③代入公式求解即可?！绢}型訓(xùn)練】例題1．（2021?興寧區(qū)校級(jí)二模）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，DC∥AB，∠BAD＝90°，面EAD⊥面ABCD，AB＝AD＝AE＝ED＝DC＝1，M為EB的中點(diǎn)．（1）求證：DM⊥AE；（2）求直線DM與平面BCE所成角的正弦值．【解析】（1）證明：記AE的中點(diǎn)為F，連接MF、DF．∵DE＝AD＝AE，∴AE⊥DF．∵面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD＝AD，AB⊥AD，∴AB⊥面ADE．∵M(jìn)為EB的中點(diǎn)，∴MF∥AB，∴MF⊥面ADE，AE?平面ABE，∴MF⊥AE，又FM∩DF＝F，∴AE⊥面DFM，DM?平面DFM，∴AE⊥DM．（2）∵AB⊥面AEM，又AB∥DC，∴DC⊥面AED，故可如右圖建系．不妨設(shè)DC＝4，則AB＝AD＝AE＝ED＝2，由等邊三角形AED可知，E（1，0，），B（2，2，0），C（0，4，0），M（，1，），則有＝（，1，），＝（﹣2，2，0），＝（1，﹣4，），設(shè)面BCE的一個(gè)法向量＝（x，y，z），則，即，令x＝1，則y＝1，z＝，可得平面BCE的一個(gè)法向量＝（1，1，），則cos＜，＞＝＝，所以直線DM與平面BCE所成角的正弦值為．變式訓(xùn)練1．（2021?南崗區(qū)校級(jí)三模）如圖，四棱錐P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC⊥AB，AB＝2BC＝4CD＝4．（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若PA＝2，求直線BD與平面PBC成角正弦值．【解析】（1）證明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，在直角三角形BCD中，tan∠CBD＝＝，在直角三角形BCD中，tan∠CBD＝＝，在直角三角形BCA中，tan∠BCA＝＝2，所以tan∠CBDtan∠BCA＝1，可得∠CBD+∠BCA＝90°，即有BD⊥AC，而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，而BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD；（2）設(shè)D到平面PBC的距離為h，由BC⊥AB，AB為PB在底面ABCD上的射影，可得BC⊥PB，則S△PBC＝BC?PB＝×2×＝2，又S△DBC＝BC?BD＝×2×1＝1，由VD﹣PBC＝VP﹣BCD，可得hS△PBC＝PA?S△DBC，即h＝＝，所以直線BD與平面PBC成角正弦值為＝＝．方法二：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則B，D，P，C，則，，設(shè)平面PBC的法向量為，則有即，得所以變式訓(xùn)練2．（2021?盤州市一模）如圖，圓錐的頂點(diǎn)為S，AB是底面圓O的直徑，C是圓O上異于A、B的一點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，平面SOD∩平面SBC＝l，SO＝OA＝1．（1）求證：l∥BC；（2）若l與AB所成的角為60°，求l與平面SBD所成角的正弦值．【解析】（1）證明：因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥BC，又OD?平面SOD，BC?平面SOD，則BC∥平面SOD，又BC?平面SBC，平面SOD∩平面SBC＝l，所以l∥BC；（2）由l∥BC且l與AB所成的角為60°，則∠ABC＝60°，所以△OBC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，所以，設(shè)平面SBD的法向量為，則，即，令x＝5，則，故，因?yàn)閘∥BC，則l的一個(gè)方向向量為，所以＝，故l與平面SBD所成角的正弦值為．變式訓(xùn)練3．（2021?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝2AB＝2，E是DD1上的一點(diǎn)且．（1）求證：平面A1B1D⊥平面AEC；（2）求直線A1D與平面AEC所成角的正弦值．【解析】（1）證明：在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，有A1B1⊥平面AA1D1D，又因?yàn)锳E?平面AA1D1D，所以A1B1⊥AE．在△ADE與△A1AD中，∠ADE＝∠A1AD，又，所以△ADE∽△A1AD．所以∠DAE＝∠AA1D，所以，所以AE⊥A1D．又因?yàn)锳1D∩A1B1＝A1，所以AE⊥平面A1B1D，因?yàn)锳E?平面AEC，所以平面A1B1D⊥平面AEC．（2）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DA，DC，DD1兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，有，所以，，，設(shè)平面AEC的法向量為，則，所以?。O(shè)直線A1D與平面AEC所成角為θ，則．例題2．（2021?香坊區(qū)校級(jí)四模）在三棱錐P﹣ABC中，△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝1，，E為PA的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PB上靠近B的三等分點(diǎn)．（1）證明：BD∥平面CEF．（2）若PA⊥AC，求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．【解析】（1）證明：連接PD且交CE于點(diǎn)T，連接FT．由題意可知，PD，CE為中線，所以T為重心，，所以FT∥BD，F(xiàn)T?平面CEF，BD?平面CEF，所以BD∥平面CEF．（2）因?yàn)镻A⊥AC，AC＝1，，所以PA＝2又因?yàn)锳B＝AC，PB＝PC，所以PA2+AB2＝PB2即PA⊥AB所以AB，AC，AP兩兩垂直．