專題42導數(shù)中的極值點偏移問題【高考真題】1．(2022·全國甲理)已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【知識總結】一、極值點偏移的含義函數(shù)f(x)滿足內(nèi)任意自變量x都有f(x)＝f(2m－x)，則函數(shù)f(x)關于直線x＝m對稱．可以理解為函數(shù)f(x)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數(shù)，則x＝m必為f(x)的極值點x0，如圖(1)所示，函數(shù)f(x)圖象的頂點的橫坐標就是極值點x0，若f(x)＝c的兩根的中點則剛好滿足eq\f(x1＋x2,2)＝x0，則極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移．圖(1)圖(2)圖(3)若eq\f(x1＋x2,2)≠x0，則極值點偏移．若單峰函數(shù)f(x)的極值點為x0，且函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)x＝m左側(cè)的任意自變量x都有f(x)>f(2m－x)或f(x)<f(2m－x)，則函數(shù)f(x)極值點x0左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)x1，x2，滿足f(x1)＝f(x2)，則eq\f(x1＋x2,2)與極值點x0必有確定的大小關系：若x0<eq\f(x1＋x2,2)，則稱為極值點左偏；若x0>eq\f(x1＋x2,2)，則稱為極值點右偏．【方法總結】1．對稱化構造法主要用來解決與兩個極值點之和，積相關的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為x0)，即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點x0．(2)構造函數(shù)，即對結論x1＋x2>2x0型，構造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；對結論x1x2>xeq\o\al(2,0)型，構造函數(shù)F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(3)判斷單調(diào)性，即利用導數(shù)討論F(x)的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出f(x)與f(2x0－x)的大小關系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將f(x)與f(2x0－x)的大小關系轉(zhuǎn)化為x與2x0－x之間的關系，進而得到所證或所求．若要證明f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))的符號問題，還需進一步討論eq\f(x1＋x2,2)與x0的大小，得出eq\f(x1＋x2,2)所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導數(shù)值的正負．2．比(差)值代換法比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點之比(差)作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設法用比值或差值(一般用t表示)表示兩個極值點，即t＝eq\f(x1,x2)，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關于t的函數(shù)問題求解．3．對數(shù)均值不等式法兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術平均、幾何平均的大小關系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．只證：當時，．不失一般性，可設．證明如下：(1)先證：①不等式①構造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立；(2)再證：②不等式②構造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式②成立；綜合(1)(2)知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當且僅當時，等號成立．【題型突破】1．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a為常數(shù))，曲線y＝f(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為－1．(1)求a的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若x1＜ln2，x2＞ln2，且f(x1)＝f(x2)，試證明：x1＋x2＜2ln2．2．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2，其中a∈R．(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)有極大值為－eq\f(1,2)，且方程f(x)＝m的兩個根為x1，x2，且x1<x2，求證：x1＋x2>4a．3．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(t,x)－s(s，t∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性及最值；(2)當t＝2時，若函數(shù)f(x)恰有兩個零點x1，x2(0<x1<x2)，求證：x1＋x2>4．4．已知f(x)＝eq\f(1,2)x2－a2lnx，a>0．(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；(2)若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，證明：x1＋x2>2a．5．已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋(2a－1)x(a∈R)有兩個不同的零點．(1)求a的取值范圍；(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1＋x2>2a．6．已知函數(shù)f(x)＝x－aex＋b(a>0，b∈R)．(1)求f(x)的最大值；(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1＋x2<－2lna．7．設函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間是的導數(shù)）；(2)若有兩個極值點、，證明：．8．(2021·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x(1－lnx)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna－alnb＝a－b，證明：2＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜e．9．已知函數(shù)f(x)＝xlnx的圖象與直線y＝m交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)．求證：x1x2<eq\f(1,e2)．10．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，．①求的取值范圍；②證明：．11．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．(1)求的取值范圍．(2)設的兩個極值點為，，證明．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x＋a)(a∈R)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋y＋1＝0垂直．(1)試比較20182019與20192018的大小，并說明理由；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－k有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1x2＞e2．13．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(b,x)－a(a∈R，b∈R)有最小值M，且M≥0．(1)求ea－1－b＋1的最大值；(2)當ea－1－b＋1取得最大值時，設F(b)＝eq\f(a－1,b)－m(m∈R)，F(xiàn)(x)有兩個零點為x1，x2(x1＜x2)，證明：．14．已知函數(shù)f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．(1)當x>1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對任意x∈[e，e2]，都有f(x)<4lnx成立，求k的取值范圍；(3)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，證明x1x2<e2k．15．設函數(shù)f(x)＝x2－(a－2)x－alnx．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程f(x)＝c有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，求證：．16．(2011遼寧)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設a＞0，證明：當0＜x＜eq\f(1,a)時，f(eq\f(1,a)＋x)＞f(eq\f(1,a)－x)；(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f(x0)＜0．17．設函數(shù)f(x)＝ex－ax＋a，其圖象與軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，且x1＜x2．(1)求a的取值范圍；(2)證明：f(eq\r(x1x2))＜0(f(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù))．18．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：f′(x1·x2)<1－a．19．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx(a∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若f(x)有兩個不相同的零點x1，x2．①求實數(shù)a的取值范