金融證券市場中最優投資組合與模型選擇問題探討投資組合理論是證券投資學中最主要、最復雜和最有應用價值的部分。它研究而且回答在面臨各種互相關聯、確定的十分是不確定結果的條件下，理性投資者應該如何做出最佳投資選擇，把一定數量的資金按適宜的比例，分散投放在多種不同資產上，以實現投資者效用極大化的目的。隨著概率論和隨機經過等近代數學理論的發展和應用，利用隨機分析投資與消費問題已成為金融學中定量研究的熱門領域之一。投資組合理論[1]的產生使得數理金融學作為金融學的一個獨立的分支迅速發展起來。但圍繞投資組合理論，過去的一系列研究存在很多不足，如：均值—方差投資組合理論單純地考慮一個確定的投資時域，而且考慮的市場環境比較簡單；投資消費理論考慮的是一類單一的消費品，投資對象僅限于無風險證券和風險證券。而當前市場上消費品與投資對象日益豐富，原來的投資理論的一些結論不能知足實際的需求。因而，怎樣建立更為完善的投資組合模型，一些算法不能夠很簡便地使計算機進行計算和模仿，且導致結果不夠精確，尋找簡便且精確的算法，需要不斷地去研究。本項目基于模型選擇，根據投資組合理論與投資消費理論，在均值—方差模型的框架下，首先研究確定時域的M-V最優投資組合選擇，然后研究隨機時域的M-V最優投資組合選擇[2]次拓展研究特殊消費的最優投資消費及含期權的最優投資消費模型，最后應用于分析實際數據并尋求最優的證券組合。一、重要模型〔一〕單階段M-V投資組合模型在金融市場，風險投資有兩個決策目的，一個是收益率高低，另一個是風險大小，二者互相矛盾和制約。在理論上，最大風險最小的投資方案是不存在的，只能在收益和風險之間做出理性的權衡然后構造最優組合模型，確定最優投資比例，如理性投資者希望在風險最小的前提下實現較為滿意的收益水平。此時建立馬科維茨〔Markowitz〕模型，根據馬科維茨〔Markowitz〕的假設，多數投資者均為風險厭惡者，在風險投資決策中，首先考慮最小風險這一目的，其次考慮收益水平。由此，以組合投資的方差最小為決策目的，構造最小風險組合投資模型[3]。minσ2〔r〕=WT∑=1這是一個二次規劃間題，構造Lagrange函數L〔W〕=WT∑W+λ〔ETW-1〕，令=0，=0，有：2∑W+λE=0ETW-1=0經過簡單運算，解得λ=，最優投資比例系數向量為W=，組合投資風險值為：σ2〔r〕=能夠證明，最小風險組合投資的風險值知足條件σ2〔r〕≤σn，i=1，2，…，m。這表示清楚，組合投資風險小于單項投資風險，通過適當的組合，到達了投資風險之間的互相吸收。而且，組合投資的收益率知足條件μ〔rt〕≤μ〔r〕≤μ〔rt〕，最小風險組合投資模型在最小風險條件下實現了比較滿意的收益水平。〔二〕多階段M-V投資組合模型多階段模型是單階段模型的推廣，可以以說是由每個階段的投資組合構成的投資組合組。設第n個資產在這里階段的隨即收益率為ω，即是投資者在這里階段的第一個資產到第n個資產的投資比例，也即是投資者在這里階段投資結束時的財富量，則多階段的模型如下：minVar〔Wt〕s.t.E〔WT〕μtWT=Wt-1[∑ni=1xitrit+〔1-∑ni=1xit〕r0t]t=1，2，…，T其中，μ為給定的期終期望收益。〔三〕鞅表示定理一個平方可積鞅隨機微分方程為：dX〔t〕=B〔t，X〔t〕〕dt+σ〔t，X〔t〕〕dVX〔0〕=τ其中，V為標準Brown運動。二、最優投資組合理論〔一〕最優投資組合的含義最優投資組合，是指某投資者在能夠得到的各種可能的投資組合中，唯一可獲得最大效用期望值的投資組合，有效集的上凸性和無差別曲線的下凸性決定了最優投資組合的唯一性。〔二〕確定時域的M-V最優投資組合選擇股票價格服從跳躍擴散經過的均值—方差模型，股票價格在一個時域內很有可能會發生很多突發狀態，因而在許多情況下人們用跳躍擴散經過來描繪敘述。因而，建立一個關于擴散經過的最優模型：dpi=pi〔t〕[bi〔t〕dt+∑ij=1ωij〔t〕dwj〔t〕+∑mk=1pi〔0〕=pi在實際生活中，對于消費者來說，一般情況下他們的固定消費基本上是不變的，這與他們的收入有很大的關系。由此確定的函數關系數我們稱之為固定消費形式，假定市場是一個隨時間連續變化的體系，一般用1個完備的概率濾波空間〔Ω，？祝，{？祝t}t≥0，P〕來描繪敘述，在這個空間上有1個n-1維的Brown運動w〔t〕=〔W1〔t〕，W2〔t〕…Wn〔t〕〕T，{？祝t}t≥0是W〔t〕的天然濾波，設市場上可提供的資產為n+1個，其中1個為無風險資產，價格P0〔t〕知足方程P0〔t〕=P0〔t〕r〔t〕dt，r〔t〕為無風險利率，其余n個為風險資產，第i個資產的價格Pi〔t〕知足下面的隨機微分方程：dPi〔t〕=Pi〔t〕[bi〔t〕dt+σij〔t〕dWj〔t〕]，i=1，2，…n假定投資者進入市場后在有限時域[0，T]內連續進行交易，那么由It？