2015年春高二（1）班三月份月考數學試題一、選擇題（每小題5分，共25分）1、已知函數的最小正周期為，則該函數的圖象是()A．關于直線對稱B．關于點對稱C．關于直線對稱D．關于點對稱2、設，則（）A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．b>c>a能夠把圓的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓的“親和函數”，下列函數不是圓的“親和函數”的是（）（A）（B）（C）（D）4、設,對于使成立的所有常數M中，我們把M的最小值1叫做的上確界.若，且，則的上確界為（）A．B．C．D．5、已知函數（其中），若，則在同一坐標系內的大致圖象是（）6、已知=，則++…+=（）A、B、C、D、7、若不等式組，表示的平面區域是一個三角形區域，則的取值范圍是（）A.B.C.D.或8、在中，若，求周長的取值范圍()A．B．C．D．9、已知雙曲線的中心為O，左焦點為F，P是雙曲線上的一點且，則該雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．10、是定義在上的函數,若存在區間，使函數在上的值域恰為，則稱函數是型函數．給出下列說法:①不可能是型函數；②若函數是型函數,則，；③設函數是型函數,則的最小值為；④若函數是型函數,則的最大值為．下列選項正確的是（）①③B．②③C．②④D．①④題號12345678910題號二、填空題（每小題5分，共25分）11、已知點是的重心，內角所對的邊長分別為，且,則角的大小是.12、如圖,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進100米到達B后,又測得C對于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對于地平面的坡角為θ,則cosθ=.13、設等差數列的最大值為。14、稱離心率為的雙曲線為黃金雙曲線．如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個說法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若F1，F2為左右焦點，A1，A2為左右頂點，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若MN經過右焦點F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．其中正確命題的序號為15、拋物線（）的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為。三、解答題（本大題共6小題，共75分，要求思路清晰，步驟嚴謹）16、（本題12分）在中，角所對的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．17、（本小題滿分12分）在數列中，已知.（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列是等差數列；（3）設數列滿足，且的前項和，若對恒成立，求實數取值范圍.18、（本小題滿分12分）如圖，垂直于梯形所在的平面，．為中點，，四邊形為矩形，線段交于點N．（1）求證：//平面；（2）求二面角的大小；（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，請求出的長;若不存在，請說明理由．19、（本小題滿分12分）某公司舉辦一次募捐愛心演出，有1000人參加，每人一張門票，每張100元。在演出過程中穿插抽獎活動，第一輪抽獎從這1000張票根中隨機抽取10張，其持有者獲得價值1000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動。第二輪抽獎由第一輪獲獎者獨立操作按鈕，電腦隨機產生兩個實數（），若滿足，電腦顯示“中獎”，則抽獎者再次獲得特等獎獎金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中特等獎獎金。（1）已知小明在第一輪抽獎中被抽中，求小明在第二輪抽獎中獲獎的概率；（2）設特等獎獎金為a元，求小李參加此次活動收益的期望，若該公司在此次活動中收益的期望值是至少獲利70000元，求a的最大值。20、（本小題滿分13分）橢圓C：的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上.不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構成等比數列，記△的面積為S.（1）求橢圓C的方程.（2）試判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？（3）求S的取值范圍.21、（本小題滿分14分）已知．（1）求函數的單調區間；（2）若關于的方程有實數解,求實數的取值范圍；（3）當時,求證：2015年春高二（1）班三月月考數學試題一、選擇題（每小題5分，共25分）1、已知函數的最小正周期為，則該函數的圖象是A．關于直線對稱B．關于點對稱C．關于直線對稱D．關于點對稱【答案】A試題分析：依題意得，故，所以，因此該函數的圖象關于直線對稱，不關于點和點對稱，也不關于直線對稱.2、設，則（）A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．b>c>a【答案】C試題分析：因為，，，故，選C．