2020年北京高考數學試卷一、選擇題10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，，則（）．A.B.C.D.2.在復平面內，復數對應的點的坐標是，則（）．A.B.C.D.3.在A.的展開式中，的系數為（）．B.5C.D.104.某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．A.B.C.D.5.已知半徑為1的圓經過點A.4B.5C.6D.76.已知函數，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．，則不等式的解集是（）．A.C.B.D.7.設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）．A.經過點B.經過點D.垂直于直線C.平行于直線8.在等差數列中，，．記，則數列（）．A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項9.已知，則“存在使得”是“”的（）．A充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件10.2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似．數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術平均數作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是（）．AB.D.C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域是____________．12.已知雙曲線_________．，則C的右焦點的坐標為_________；C的焦點到其漸近線的距離是13.已知正方形_________．的邊長為2，點P滿足，則_________；14.若函數最大值為2，則常數的一個取值為________．15.為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改，設企業的污水排放量W與時間t的關系為這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.，用的大小評價在給出下列四個結論：①在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；②在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；③在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；④甲企業在這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結論的序號是____________________．三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在正方體（Ⅰ）求證：中，E為的中點．平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角正弦值．17.在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．18.某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如下表：男生女生支持方案一方案二不支持200人350人支持400人250人不支持300人150人100人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學生支持方案的概率估計值記為，假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大小．（結論不要求證明）19.已知函數（Ⅰ）求曲線．的斜率等于在點的切線方程；（Ⅱ）設曲線處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．20.已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．21.已知是無窮數列．給出兩個性質：①對于中任意兩項中任意項，中都存在一項中都存在兩項，使；②對于，在．使得．(Ⅰ)若，判斷數列是否滿足性質①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數列是否同時滿足性質①和性質②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數列，且同時滿足性質①和性質②，證明：為等比數列.2020年北京高考數學試卷答案1.D.2.B.3.C.4.D.5.設圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當且僅當故選：A.6.因為在線段上時取得等號，，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.7.如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據定義可知，，所以線段的垂直平分線經過點.故選：B.8.由題意可知，等差數列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由由可知，可知數列不存在最小項，由于，故數列故數列故選：B.9.(1)當存在中的正項只有有限項：，.中存在最大項，且最大項為.使得時，若為偶數，則若為奇數，則；；(2)當時，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在故選：C.使得”是“”的充要條件.10.單位圓內接正邊形的每條邊所對應的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓內接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，，則.故選：A.11.由題意得12.在雙曲線，故答案：中，，，，則，即，則雙曲線的右焦點坐標為雙曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線故答案為：的焦點到其漸近線的距離為.；.13.以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.14.因為，所以，解得，故可取.故答案為：（均可）.15.表示區間端點連線斜率的負數，在這段時間內，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數比乙的大，因此甲企業的污水治理能力比乙企業強；①正確；甲企業在這三段時間中，甲企業在這段時間內，甲的斜率最小，其相反數最大，即在的污水治理能力最強．④錯誤；在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數比乙的大，甲企業的污水治理能力比乙企業強；②正確；在時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；③正確；故答案為：①②③16.（Ⅰ）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面、，平面；（Ⅱ）以點為坐標原點，、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體設平面的棱長為，則，、、、，，的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線與平面所成角的正弦值為.17.選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）18.（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：（Ⅲ）;19.（Ⅰ）因為，所以，設切點為，則，即，所以切點為，由點斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）顯然，因為在點處的切線方程為：，得，，令，得，令所以，不妨設則時，結果一樣，，所以，由，得，由，得，所以所以在上遞減，在取得極小值，上遞增，時，也是最小值為.20.(1)設橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：(2)設.，，直線的方程為：，與橢圓方程聯立可得：，即：則：，.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：很明顯.，且：，注意到：，而：，故.從而.21.(Ⅰ)不具有性質①；(Ⅱ)具有性質①；具有性質②；(Ⅲ)解法一首先，證明數列中的項數同號，不妨設恒為正數：顯然，假設數列中存在負項，設，第一種情況：若由①可知：存在，即，，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數列的單調性矛盾，假設不成立.第二種情況：若另一方面，，由①知存在實數，滿足，由，的定義可知：，，由數列的單調性可知：這與的定義矛盾，假設不成立.同理可證得數列中的項數恒為負數.綜上可得，數列中的項數同號.其次，證明：利用性質②：取，此時，由數列的單調性可知，而，故，即，此時必有，最后，用數學歸納法證明數列為等比數列：假設數列其中的前項成等比數列，不妨設的情況類似），，（由①可得：存在整數，滿足，且（*）由②得：存在由，滿足：，由數列的單調性可知：，可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結合數列的單調性有：，注意到均為整數，故，代入（**）式，從而.總上可得，數列的通項公式為：.即數列為等比數列.解法二：假設數列中的項數均為正數：首先利用性質②：取由數列的單調性可知，此時，，而，故，此時必有即，即，成等比數列，不妨設，然后利用性質①：取，則，即數列中必然存在一項的值為否則，由數列的單調性可知，下面我們來證明，，在性質②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若若若，則：，則：，則：，與假設矛盾；，與假設矛盾；，與數列的單調性矛盾；不成立，從而即不存在滿足題意的正整數然后利用性質①：取，可見，，則數