦城市的經濟發展，主要表現在：促進舉辦國家和城市的經濟增長、旅游業的發展、基礎設施的建設、對外貿易的提升、零售額的提高、餐飲業的繁榮、交通運輸的發達及相關產業的進步。我們借助于國家統計局、上海統計局、上海旅游局、江蘇統計局和浙江統計局等官方網站的權威統計數據，利用層次分析法、模糊綜合評價法分析上海世博會對我們國家和上海市以及長江三角洲地區的經濟影響，從而定量評估了上海世博會的影響力。Ⅲ模型假設1.假設從官方網站得到的統計數據與實際數據是完全一致的；2.對一組數據的影響是多方面的，如旅游人數，它除了世博會的影響外，還會受到其它因素的制約。因此，在本文中，我們假設其它因素的影響力均衡或是無變化的。

Ⅳ

模型建立與求解分析模型一：層次分析模型層次分析法是美國運籌學家撒汀教授于20世紀70年代中期提出的。把一個復雜問題表示成有序的遞階層次結構，通過人們的判斷，對備選指標的優略進行排序。這種方法具有實用性、系統性、簡潔性等很多優點，特別適用于有關社會經濟系統的決策分析。我們認為上海世博會的影響力主要表現在經濟增長方面（目標層）的影響力，經濟增長又主要體現在提高GDP、擴大需求和提高生活水平（準則層）方面的影響力，以上增長又是透過旅游業、基礎設施建設、對外貿易、零售業、餐飲業、交通運輸業及其它相關產業（方案層）來實現。我們構造了如下層次結構模型來討論上海世博會對經濟的影響。2、構造判斷矩陣ci比cj

相等較強強很強絕對強aij13579其中2、4、6、8的強度介于它們之間。

判斷矩陣有：3、層次總排序及一致性檢驗：從權重的計算結果來看，上海世博會對7個因素影響力從大到小的排序為：旅游業、零售業、對外貿易、餐飲業、交通運輸業、其它相關產業及基礎設施。

從以上分析數據上看，上海世博會對旅游業、零售業、對外貿易三個方面影響力相對較大，權重分別為：0.6076、0.5527、0.2603；而對其他相關產業、基礎設施的影響力相對較小，權重分別為：0.0249、0.0174模型二：模糊綜合評價模型為了定量評估上海世博會對上海經濟增長的影響力，我們從上海統計局官方網站得到2004—2010年上海市關于旅游業、基礎設施建設、對外貿易、零售業、餐飲業、交通運輸業及其它相關產業的相關數據，如下表。以模型一“層次分析法”所得到的權值，進一步對上海世博會對上海經濟的影響力用模糊綜合評價的方法做定量評估。綜上所述，可以看出上海世博會對上海經濟的影響力：05年和06年經濟增長權重比較接近，分別為0.2076和0.2041；08年和09年經濟增長權重比較接近，分別為0.2660和0.2727，明顯高于前幾年，這是因為世博會臨近，世博的影響力的“臨近效應”已經逐漸顯現出來；到2010年，由于世博會的召開，2010年的經濟增長權重明顯高于其它年份，為0.3405，這說明上海世博會對上海經濟的影響是巨大的。

Ⅴ模型評價我們所用到的層次分析模型、模糊綜合評價模型主要定量評估了2010年上海世博會對上海經濟和上海旅游業的影響力的大小，對中國、上海及其周邊長江三角地區的影響力大小，也就是說側重于經濟方面的影響。但是，世博會給舉辦國和舉辦城市帶來的影響是多方面的，尤其是國際影響力，因為時間有限，沒有能夠對上海世博會的國際影響力做進一步的定量評估，這是我們的模型需要改進的地方。1998年美國大學生數學建模競賽題：蠓