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文檔簡(jiǎn)介

§1.5分塊矩陣一、分塊矩陣的運(yùn)算例設(shè)計(jì)算AB。記則而因?yàn)橛纱说?/p>

定義設(shè)A是m×n矩陣，在A的行之間加入條橫線，在A的列之間加入條豎線

，則A被分成s×t

個(gè)小矩陣，依次記為

此時(shí)，A可寫為把A視為以為元素的形式上的s×t矩陣，稱之為分塊矩陣，也稱為對(duì)A的分塊，每個(gè)小矩陣稱為A的子塊。常見分塊：(1)

根據(jù)元素的排列特性；

(2)

按行（列）；(3)

兩個(gè)極端。例

(1)

(2)

(3)

問題：如何分塊，使（1）分塊矩陣之間的形式運(yùn)算有意義（2）塊之間的矩陣運(yùn)算有意義

要求：分塊運(yùn)算需如下進(jìn)行的p個(gè)解。

例已知m×n矩陣A，則對(duì)n×p矩陣B，等式AB=0成立的充分必要條件為：B的p個(gè)列恰是齊次線性方程組AX=0

（1）加法：A+B

（A與B分塊方法相同）

（2）數(shù)乘：kA

（A的分法任意）

（3）乘法：AB

（A的列與B的行分法相同）

（4）轉(zhuǎn)置：

AT

（A的分法任意）證明對(duì)按列分塊，則即是齊次線性方程組AX=0的解。

例設(shè)A是n階方陣。若存在n階非零方陣B，使

AB=O則A是降秩矩陣。▌

證明由上例的結(jié)論知，B的每個(gè)列均是齊次線性方程組AX=0的解。因B≠0，故B至少有一列的元素不全為零，該列即是上述齊次方程組的非零解。于是，由前面的定理可得，A不可逆。所以，秩(A)<n。

例已知分塊矩陣可逆，其中A、D是可逆的子塊，求。▌

證明已知T可逆，故存在。根據(jù)T，對(duì)分塊其中是分別與A、D同型的子塊。因?yàn)槠渲惺欠謩e與A、D同型的單位子塊，所以由此解出于是

▌二、分塊矩陣的初等變換定義對(duì)分塊矩陣的下述三種變換稱為分塊初等行（列）變換：

（1）用可逆矩陣P左（右）乘A的某一行（列）全部子塊

（2）A的某一行（列）全部子塊的左（右）側(cè)乘上矩陣P加到另一行（列）上（3）互換A的兩行（列）這里，矩陣P應(yīng)使矩陣運(yùn)算可以進(jìn)行。

定義稱下述分塊矩陣為分塊單位矩陣，其中都是單位矩陣。

定義對(duì)分塊單位矩陣做一次分塊初等變換，所得分塊矩陣稱為分塊初等矩陣。性質(zhì)分塊初等矩陣是滿秩矩陣。

定理對(duì)一個(gè)分塊矩陣A做一次分塊初等行（列）變換等同于在A的左（右）側(cè)乘上一個(gè)對(duì)應(yīng)的分塊初等矩陣。

推論1

若分塊矩陣A經(jīng)過有限次分塊初等變換化為分塊矩陣B，則A相抵于B。推論2

分塊初等變換不改變矩陣的秩。例設(shè)分塊矩陣中B、D均為可逆矩陣，證明：A可逆，并求。證明

由此得令

則PA=I，故A可逆，并且

▌

定理（1）A與B是同型矩陣，則秩(A+B)秩(A)+秩(B)；（2）設(shè)A是s×n矩陣，B是n×t矩陣，則秩(AB)秩

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