...wd......wd......wd...因式分解的常用方法第一局部：方法介紹多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，開展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數學教材根基上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學過假設干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：〔1〕(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.是的三邊，且，那么的形狀是〔〕A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解：三、分組分解法.〔一〕分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體〞看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部〞看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯系。解：原式==每組之間還有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式=原式=====練習：分解因式1、2、〔二〕分組后能直接運用公式例3、分解因式：分析：假設將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續分解，所以只能另外分組。解：原式===例4、分解因式：解：原式===練習：分解因式3、4、綜合練習：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕四、十字相乘法.〔一〕二次項系數為1的二次三項式直接利用公式——進展分解。特點：〔1〕二次項系數是1；〔2〕常數項是兩個數的乘積；〔3〕一次項系數是常數項的兩因數的和。思考：十字相乘有什么基本規律例.0＜≤5，且為整數，假設能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：但凡能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c，都要求>0而且是一個完全平方數。于是為完全平方數，例5、分解因式：分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發現只有2×3的分解適合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法進展分解的關鍵：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和要等于一次項的系數。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6〔-1〕+〔-6〕=-7練習5、分解因式(1)(2)(3)練習6、分解因式(1)(2)(3)〔二〕二次項系數不為1的二次三項式——條件：〔1〕〔2〕〔3〕分解結果：=例7、分解因式：分析：1-23-5〔-6〕+〔-5〕=-11解：=練習7、分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔三〕二次項系數為1的齊次多項式例8、分解因式：分析：將看成常數，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進展分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==練習8、分解因式(1)(2)(3)〔四〕二次項系數不為1的齊次多項式例9、例10、1-2y把看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=練習9、分解因式：〔1〕〔2〕綜合練習10、〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕思考：分解因式：五、換元法。例13、分解因式〔1〕〔2〕解：〔1〕設2005=，那么原式===〔2〕型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=設，那么∴原式====練習13、分解因式〔1〕〔2〕〔3〕例14、分解因式〔1〕觀察：此多項式的特點——是關于的降冪排列，每一項的次數依次少1，并且系數成“軸對稱〞。這種多項式屬于“等距離多項式〞。方法：提中間項的字母和它的次數，保存系數，然后再用換元法。解：原式==設，那么∴原式=======〔2〕解：原式==設，那么∴原式====練習14、〔1〕〔2〕六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式〔1〕解法1——拆項。解法2——添項。原式=原式=========〔2〕解：原式====練習15、分解因式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕七、待定系數法。例16、分解因式分析：原式的前3項可以分為，那么原多項式必定可分為解：設=∵=∴=比照左右兩邊一樣項的系數可得，解得∴原式=例17、〔1〕當為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。〔2〕如果有兩個因式為和，求的值。〔1〕分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為解：設=那么=比較對應的系數可得：，解得：或∴當時，原多項式可以分解；當時，原式=；當時，原式=〔2〕分析：是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項式。解：設=那么=∴解得，∴=21練習17、〔1〕分解因式〔2〕分解因式〔3〕：能分解成兩個一次因式之積，求常數并且分解因式。〔4〕為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。第二局部：習題大全經典一：一、填空題1.把一個多項式化成幾個整式的_______的形式，叫做把這個多項式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_______.4、分解因式：=_________________。5.將xn-yn分解因式的結果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，那么n的值為.6、假設，那么=_________，=__________。二、選擇題7、多項式的公因式是()A、B、C、D、8、以下各式從左到右的變形中，是因式分解的是()A、B、C、D、10.以下多項式能分解因式的是〔〕(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+411．把〔x－y〕2－〔y－x〕分解因式為〔〕A．〔x－y〕〔x－y－1〕B．〔y－x〕〔x－y－1〕C．〔y－x〕〔y－x－1〕D．〔y－x〕〔y－x＋1〕12．以下各個分解因式中正確的選項是〔〕A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac〔5b2＋3cB．〔a－b〕2－〔b－a〕2＝〔a－b〕2〔a－b＋1〕C．x〔b＋c－a〕－y〔a－b－c〕－a＋b－c＝〔b＋c－a〕〔x＋y－1〕D．〔a－2b〕〔3a＋b〕－5〔2b－a〕2＝〔a－2b〕〔11b－2a〕13.假設k-12xy+9x2是一個完全平方式，那么k應為〔〕A.2B.4C.2y2D.4y2三、把以下各式分解因式：14、15、16、17、18、19、；五、解答題20、如圖，在一塊邊長=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個邊長=3.33cm的正方形。