..一、平面的基本性質公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內公理2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面。推論1:經過一條直線及直線外一點,有且只有一個平面。推論2：經過兩條相交直線,有且只有一個平面。推論3：經過兩條平行直線,有且只有一個平面。公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。P·αLβ符號表示為：P∈α∩β=>P·αLβ深化：1：若兩相交平面有三個公共點,那么三點共線2：若兩平面相交,則一個平面內直線與另一個平面的交點必定在兩個平面的交線上。納入平面：不共線三點均分別在兩個平面內,則兩平面相等。兩直線均分別在兩個平面內,則兩平面相等。二、空間中直線與直線之間的位置關系共面直線相交直線：同一平面內,有且只有一個公共點；共面直線平行直線：同一平面內,沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內,沒有公共點,既不相交,也不平行。2公理4〔平行的傳遞性：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補4異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過這點的直線是異面直線。這個定理是判定空間兩條直線是異面直線的理論依據。5注意點：〔1直線所成的角θ∈<0,]。〔2兩條異面直線所成的角是直角時,我們就說這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b；〔3直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形；三．線面平行1判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行。2直線與平面的性質定理：一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。〔由線面平行推線線平行四．平面與平面平行1判定定理1：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行。2判定定理2：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一平面內的兩條相交直線,則這兩個平面平行。3判定定理2:如果兩個平面垂直于同一條直線,那么這兩個平面平行。4判定定理3：平行于同一個平面的兩個平面平行。平面與平面平行的性質平面與平面平行的性質定理1：如果兩個平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行。平面與平面平行的性質定理2：如果兩個平面平行,則在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面。平面與平面平行的性質定理3：如果兩個平行平面中有一個垂直于一條直線,那么另一個平面也垂直于這條直線。五．直線與平面平行1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂直,我們就說直線L與平面α互相垂直,記作L⊥α,直線L叫做平面α的垂線,平面α叫做直線L的垂面。如圖,直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。LP2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。注意點：a>定理中的"兩條相交直線"這一條件不可忽視；b>定理體現了"直線與平面垂直"與"直線與直線垂直"互相轉化的數學思想。3相關定理：若直線垂直于平面,則垂直于平面內的任一條直線過一點有且只有一條直線與已知平面垂直過一點有且只有一個平面與已知直線垂直4性質定理1：垂直于同一個平面的兩條直線平行性質定理2：垂直于同一直線的兩個平面互相平行。六．平面與平面垂直1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形A棱lβBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個平面互相垂直的判定定理1：一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。兩個平面互相垂直的判定定理2：求得二面角的平面角為兩個平面互相垂直的判定定理3：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個平面也垂直于第三個平面性質定理1：兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。性質定理2：兩相交平面同時垂直于第三個平面,則兩相交平面的交線也垂直于第三個平面。七．相關方法匯合證明線線垂直的方法：計算兩直線所成的角為〔包含異面直線所成的角。線面垂直的性質。向量法〔〔a,b為非零向量。2．判斷線面垂直的方法〔1線面垂直的定義。〔2線面垂直的判定定理。〔3平行性垂直平面的傳遞性。〔4面面垂直的性質。〔5面面平行的性質。〔6面面垂直的性質。〔7向量法〔直線的方向向量與平面的法向量平行：。3．面面垂直的判定〔1面面垂直的定義。〔2面面垂直的判定定理。〔3向量法〔法向量垂直。八．空間角1.異面直線所成的角1、通過異面直線所成角的定義,把異面直線所成的角轉化成平面內的線線角。2、求兩條異面直線所成角的大小步驟如下：〔1利用定義構造角,可固定一條,平移另一條,或這兩條同時平移到某個特殊位置,頂點選在特殊位置上；〔2證明做出的角就是所求角；〔3利用三角形來求解,異面直線所成角的范圍是〔0,]2線面所成的角1.分類：〔1線面平行或線在面內,線面所成角為。〔2線面垂直,線面所成角為。〔3斜線和平面所成的角為。2.找角：求直線與平面所成角的過程：a.通過射影轉化法,做出直線與平面所成的角；b.在三角形中求角的大小。