第1.1 行列式的概念與性考點1——行列式的相關行列式的行列式的定義有很多種，其中較為直接的(構造性的) A 矩陣(方陣A)的行列式常記為detA(determinants)或簡記為A評評注：矩陣與行列式的本質區別在于：行列式是數；矩陣只是數表1式行列式對行列式Aij而言，若Aij劃去第i行、j列后剩下的稱為Aij 式，記為Mij。

,

,

ai1, ai1,

ai1, ai1,

,

,

2行列式的代 式的基礎上，定義(1)ij即

ij為代 式，記為。 A(1)ij 3考點2——行列式的①行列式A行與列(按原順序)互換，其值不也可簡記

4②(線性性質)——主要有以下兩Ⅰ——將常數k乘以行列式A一行(列)，等于該數k乘以行A的值。

kai2

k

ai 5易混知識點：

kn

A，

kai

ai

kn

ai 6

Ⅱ ai1

ai2bi

ain aibi7

③行列

A中兩行(列)對應元素全相等，其值為零。即當aima(ijm12,n)時 ai A a aj 8

a

Aaimajmijm12,n。k是常數)，其值為零。 aiA a aj

a9④在行

A中，把某行各元素分別乘以非零常數k，再加到另一簡稱為：對行列式作倍加行變換，

ai a aj a

ai kai1a kai2aj2 kaina 稱性)——行列

A的兩行(列)對換，行列

A的值反號。 ai

ai1a ai2aj

aina

ai1a ai2aj

ajnaj1 aj

ajn

aj1 aj

a

ai2

aj1aj ajnaj1aj ajn ai2 ai ⑥( 斯展開)——將行列式按行(列)展開公Ⅰ（按行展開公式行列式對任一行按下式其值相等即nAai1Ai1ai2Ai2ainAinaijn(i1,2,, A1)ij

A中去掉第i行第j列全部元素原順序排成的(n1)階行列式，它成為aij的的代數 式。

式，進而Aij稱為Ⅱ（按列展開公式行列式對任一列按下式其值相等即nAa1j

a2jA2janjAnjaij(j1,2,,Ⅲ——行列式某一行(列)的元素乘以另一行對應元素的代數式之和等于零。即naik ai1Aj1ai2Aj2ainAjnnkn或nakiAkja1iA1ja2iA2jk1

aniAnj1： A

則第4行元素 式之和的值⑦若A,B均為n階方陣，則ABA⑧若A為n階方陣，且kR，則kAkn⑨若A為n階方陣，且A*為A的伴隨矩陣，則 A⑩若A為可逆(非奇異)

A1：設AB為n階矩陣，

2,

3，則

2A*B1 第1.2 ?？紨底中?含參型)行列式的計算方考點1——計算上(下)三角型的行列①

a11

1A ②

a1n10004000004004304324321考點2——計算非零元素在三條線上的行列式╲╱╱ 、╲╲╱╱常將其化為三角行列式1

A

第2.1 矩陣的概念與性考點1——矩陣的概將mn個實數aij排成m行n并括以圓括弧(或方括弧)的數 a1n 22 m mn稱為mn矩陣，通常用大寫字母記作A或Amn有時也記A(aij其中aij稱為矩陣A的第i行j列元素①當①當mn個元素全為零時的矩陣稱為零矩陣，記作0②當mn時，稱A為n階矩陣(或n階方陣)考點2——?？嫉木仃嚨念愋图捌湫再|⒈定若主對角元全為1，其余元素全為0的n階矩陣，稱為n階單位矩陣，記作E或I，即 00 0 1 ⒉性①AEEA②E數量⒈定若主對角元全為非零數k其余元素全為零的n階矩陣，稱為n階數量矩陣，記作kE，即 00 0kE k ①kEkE(kk)E②(kE)(lE)(kl)E③(kE)1k1E(k評評注①數量矩陣kE乘以矩陣A等于數k乘矩陣A，且n階數量矩陣kE與任意的n階矩陣A可交換。②與任意n階矩陣可交換的矩陣必是n階數量矩陣對角⒈定nn作，即