故以A為原點(diǎn)，，，為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，由圖可知，E（0，0，1），C（0，1，0），，B（1，0，0），所以，，設(shè)平面CEF的法向量為則有即可令x＝1，y＝z＝2，所以，設(shè)平面CFB的法向量為則有即可令x＝y(tǒng)＝2，z＝1，所以，因?yàn)樗?，即二面角E﹣CF﹣B的正弦值為．變式訓(xùn)練1．（2021?巴中模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AC＝2，∠ABC＝45°，E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面ABE與棱PD的交點(diǎn)．（1）證明：平面PBC⊥平面ABE；（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【解析】（1）證明：∵四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AC＝2，∠ABC＝45°，E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面ABE與棱PD的交點(diǎn)．∴AB⊥AC，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，0），E（0，1，1），＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），＝（2，0，0），＝（0，1，1），設(shè)平面PBC的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，1，1），設(shè)平面ABE的法向量＝（a，b，c），則，取b＝1，得＝（0，1，﹣1），∵＝0，∴平面PBC⊥平面ABE；（2）D（﹣2，2，0），F(xiàn)（﹣1，1，1），＝（0，1，1），＝（﹣1，1，1），＝（0，2，0），設(shè)平面ACF的法向量＝（x1，y1，z1），平面AEF的法向量＝（x2，y2，z2），則，取x1＝1，得＝（1，0，1），，取y2＝1，得＝（0，1，﹣1），設(shè)二面角C﹣AF﹣E的平面角為θ，則二面角C﹣AF﹣E的余弦值為：cosθ＝＝＝．變式訓(xùn)練2．（2021?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝1，PA＝AD＝DC＝2，PD＝2．（1）求證：AB⊥PD；（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面PD＝AD，AB?平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD；又因?yàn)镻D?平面PAD，所以AB⊥PD；（2）因?yàn)镻A＝AD＝2，PD＝2，所以PA⊥AD．由（Ⅰ）得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，所以AB、AD、AP兩兩垂直．以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示：則P（0，0，2），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）；因?yàn)镻A⊥平面BCD，所以平面BCD的一個(gè)法向量是＝（0，0，1）．而＝（1，0，﹣2），＝（2，2，﹣2），設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則由，得；取z＝1，有＝（2，﹣1，1），所以cos＜，＞＝＝＝．由題知，二面角P﹣BC﹣D為銳角，所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值為．變式訓(xùn)練3．（2021?海南模擬）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2AA1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)．（1）證明：C1F∥平面B1D1E；（2）求平面B1D1E與平面C1D1F所成銳二面角的余弦值．【解析】（1）證明：如圖，取棱AD的中點(diǎn)G，連接GD1，GE，GF，BD．因?yàn)镚，E分別是AD，AB的中點(diǎn)，所以GE∥BD∥B1D1，所以G，E，B1，D1四點(diǎn)共面．因?yàn)镚，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以GF∥CD∥C1D1，且GF＝CD＝C1D1，所以四邊形GFC1D1是平行四邊形，所以C1F∥GD1，因?yàn)镃1F?平面B1D1E，GD1?平面B1D1E，所以C1F∥平面B1D1E．（2）如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AA1＝1，B1（2，2，1），D1（0，0，1），C1（0，2，1），E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0），所以，，設(shè)平面B1D1E的法向量為，則，令x＝1，則．同理可得平面C1D1F的一個(gè)法向量為．所以，因此，平面B1D1E與平面C1D1F所成銳二面角的余弦值為．例題3．（2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的點(diǎn)，且BF＝BC．（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；（2）求點(diǎn)F到平面PCD的距離．【解析】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AE?面PAB，∴BC⊥AE，∵PA＝AB，E為PB中點(diǎn)，∴AE⊥PB，又BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC，又AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．