考點：本題考查指數函數和對數函數的圖像和性質點評：解決本題的關鍵是利用指數對數函數的單調性，找一個中間值0或1作比較3、能夠把圓的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓的“親和函數”，下列函數不是圓的“親和函數”的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C試題分析：由題意可知，若函數為“親和函數”其函數必過圓心（0，0），即原點，且是奇函數，對于A，f(0)=0，且f(x)為奇函數，故是“親和函數”；對于B，f(0)=ln1=0，且,所以函數f(x)為奇函數，故是“親和函數”；對于C，f(0)=1，不過圓心，故不是“親和函數”；對于D，f(0)=0，且是奇函數，故是“親和函數”；綜上選C考點：本題考查函數的奇偶性點評：解決本題的關鍵是對新問題的分析理解，掌握把圓的周長與面積平分，則必過圓心，4、設,對于使成立的所有常數M中，我們把M的最小值1叫做的上確界.若，且，則的上確界為（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：因為，所以，即的上確界為，故選D.考點：新定義問題、基本不等式.5、已知函數（其中），若，則在同一坐標系內的大致圖象是【答案】B．試題分析：∵，又f（4）g（－4）＜0，∴g（－4）＝，∴0＜a＜1，∴f（x）在R上單調遞減，過點（2，1），g（x）為偶函數，其圖象在（0，＋∞）上均單調遞減，故選B．6、已知=，則++…+=（）A、B、C、D、【答案】D【解析】試題分析：由題意，根據相同方法，每項都是，總共的項數為，則最終的值為，若不等式組，表示的平面區域是一個三角形區域，則的取值范圍是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】根據畫出平面區域（如圖1所示），由于直線斜率為，縱截距為，自直線經過原點起，向上平移，當時，表示的平面區域是一個三角形區域（如圖2所示）；當時，表示的平面區域是一個四邊形區域（如圖3所示），當時，表示的平面區域是一個三角形區域（如圖1所示），故選D.9、在中，若，求周長的取值范圍A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：因為，所以因為，所以,所以所以，，解得：，所以由正弦定理：所以的周長因為，所以所以,所以故選A.考點：三角函數的性等變換、正弦定理、三角函數的性質.9、已知雙曲線的中心為O，左焦點為F，P是雙曲線上的一點且，則該雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：根據題意，,即，所以：，在中，，所以點的坐標為：即代入雙曲線方程得：化簡為等式兩邊分別除以得：，根據求根公式得：或（舍去），所以.所以答案為D.考點：1.平面向量；2.雙曲線的離心率.10、是定義在上的函數,若存在區間，使函數在上的值域恰為，則稱函數是型函數．給出下列說法:①不可能是型函數；②若函數是型函數,則，；③設函數是型函數,則的最小值為；④若函數是型函數,則的最大值為．下列選項正確的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④【答案】C解析】由題意知，．對①若是型函數，因為在區間與上都是增函數所以方程有兩個不同的非零實根，即方程有兩個不同的非零實根，所以當，且時，即時，方程有兩個不同的正實數根，這時在上的值域恰為，所以函數是型函數，故=1\*GB3①錯誤．對②，若函數是型函數,則存在區間，使函數在上的值域恰為，函數的對稱軸是，下面分三種情況討論：（a）當時，函數在上的值域為，所以有，，以上兩式相減得到，因為，所以，即，所以，整理得，此方程無實數根；（b）當時，有，即，矛盾；（c）當時，有時，可得．綜上所述，②正確．對③，函數是型函數,利用導數知識可得在區間上是減函數，在區間上是增函數，若，且則函數在區間上的最大值為0，最小值為，要使，只要取，顯然這時，且函數在上的值域恰為，所以的最小值不是，因此③不正確．對④，若函數是型函數,則有兩個不同的非零解，即有兩個不同的非零解，．由得或，所以（當時取等號），所以的最大值為。故選C．【命題意圖】本題是新定義題型，意在考查轉化與化歸能力、運算求解能力．第II卷（非選擇題）二、填空題（每小題5分，共25分）11、已知點是的重心，內角所對的邊長分別為，且,則角的大小是.【答案】試題分析：∵點O是△ABC的重心，∴又∵，（k>0）從而，由余弦定理得：又∵C∈（0，π），∴C=∴角C的大小是；故答案為：考點：向量數乘的運算及其幾何意義．12、如圖,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進100米到達B后,又測得C對于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對于地平面的坡角為θ,則cosθ=.【答案】QUOTE錯誤！未找到引用源。-1【解析】在△ABC中,BC=QUOTE錯誤！未找到引用源。=QUOTE錯誤！未找到引用源。=50(QUOTE錯誤！未找到引用源。-QUOTE錯誤！未找到引用源。).在△BCD中,sin∠BDC=QUOTE錯誤！未找到引用源。=QUOTE錯誤！未找到引用源。=QUOTE錯誤！未找到引用源。-1.又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=QUOTE錯誤！未找到引用源。-1.13、設等差數列的最大值為。【答案】6問題即為在上求目標函數的最大值，畫出可行域知過點P（1，1）時考點：拋物線的簡單性質.15、稱離心率為的雙曲線為黃金雙曲線．如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個說法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若F1，F2為左右焦點，A1，A2為左右頂點，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若MN經過右焦點F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．