aan或記作diag(a1,a2,,an)⒉性①對角陣左乘A等于ai乘A中的第i行的每個元素，

b1n

2n a

n

nn

a1b1na a a

2n a

a a

nn②對角陣右乘A等于ai乘A中的第i列的每個元

b1n

2n a

nn

na2b1na a a

2n a

a a nn③1221，即

a a a a n

b bn

aa n④若對角陣可逆，

a

a1 n a

a1 aa

a a ⑤若對角陣可逆，則1E，

a1 a

a1 n a

a

aa1 ⑥關于1 1a an a a n1 1a a an n三角⒈定n階矩陣Aaij當ij時，aij0(j1,2,n1)的矩陣稱為上三角矩陣即

a1n A

2n nn注注：當ij時，aij0j1,2,n1)的矩陣稱為下三角矩陣⒉性①Aa11a22ann對稱⒈定設

a1nA

2n nn是一個n階矩陣，如果aijaji，則稱A為對稱矩陣⒉性①A是對稱矩陣的充分必要條件是 ②若A,B為對稱矩陣，則ABAB仍然為對稱矩陣⒈定設

a1nA

2n a a

nn是一個n階矩陣，如果aijaji，則稱A 稱矩陣。 a1n A

2n ⒉性①A是對稱矩陣的充分必要條件是 ②對 稱矩陣A，由于aiiaii，所以其主對角元aii全為零伴隨⒈定設n階矩陣A(aij)nn，Aij是行列式A中元素aij的代 式我們稱cofA(Aij)nn為A的代數

An1 A*(cofA)T

n2 nn⒉性①AA*A*AAA*A②A1A③A*

A④(A*)*

An2⑤(AB)*B*⑥(A*)1(A1)*An r(A) ⑦r(A)1 r(A)n r(A)n正交⒈定若矩陣A滿AATATA或A1則稱A為正交矩陣⒉性①A②A1③若A是正交矩A1，積也是正交

也是正交矩陣；同階正交矩陣秩為1的矩⒈定若矩陣A滿則稱A為秩為1的矩

A⒉性①r(A)②A第2.2 矩陣的運考點1——矩陣相若Aaij)mnBbij)mn，且aijbij(1im,1j則即

A a1n

b1n 2n

2n nn

nn考點2——矩陣加(減)定設A(aij)mnB(bij)mn，則AB(aijbij

a1n

b1n 2n

2n nn nna11

a12

a1nb1n

2n

nn加法的運算①交換②結合

ABB(AB)CA(BC③零矩陣滿足A0A，其中0是與A同型的零矩④存在矩陣(A)AA0，此時，如Aaij)mn，則(A)(aij)mn(即A中每個元素都乘1)，并稱(A)為A的負矩陣。進而我們定義矩陣的減ABA(B)考點3——矩陣的定設kRA(aij)mn，規

ka1n kA(ka)

2n

nn并稱這個矩陣為k與A的數量乘積性設k,l是常數，矩陣的數量乘法滿足以下運算①(kl)Ak(lA)②(kl)AkA③k(AB)kA考點4——矩陣的定義：設A是一個mn矩陣B是一個ns矩陣，

a1n

b1s A

2n，B

2s m

mn

ns則A與B之乘積AB(記作C(cij))是一個ms矩陣，n ai1b1jai2b2j aikbkjnk即矩陣CAB的第ij列元素cijA的第i行n個元素與B的第j列相應的n個元素分別相乘的乘積之和。評評注：兩個矩陣A與B的乘積AB有意義(或說可乘)，要求A的列等于B的行數，否則A與B不可矩陣乘法滿足的運①結合(AB)CA(BC②數乘結合

k(AB)(kA)B③分配

A(BC)AB(BC)ABA考點5——矩陣的轉置把一個mn

a1n A

2n m mn的行列式得到的一個nm矩陣，稱之為A的轉置矩陣，記作AT

a1n

am1

A

2n

m2

m

mn

mn(2).性①(AT)T②(AB)TAT③(kA)T④(AB)TBT考點6——矩陣取行列式若A,B均為n階矩陣，則ABAkAkn考點7——方陣高次冪An的計算方若AT，其中都是n1矩陣(即列向量)，則rA)1利用矩陣乘法結合律簡化A的n次冪計算定理rA)1A2kAAnkn1Ankaii，n(T)(T)(TTTT(T)(T)(T)k(T)k1(T)k1nnn

kaa

n

kaa

(T

a)k1例：若A44

6 3，則An 12利用二項式展開定理展開定理：若矩陣A可分解為AaEB，由二項式展開定理得An(aEC0(aE)nB0C1(aE)n1B1C2(aE)n2 nCn(aE)0nanEnan1Bn(n1)an2B22若矩陣A分解