（2）∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD，∴B到平面PCD的距離等于A到平面PCD的距離，取PD的中點(diǎn)G，連接AG，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，∵PA＝AD，G是PD的中點(diǎn)，∴AG⊥PD，又PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD，∵PA＝AD＝4，PA⊥AD，∴PD＝4，∴AG＝PD＝2，∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為2，∵BF＝BC，∴點(diǎn)F到平面PCD的距離為2×＝．方法二：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則F，P，C，D，則，，，設(shè)平面PCD的法向量為，則有所以所以變式訓(xùn)練1．（2021?淮南二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝CD＝BC＝2．（1）求證：CD⊥平面PBD；（2）若直線PD與底面ABCD所成的角為60°，求點(diǎn)B到平面PCD的距離．【解析】（1）證明：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，，∴△ABD，△BCD都是等腰直角三角形，即CD⊥DB，又∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴直線PB⊥平面ABCD，由CD?平面ABCD，∴PB⊥CD，又PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD；（2）∵PB⊥平面ABCD，∴PD與地面ABCD所成角為∠PDB＝60°，∵＝2，∴DB＝，在Rt△PDB中，，，設(shè)點(diǎn)B到平面PCD距離為d，由VB﹣PDC＝VP﹣DBC，得，∴＝＝，∴點(diǎn)B到平面PCD距離為．方法二：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B，P，C，D，則，，則平面ABCD的法向量為，所以，解得，所以設(shè)平面PCD的法向量為，則有所以所以∴點(diǎn)B到平面PCD距離為．變式訓(xùn)練2．（2021?全國(guó)三模）四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝1，AD＝AP＝2，AD∥BC，AB⊥AD．（1）求證：CD⊥PC；（2）E為PB中點(diǎn)，求D到平面ACE的距離．【解析】證明（1）：過C作AB平行線交AD于F，可得AD⊥CF，∵AB＝BC＝1，AD∥BC，AB⊥AD．∴FC＝1，△DFC是直角三角形，∴DC＝由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AC，則△CDP，△APC是直角三角形，∵AD＝AP＝2，∴PD＝；PC＝，在△CDP中，由PC2+DC2+＝PD2；可知△CDP直角三角形；∴CD⊥PC．（2）：E為PB中點(diǎn)，設(shè)D到平面ACE的距離為h．由VD﹣ACE＝VE﹣ACD則；由（Ⅰ）可知，，；由余弦定理可得cos∠ACE＝，∴∠ACE＝45°；那么SACE＝×sin∠ACE＝；，可得，即h＝，∴D到平面ACE的距離為．變式訓(xùn)練3．（2021?資陽(yáng)模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝AA1＝AB＝2．（1）證明：AC1⊥平面A1BC；（2）求點(diǎn)A到平面A1BC1的距離．【解析】（1）證明：因?yàn)樵谌忮FABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC，因?yàn)椤螦CB＝90°，所以BC⊥AC，又AC∩AA1＝A，所以BC⊥平面ACC1A1，而AC1?平面ACC1A1，所以BC⊥AC1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝＝2，所以AC＝，從而AC＝AA1，所以四邊形ACC1A1為正方形，可得AC1⊥A1C，又A1C∩BC＝C，所以AC1⊥平面A1BC；（2）因?yàn)閂＝?BC＝，又BC，A，所以A，即BC1⊥A1C1，所以S，設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC1的距離為h，所以V，因?yàn)閂，所以，解得h＝，即點(diǎn)A到平面A1BC1的距離為．【鞏固練習(xí)】1．（2021?揭陽(yáng)模擬）某直四棱柱被平面AEFG所截幾何體如圖所示，底面ABCD為菱形．（1）若BG⊥GF，求證：BG⊥平面ACE；（2）若BE＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，直線AF與底面ABCD所成角為30°，求直線GF與平面ABF所成角的正弦值．【解析】（1）證明：連BD，由底面ABCD為菱形，得AC⊥BD，由直四棱柱得GD⊥底面ABCD，又AC?平面ABCD，∴GD⊥AC，又BD∩GD＝D，∴AC⊥平面BDG，∴AC⊥BG，①由直四棱柱底面ABCD為菱形，易知平面ABE∥平面CFGD，又平面AEFG∩平面ABE＝AE，平面AEFG∩平面CFGD＝GF，∴AE∥GF，又BG⊥GF，∴BG⊥AE，②由①②及AC∩AE＝A，得BG⊥平面ACE；（2）設(shè)AC∩BD＝O，由直四棱柱得FC⊥底面ABCD，得直線AF與底面ABCD所成角為∠FAC，即∠FAC＝30°，tan∠FAC＝，由菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠DAB＝60°，得BD＝2，AC＝，又，∴FC＝2，在平面ACF內(nèi)作Oz∥CF，可知Oz⊥底面ABCD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則，B（0，1，0），E（0，1，1），，，，，設(shè)平面ABF的法向量為，則，，取x＝1，得，，得，設(shè)直線GF與平面ABF所成的角為θ，則．2．（2021?南關(guān)區(qū)校級(jí)四模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD．（1）證明：AC⊥BD；（2）若直線AC與平面BCD所成的角為45°，AC＝1，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【解析】（1）證明：在△ACB與△ACD中，由BC＝CD，AC＝AC，∠ACB