求紙片剩余局部的面積。dD21、如圖，某環保工程需要一種空心混凝土管道，它的規格是內徑，外徑長。利用分解因式計算澆制一節這樣的管道需要多少立方米的混凝土(取3.14，結果保存2位有效數字)dD22、觀察以下等式的規律，并根據這種規律寫出第(5)個等式。經典二：因式分解小結知識總結歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。1.因式分解的對象是多項式；2.因式分解的結果一定是整式乘積的形式；3.分解因式，必須進展到每一個因式都不能再分解為止；4.公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5.結果如有一樣因式，應寫成冪的形式；6.題目中沒有指定數的范圍，一般指在有理數范圍內分解；7.因式分解的一般步驟是：〔1〕通常采用一“提〞、二“公〞、三“分〞、四“變〞的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續分解；〔2〕假設上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數法、試除法、拆項〔添項〕等方法；下面我們一起來回憶本章所學的內容。1.通過基本思路到達分解多項式的目的例1.分解因式分析：這是一個六項式，很顯然要先進展分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進展分解。解一：原式解二：原式=2.通過變形到達分解的目的例1.分解因式解一：將拆成，那么有解二：將常數拆成，那么有3.在證明題中的應用例：求證：多項式的值一定是非負數分析：現階段我們學習了兩個非負數，它們是完全平方數、絕對值。此題要證明這個多項式是非負數，需要變形成完全平方數。證明：設，那么4.因式分解中的轉化思想例：分解因式：分析：此題假設直接用公式法分解，過程很復雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關系，努力尋找一種代換的方法。解：設a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進展“代換〞是很重要的。中考點撥例1.在中，三邊a,b,c滿足求證：證明：說明：此題是代數、幾何的綜合題，難度不大，學生應掌握這類題不能丟分。例2.：__________解：說明：利用等式化繁為易。題型展示1.假設x為任意整數，求證：的值不大于100。解：說明：代數證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2.將解：說明：利用因式分解簡化有理數的計算。實戰模擬1.分解因式：2.：的值。3.矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4.求證：是6的倍數。〔其中n為整數〕5.：a、b、c是非零實數，且，求a+b+c的值。6.：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。經典三：因式分解練習題精選一、填空：〔30分〕1、假設是完全平方式，那么的值等于_____。2、那么=____=____3、與的公因式是＿4、假設=，那么m=_______，n=_________。5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其結果是_____________________。6、假設是完全平方式，那么m=_______。7、8、那么9、假設是完全平方式M=________。10、，11、假設是完全平方式，那么k=_______。12、假設的值為0，那么的值是________。13、假設那么=_____。14、假設那么___。15、方程，的解是________。二、選擇題：〔10分〕1、多項式的公因式是〔〕A、－a、B、C、D、2、假設，那么m，k的值分別是〔〕A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有〔〕A、1個，B、2個，C、3個，D、4個4、計算的值是〔〕A、B、三、分解因式：〔30分〕1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、四、代數式求值〔15分〕，，求的值。假設x、y互為相反數，且，求x、y的值，求的值五、計算：〔15〕〔1〕0.75〔2〕〔3〕六、試說明：〔8分〕1、對于任意自然數n，都能被動24整除。2、兩個連續奇數的積加上其中較大的數，所得的數就是夾在這兩個連續奇數之間的偶數與較大奇數的積。七、利用分解因式計算〔8分〕1、一種光盤的外D=11.9厘米，內徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。〔結果保存兩位有效數字〕2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個正方形的邊長。八、教師給了一個多項式，甲、乙、丙、丁四個同學分別對這個多項式進展了描述：甲：這是一個三次四項式乙：三次項系數為1，常數項為1。丙：這個多項式前三項有公因式丁：這個多項式分解因式時要用到公式法假設這四個同學描述都正確請你構造一個同時滿足這個描述的多項式，并將它分解因式。〔4分〕經典四：因式分解選擇題1、代數式a3b2－a2b3,a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是〔〕A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式應當為〔〕A、5a－10bB、5a＋10bC、5(x－y)D、y－x3、把－8m3＋12m2＋A、－4m(2m2－3m)B、－4m(2m2＋C、－4m(2m2－3m－1)D、－2m(4m2－4、把多項式－2x4－4x2分解因式，其結果是〔〕A、2(－x4－2x2)B、－2(x4＋2x2)C、－x2(2x2＋4)D、－2x2(x2＋2)5、〔－2〕1998＋〔－2〕1999等于〔〕A、－21998B、21998C、－219996、把16－x4分解因式，其結果是〔〕A、(2－x)4B、(4＋x2)(4－x2)C、(4＋x2)(2＋x)(2－x)D、(2＋x)3(2－x)7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，結果是〔〕A、a2(a2－2b2)＋b4B、(a2－b2)2C、(a－b)4D、(a＋b)2(a－b)8、把多項式2x2－2x＋分解因式，其結果是〔〕A、(2x－)2B、2(x－)2C、(x－)2D、(x－1)29、假設9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，那么k的值是〔〕A、±4B、±2C、3D、4或210、－〔2x－y〕(2x＋y)是以下哪個多項式分解因式的結果〔〕A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y11、多項式x2＋3x－54分解因式為〔〕A、(x＋6)(x－9)B、(x－6)(x＋9)C、(x＋6)(x＋9)D、(x－6)(x－9)二、填空題1、2x2－4xy－2x=_______(x－2y－1)2、4a3b2－10a2b3=2a2b2(________)3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)4、m(m－n)2－(n－m)2=(__________)(__________)5、x2－(_______)＋16y2=()26、x2－(_______)2=(x＋5y)(x－5y)7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)=(x＋y－z)·(________)9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)12、x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，那么p=_______.