ABGB,G較簡單又滿足BG也可以利用二項展開定理計A(BC0BnG0C1Bn1G1C2Bn2G2 Cn2B2Gn2Cn1B1Gn1CnB0 若矩陣比較簡單且滿足Bk0則可以用以上二項式展開定理展開求得An。 3例1：若A 4，求010 010 解析因

3A 4 1 0 3 0 4 1 0 E所An(E C0EnB0C1En1B1C2En2B2Cn 又

3

3 8B2

4

4

0

0

0 0進

8

3 0B3

0

4

0

0

0 0于An(E C0EnB0C1En1B1C2En2B2Cn C0EnB0C1En1B1C2En 0 3 8

0n

4n(n1) 0 1 0

0 4n2n

第2.3 矩陣的考點1——矩陣秩的概念①子式的矩陣 (aij)mn的任意k行和k列的交點上的序排列的k階行列

2個元素按原順i ii i ii1 1 1i iii ii2 2 2 k k k稱為A的k階子行列式，簡稱A的k階子式①當上述k階子行列式等于零時，稱為k階零子式②當上述k階子行列式不等于零時，稱為k階非零子式評評注如果矩陣A存在r階非零子而所有的r1子式(如果有r1階子式)都等于零，則矩陣A的非零子式的最高階數為r，因為由所有r1子式都等于零可推出所有更高階的子式都等于零。②矩陣秩的定⒈用子式來定義矩陣秩的矩陣A中非零子式的最高階數r稱為矩陣A的秩r(A)rr(A)n的n階矩陣稱為滿秩矩rAr(列r(行注注：特別注意以下兩點A中有r階子式不為A中有r1階子式全為零⒉行列式與矩陣秩的如果rA)r，則A中r階子式全如果rAr，則A中有r階子式不為零如果A0，則rA1如果A是n階矩陣，則①r(A)A②r(A)AAA考點2——矩陣秩的①0r(A)minm,②r(AT)r(③r(kA)r( (k例1：已知r(EA)t，則r(AE) ④若AB，則rAr(B)⑤若P,Q可逆，則r(PAQ)r(⑥maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)⑦r(AB)minr(A),rA可逆，rABr(B)，r(BAr(B)B可逆，rABrA)，r(BAr⑧若AB0，則rAr(B)n,r(A) ⑨r(A)1,r(A)n,r(A)n第2.4 矩陣的初等變換與初等矩考點1——矩陣的初等初等變3種形①倍乘變第i行(列)乘以k(k②倍加第i行(列)的k倍加到行(列③對換第i行(列)與第j行(列)

初等行、列變換統稱初等變考點2——初等矩陣單位矩陣E經過一次初等變換所得到的的矩陣叫做初等矩陣用初等矩陣表示初等變對應于3類初等行、列變換，有3種類型的初等矩①初等倍乘矩 E(k) i 1 Ei(k)是由單位矩陣E第i行(或列)乘k(k0)而得到的②初等倍加矩

iE(k)

j 1 ki列 Eij(k)是由單位矩陣E第i行乘kj行而得到的；或者是由單位矩陣E第j列乘k加到第i列而得到的。③初等對換矩

i

j11i 用初等矩陣表示相應的初等變換的變變定理——左乘 、右乘變變設A為mn①對矩陣A施行一次初等行變換相當于在矩陣A的左邊乘以一個相應的m階初等矩陣；A施行一次初等列A的m階初等矩陣；評注：請大家熟記下面的一般結Ei(k)A——表示A的第i行乘kEij(k)A——表示A的第i行乘k加到第j行EijA——表示A第i行與第j行對換位置BEi(k)——表示B的第i列乘kBEij(k)——表示B的第j列乘k加到第iBEij——表示B的第i列乘k加到第j初等矩陣的3個求逆初等矩陣的行列式都不等于零，因此初等矩陣1對初等矩陣再做一次同類初等變換就化為單位矩陣，1Ei(k)Ei(k)

可逆矩陣Eij(k)Ei(k)EEijEijE所以，初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩 (kEik)， kk

1 1 1 E1(kE(k)，例如 1

1 E1E，例 1

1 3：設A是n階可逆矩陣，交換A的1,2兩行得矩陣B，則交換A*的1,2兩列得交換A*的1,2兩行得交換A*的1,2兩列得B*交換A*的1,2兩行得B*解析因

0 0A 1 則 0A1 0 1 0B1A1 0 1 0又對 0AB兩邊取行列式，得BA 1 則 0BB1AA1 00 10即 0B*A* 0 1 交換A*的1,2兩列，得B*選考點3——矩陣等價(1).初等矩陣求逆①定理可逆矩陣A可以經過若干個初等矩陣P1,P2,Ps的乘積得到位矩陣E，PsP2P1A②定理：如果對可逆矩陣A和同階單位矩陣E作同樣的初等行變換，那么當A變為單位矩陣時E就變為A1，即行AE(E,A1)——重點把握 3例1：求A 4的逆矩314 314 因此，同樣也可以用初等列變換求逆矩陣 1A 1E列 矩陣若A經過初等變換得到矩陣B，稱A與B等價，PsP2P1AQ1Q2Qt簡化

PAQ特別的，兩個矩陣等價的充分必要條件r(A)r(B)第2.5 矩陣的可逆考點1——可逆矩陣的概念若矩陣BABBA則稱矩陣A可逆(又稱為非奇異)，且稱矩陣B為A的逆矩陣，記作A1。可逆矩陣的①(A1)1②(AB)1B1③ A k⑤(AT)1(A1矩陣可逆的充要A滿秩(非奇異)A②A的n個行(或列)向量線性③A可經過行、列初等變換化為單位④A可表示為一些初等矩陣的考點2——可逆矩陣的計算定義法(重點)AB行變換法(重點)：A|E(E|A1伴隨矩陣A1

——最適用于2階A分塊矩陣求逆的2個特殊 0

0 B

B1 A1

B1 0 0

b 例：設A

，則 解析因則

A* b bA1 ad

a例：設A為n階可逆矩陣，A32E，BA22AE，則B1 解析則

BA22AE(AE)2A32EA3EA3E(AE)(A2AE)(AE)11(A2AE3(AB)1B1(A2)1(A1 于 9 (A2AE9 0 0例：設A ，B(EA)1(E 0 7 則(EB)1 解析EBE(EA)1(E(EA)1(EA)(EA)1(E(EA)1(EA)(E2(E所(EB)12(EA)11(E2 4 4第2.6 伴隨矩考點1——伴隨矩陣的概念設n階矩陣A(aij)nn，Aij是行列式A中元素aij的代 式我們cofA(Aij)nn為A的代數 式矩陣cofA的轉置為A的伴隨

An1 A*(cofA)T

n2 ⒉性①AA*A*AA

nnA*A②A1A③A*

A④(A*)*

An2⑤(AB)*B*⑥(A*)1(A1)*An r(A) ⑦r(A)1 r(A)n r(A)n考點2——伴隨矩陣A*用定義求A*，需注意兩點①算Aij時，不要丟掉正負號②不要排錯Aij的位置間接法A*

A前提:是矩陣A可逆，且A1易求，一般適用于二階矩陣重要

AA*A*AA①對AA*A*A

AE進行變形，兩邊取行列式，A*

A

0在，

⒈ A A1 A A*A*

AE (A*)1A ⒊ AAA*

AE恒成立因此，

A1(A1)*

(A1)*A(A*)1(A1)*A例：若A是n階可逆矩陣，則(A*)* 解析所

AA*A*AAA*(A*)*(A*)*A*A*且A是n階可逆矩陣，即r(A)n，則r(A*)即A*可逆。

(A*)*A*(A*)1A

AAn2A例：若A，B均為n階可逆矩陣，則(AB)* 解析因所

AA*A*AA(AB)(AB)*(AB)*(AB)AB因為A，B均為n階可逆矩陣，則A0，B所也即AB可逆，于

AB(AB)*

AB(AB)1

ABB1A1B*例4：設A為n階矩

n,r(A)r(A*)

1,r(

n,r(A)n解析因為rA)n，則

A An1r(A*)因為rAn

A的n1階子式全AijA*r(A*)因為rA)n1，A且A中有n1階子式不為零，即存在Aij0A*r(A*) 因AA*AEr(A)r(A*)又r(A)n由①、②

r(A*) r(A*) 0 0例5：設A ，則r(A*)* 1 0 解析兩次

n,r(A)r(A*)