其中正確命題的序號為【答案】①②③④試題分析：對于①，雙曲線的標準方程為，則，∴，滿足對于②，，所以或（舍去）故滿足對于③∵，∴，由②可得，滿足對于④，由雙曲線的對稱性，可得，∴，由②可得，滿足，綜上，正確的有①②③④考點：本題考查雙曲線的幾何性質15．拋物線（）的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A.B.1C.D.2【答案】A.試題分析：設，連接AF、BF，由拋物線的定義知，，在梯形ABPQ中，；應用余弦定理得，配方得，又因為，所以，得到.所以，即的最大值為，故選A.三、解答題（本大題共6小題，共75分，要求思路清晰，步驟嚴謹）16、（本小題滿分12分）在中，角所對的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）試題分析：（1）由已知得化簡得5分故．6分（2）因為，所以，７分由正弦定理，得a=2sinA,c=2sinC，故９分因為，所以，10分所以．12分考點：本題考查二倍角公式，正弦定理，兩角和與差的三角函數，正弦函數的圖象和性質點評：解決本題的關鍵是熟練掌握二倍角公式，兩角和與差的三角函數，以及正弦定理，第二問關鍵是整理成的形式17、（本小題滿分12分）在數列中，已知.（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列是等差數列；（3）設數列滿足，且的前項和，若對恒成立，求實數取值范圍.【答案】（1）;（2）詳見解析;（3）.【解析】分析：（1）由于,可得數列是首項為，公比為的等比數列，即可求出數列的通項公式.（2）由（1）可得.即可證明數列是首項，公差的等差數列.（3）由（1）知，,當n為偶數時，即對n取任意正偶數都成立，所以，當n為奇數時，對時恒成立，綜上，即可求出結果.試題解析：解：（1）,∴數列是首項為，公比為的等比數列，∴.3分（2）∴.∴，公差∴數列是首項，公差的等差數列.7分（未證明扣1分）（3）由（1）知，,當n為偶數時，即對n取任意正偶數都成立所以11分當n為奇數時，對時恒成立，綜上，.15分.考點：1.等差、等比通項公式；2.數列求和；3.不等式恒成立問題.18、（本小題滿分12分）如圖，垂直于梯形所在的平面，．為中點，，四邊形為矩形，線段交于點N．（1）求證：//平面；（2）求二面角的大小；（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，請求出的長;若不存在，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）（3）在線段上存在一點，且【解析】試題分析：（1）連接在中，由題設知分別為中點，所以由此可證//平面；（2）如圖以為原點，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系利用空間向量的數量積求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐標，由法向量的夾角公式求出求二面角的大小；（3）首先假設存在點Q滿足條件．由設，再利用向量的夾角公式確定的值．試題解析：解：（Ⅰ)連接在中，分別為中點，所以因為所以4分（2）如圖以為原點，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系5分則設平面的法向量為則即解得令，得所以7分因為平所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的大小為9分（3）設存在點Q滿足條件．由設，整理得，11分因為直線與平面所成角的大小為，所以，13分則知，即點與E點重合．故在線段上存在一點，且14分19、（本小題滿分12分）某公司舉辦一次募捐愛心演出，有1000人參加，每人一張門票，每張100元。在演出過程中穿插抽獎活動，第一輪抽獎從這1000張票根中隨機抽取10張，其持有者獲得價值1000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動。第二輪抽獎由第一輪獲獎者獨立操作按鈕，電腦隨機產生兩個實數（），若滿足，電腦顯示“中獎”，則抽獎者再次獲得特等獎獎金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中特等獎獎金。（Ⅰ）已知小明在第一輪抽獎中被抽中，求小明在第二輪抽獎中獲獎的概率；（Ⅱ）設特等獎獎金為a元，求小李參加此次活動收益的期望，若該公司在此次活動中收益的期望值是至少獲利70000元，求a的最大值。【答案】（1）;（2）元.【解析】試題解析：（Ⅰ）設“小明在第二輪抽獎中獲獎”為事件A，所有基本事件構成區域的面積為16，事件A所包含的基本事件的區域的面積為5，∴P（A）=．5分（Ⅱ）特等獎獎金為a元，設小李參加此次活動的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a+900．P（ξ=-100）=，P（ξ=900）=，P（ξ=a+900）=．∴ξ的分布列為ξ-100900a+900P∴．10分∴該集團公司收益的期望為，由題意，解得a≤6400．故特等獎獎金最高可設置成6400元．12分20、（本小題滿分13分）橢圓C：的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上.不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構成等比數列，記△的面積為S.（1）求橢圓C的方程.（2）試判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？（3）求S的取值范圍.【答案】（