三、解答題1、把以下各式因式分解。(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)(8)a2＋5a＋6(9)x2－11x＋24(10)y2－12y－28(11)x2＋4x－5(12)y4－3y3－28y22、用簡便方法計算。〔1〕9992＋999〔2〕2022－542＋256×352(3)3、：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。四、探究創新樂園假設a－b=2,a－c=,求(b－c)2＋3(b－c)＋的值。求證：1111－1110－119=119×109經典五：因式分解練習題一、填空題：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．假設m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，那么a=______，b=______；15．當m=______時，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、選擇題：1．以下各式的因式分解結果中，正確的選項是[]A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2．多項式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于[]A．(n－2)(m＋m2)B．(n－2)(m－m2)C．m(n－2)(m＋1)D．m(n－2)(m－1)3．在以下等式中，屬于因式分解的是[]A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．以下各式中，能用平方差公式分解因式的是[]A．a2＋b2B．－a2＋b2C．－a2－b2D．－(－a2)＋b25．假設9x2＋mxy＋16y2是一個完全平方式，那么m的值是[]A．－12B．±24C．12D．±126．把多項式an+4－an+1分解得[]A．an(a4－a)B．an-1(a3－1)C．an+1(a－1)(a2－a＋1)D．an+1(a－1)(a2＋a＋1)7．假設a2＋a＝－1，那么a4＋2a3－3a2－4a＋3的值為[]A．8B．7C．10D．128．x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分別為[]A．x=1，y=3B．x=1，y=－3C．x=－1，y=3D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得[]A．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)210．把x2－7x－60分解因式，得[]A．(x－10)(x＋6)B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20)D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得[]A．(3x＋4)(x－2)B．(3x－4)(x＋2)C．(3x＋4y)(x－2y)D．(3x－4y)(x＋2y)12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得[]A．(a＋11)(a－3)B．(a－11b)(a－3b)C．(a＋11b)(a－3b)D．(a－11b)(a＋3b)13．把x4－3x2＋2分解因式，得[]A．(x2－2)(x2－1)B．(x2－2)(x＋1)(x－1)C．(x2＋2)(x2＋1)D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)14．多項式x2－ax－bx＋ab可分解因式為[]A．－(x＋a)(x＋b)B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b)D．(x＋a)(x＋b)15．一個關于x的二次三項式，其x2項的系數是1，常數項是－12，且能分解因式，這樣的二次三項式是[]A．x2－11x－12或x2＋11x－12B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12D．以上都可以16．以下各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有[]A．1個B．2個C．3個D．4個17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式為[]A．(x－6y＋3)(x－6x－3)B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3)D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．以下因式分解錯誤的選項是[]A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c)B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2)D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)19．a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不為零，那么a與b的關系為[]A．互為倒數或互為負倒數B．互為相反數C．相等的數D．任意有理數20．對x4＋4進展因式分解，所得的正確結論是[]A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8)D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式為[]A．(a2＋b2＋ab)2B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab)D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是以下哪個多項式的分解結果[]A．3x2＋6xy－x－2yB．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xyD．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解為[]A．(64a4－b)(a4＋b)B．(16a2－b)(4a2＋b)C．(8a4－b)(8a4＋b)D．(8a2－b)(8a4＋b)24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解為[]A．(5x－y)2B．(5x＋y)2C．(3x－2y)(3x＋2y)D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解為[]A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2C．(3x－2y＋1)2D．(2y－3x－1)226．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式為[]A．(3a－b)2B．(3b＋a)2C．(3b－a)2D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式為[]A．c(a＋b)2B．c(a－b)2C．c2(a＋b)2D．c2(a－b)28．假設4xy－4x2－y2－k有一個因式為(1－2x＋y)，那么k的值為[]A．0B．1C．－1D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，