1,r(

n,r(A)n因①n4，rAn1413r(A*)②n4，rA*)1n1，r(A*)*第2.7 矩陣方概述——矩陣方求解矩陣方程是一種常見的考題，幾乎年年都考，大家一定視其解法大致分為兩步進行：先化簡方程再求解。因為已知如果矩陣方程中含有多個未知矩陣，所求切忌一起步就代入已知數據，那樣做往往使運算復雜化，費錯例1：已知A,B,C均為n階矩陣，BEAB,CACA，則BC 解析由BEAB，得

(EA)B由CACA，得

B(ECA(EBC(EA)1A(E(EA)1(E第3.1 向量的基本概念與相關性考點1——向量的概定n個數a1,a2,,an構成的有序數組，稱為n維向量。其①n維列向量a1a 2

ba a n

②n維行向

Ta1Ta 2

或 aa a n

向量

(即aibi)a1 b1a b 22 n n零向

ai考點2——向量的2種基本運①加法運a1 b1 a1b1a b ab

22 2 a a②數乘

n n nka1kak 2 3考點3——向量的內積a1a

b1b 2 2a a n則

b bnb1b(,)

a2 T

b bna1a

b

2

a a n特別地

(,)T

a1a

a 2 a2a2

a a na2aa2a2a212n將向量單位化后，a2a2a2a212n考點4——若(0，則稱與正交。考點5——正交矩陣的幾何意義與向量之間的關系若AATATAE，稱A為正交矩陣。A是正交矩 A1A是正交矩

A2a1

b1

c1ba，b，cb 2

2

2ac ac 3

3

3由正交矩陣的 a3 c1 ATA

b

c

2

c 3 3 得 a2a2 a1b1a2b2 acacac

b2b2

3

b2a2

cacac

cbcbc

c2c2

1 即(,)(,)(,)(,)于是，可得以下關于正交矩陣的重要①各列向量的長度為②任意兩個列向量的內積為③正交矩陣可逆A1AB均為n階正交矩陣A

B0

A

0第3.2 線性相關考點1——線性相關對s個n維向量1,2,,s，若存在不全為零的k1,k2,ks使k11k22 則稱1,2,,s線性相關由定義出發所推導出的重要1,2,,s線性k11k22 0，ki不全為零k1k

2

k k sx1x

20有非零

x x sr s 性相關、無關的證明題中，秩是一個很重要的工具特別地(1).n個n維向量線性 (2).n1個n維向量線性必相即向量個數向量維數。不用算，可以立即得abcd例：判斷向量組b,c,d,e的相關性 向量的幾何①相 ②1,2相 1,2共即如果1,2兩個向量坐標成比例，則1,2相關；如果1,2兩個向量坐標不成比例，則1,2無關。③1,2,3相關 1,2,3共面x1 3x20有非零x x 2r 31 3 0 2 1例1：如果1 ,2 ,3 線性相關，則t 5 3 t 考點2——線性定對s個n維向量1,2,,s，如k11k22 必k10,k20,,ks則稱1,2,,s線性無關由定義出發所推導出的重要①1,2,,s1,s線性無1,2,,s1線性無即整體無關，部分也無關②1,2,,s線性無 1 1 2 s即低維無關 也無關13

1 32 4例1：若向量組2,4線性無關，則試判斷a， 的相關性

c 例2：下列向量組1,2,,s中，線性無關

, , 0 0 abcd②.b,c,d,e ace ③.b,d,f 關于1,2,,s線性無關的證明方①定設k11k22 0，即k10,k20,,ks例1：設A是n階矩陣，1,2,3是n維列向量A110A212A32證明：1,2,3線性無關②用若1,2,,s線性無關

x1x

20只有零 即

x x sr s1：設1,2,3線性無關，證3122,23,4351線性例2：假設1,2,3是線性無關的，則下列也是線性無A.12 23 3B.12 23 122C.122 2233 33D.123 2132223 3152第3.3 線性表考點1——線性表出的概念設1,2,,s是n維列向量，k1k2,ks為實k11k22是1,2,,s的線性組合線性若向量可以表k11k22 其中，k1k2,ks是實數，則稱可由1,2,,s線性表出，或稱是由1,2,,s的線性組合。向量可由1,2,,s線性表出實數k1k2,ks，使k11k22 實數k1k2,ks，使k1k

2

k k s方程

x1x

2有

x x sr sr 考點2——關于線性表出的關于向量可由1,2,,s線性表出的1：已1

11

2，a2，

b2

3320 3a32

a2b

3 問何時不能由1,2,3