觝公式，他的財富經過x〔t〕知足：dx〔t〕=r〔t〕x〔t〕+〔bi〔t〕-r〔t〕〕？仔i〔t〕dt+？滓ij〔t〕？仔i〔t〕dWj〔t〕x〔0〕=x其中，？仔it表示在t時刻在資產i上的投資量。令？仔〔t〕=〔？仔1〔t〕，？仔2〔t〕，…，？仔n〔t〕〕T，稱？仔〔·〕為一個投資組合。所有允許投資組合的集合記為？撰〔x〕。投資者的目的是在集？撰〔x〕中選擇最優投資組合使得最終財富的期望最大與差最小之間實現合理的權衡，一般連續時間M-V模型可建立為：min〔-Ex〔T〕，Varx〔T〕〕，s.t？仔〔·〕∈？撰〔x〕假定投資者在時間段[0，t]內的總消費量為C〔t〕，記c〔t〕=為消費率，1個無風險證券和n個風險證券，投資者的財富經過需要知足如下方程：dx〔t〕=[x〔t〕r〔t〕+？仔〔t〕T〔b〔t〕-r〔t〕1n〕-c〔t〕dt+？仔tT？滓〔t〕dW〔t〕]x〔0〕=x0有效前沿解析式：股票價格服從市場系數經過的均值—方差模型，對于市場系數需要考慮到許多問題，許多方法與實際都不太相符，由于市場系數是隨機變化的，導致許多為題的求解困難，尤其是把它推廣到隨機的情形，因而本文采取鞅方法來解決這個問題。設投資者在時的財富為，那么知足微分方程：d[β〔t〕x〔t〕]=β〔t〕π〔t〕〔b〔t〕-r〔t〕〕dt+β〔t〕π〔t〕σ〔t〕dtβ〔0〕x〔0〕=x〔三〕隨機時域的M-V最優投資組合選擇關于離散時間市場狀況下隨機時域的均值—方差模型，設投資者從0時刻進入市場進行投資，其初始財富為，計劃進行個階段的投資，市場上有中證券，其中1中無風險證券，中風險證券。投資者在隨機時域[0，T]內，使最終利益的期望最大，風險最小，根據這個建立如下模型：maxuE〔γυτ-wυ2T〕=υt-1〔r0t+R0tπt〕υ0=1其中，w0。關于連續時間市場狀況下隨機時域的均值—方差模型，在一個確定函數下，最優投資策略模型為：minπE[wx〔T〕2-τx〔T〕]s.t.π∈x關于跳躍擴散市場狀況下隨機時域的均值—方差模型，一個無風險證券的價格知足方程，第i個風險證券的價格知足下面隨機微分方程：結束語本文是在確定時域下分別建立了股票價格服從跳躍擴散經過、固定消費和市場系數為隨機經過這三種情況下的均值—方差模型，得到這三種情況下的投資策略庫和有效前沿方程式；在隨機時域下建立了離散時間、連續時間與跳躍時間三種市場狀況下的均值—方差模型，得到其解析表達式。從這幾個模型中我們能夠看出，其在投資組合理論與投資消費理論下的最優解析式。另外，文中給出了模型評價的方式為投資者提供了選擇，即假如在類似度比較高的模型中進行投資活動時，投資者能夠采用偏好系數加權法，更多地考慮自己的風險偏好，但類似水平低的模型則考慮最小風險模型來最小化損失，投資者能夠根據風險偏好的不同，在投資模型選擇時參考本文中的幾種方法。同時，我們能夠根據文中提到的模型的基天性質來對這些模型做一個一般性的檢驗，也即驗證他們能否知足這些人們普遍贊成的性質。結合模型所知足性質的意義來考慮組合模型的實用性，以及對于自己的投資做出合理的決策。以下為參考文獻：[1]lioSelection[J].JournalofFinance，1952，〔1〕：77-91.[2]曹志廣，韓其恒.投資組合管理[M].上海：上海財經大學出版社，2005.[3]張璞，李鑫，竇雯虹.最優證券組合投資模型[J].西北大學學報：天然科學版，2001，〔2〕：99-101.[4]蘇敬勤，陳東曉.Markowitz投資組合理論與實證研究[J].大連理工大學學報：社會科學版，2002，〔2〕：30-35.[5]余后強，李玲.基于我們國家證券市場的馬科維茨模型與實證研究[J].甘肅科學學報，2013，〔3〕：146-149.[6]羅光明，劉永.Markowitz投資組合模型在深滬股市上的實證研究[J].新疆財經，2001，〔4〕：41-43.[7]陳學榮，張銀旗，周維.投資組合理論及其在中國證券市場中的應用研究[J].系統工程，2000，〔5〕：6-12.[8]趙，黃頓，包鋒，等.風險厭惡水平的度量及投資組合理論——基于實證調查分析[J].湖北經濟學院學報：人文社會科學版，2010，〔8〕：43-45.[9]玄海燕，包海明，楊娜娜.基于非正態穩定分布的均值——標準參數多期投資組合模型[J].甘肅科學學報，2013，〔4〕：144-147.[10]劉超.現代證券投資組合理論在我們國家應用的局限和考慮[J].經濟經緯，2006，〔2〕：139-142.[11]’