3.向量法:設是平面的斜線,設,向量為平面的法向量,設PA與平面所成的角為,則。3面面所成的角---二面角求二面角的方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點〔特殊點,分別在兩個半平面中作棱的垂線,得出平面角。用定義法時,要觀察圖形的特性三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到另一個面的垂線,用三垂線定理或逆定理作出平面角垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角。〔4射影法：利用面積射影公式,其中為平面角的大小。此方法不必在圖中畫出平面角來。〔5向量法：設二面角的平面角為：a.若,有,,那么。b.設向量、分別為平面和平面的法向量,則,與是相等還是互補,根據具體圖形判斷。2.存在性和唯一性定理<1>過直線外一點與這條直線平行的直線有且只有一條；<2>過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條；<3>過平面外一點與這個平面平行的平面有且只有一個；<4>與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；<5>過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；<6>過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個；<7>過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個；<8>過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個.3.射影及有關性質<1>點在平面上的射影自一點向平面引垂線,垂足叫做這點在這個平面上的射影,點的射影還是點.<2>直線在平面上的射影自直線上的兩個點向平面引垂線,過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個點；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.<3>圖形在平面上的射影一個平面圖形上所有的點在一個平面上的射影的集合叫做這個平面圖形在該平面上的射影.當圖形所在平面與射影面垂直時,射影是一條線段；當圖形所在平面不與射影面垂直時,射影仍是一個圖形.<4>射影的有關性質從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：<i>射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段也較長；<ii>相等的斜線段的射影相等,較長的斜線段的射影也較長；<iii>垂線段比任何一條斜線段都短.向量一向量相關概念〔1向量——既有大小又有方向的量。在此規定下向量可以在平面〔或空間平行移動而不改變。〔6并線向量〔平行向量——方向相同或相反的向量。規定零向量與任意向量平行。〔7向量的加、減法如圖：〔8平面向量基本定理〔向量的分解定理的一組基底。〔9向量的坐標表示表示。二平面向量的數量積數量積的幾何意義：〔2數量積的運算法則［練習］答案：答案：2答案：三．線段的定比分點※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎？直線方程.1.直線的傾斜角2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式直線方程：3.⑴兩條直線平行：推論：如果兩條直線的傾斜角為則∥.⑵兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：①設兩條直線和的斜率分別為和,則有4.直線的交角：5.過兩直線的交點的直線系方程為參數,不包括在內6.點到直線的距離：⑴點到直線的距離公式：設點,直線到的距離為,則有.注：兩點P1<x1,y1>、P2<x2,y2>的距離公式：.定比分點坐標分式。若點P<x,y>分有向線段,其中P1<x1,y1>,P2<x2,y2>.則特例,中點坐標公式；重要結論,三角形重心坐標公式。直線的傾斜角〔0°≤＜180°4.兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線,它們之間的距離為,則有.注；直線系方程1.與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.<m?R,C≠m>.2.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.<m?R>3.過定點〔x1,y1的直線系方程是：A<x-x1>+B<y-y1>=0<A,B不全為0>4.過直線l1、l2交點的直線系方程：〔A1x+B1y+C1+λ<A2x+B2y+C2=0<λ?R注：該直線系不含l2.7.關于點對稱和關于某直線對稱：⑴關于點對稱的兩條直線一定是平行直線,且這個點到兩直線的距離相等.⑵關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行,則對稱直線也平行,且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行,則對稱直線必過兩條直線的交點,且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點關于某一條直線對稱,用中點表示兩對稱點,則中點在對稱直線上〔方程①,過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直〔方程②①②可解得所求對稱點.三角函數一函數關系商數關系：平方關系：二誘導公式公式一：設為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等：公式二：設為任意角,與的三角函數值之間的關系：公式三：任意角與的三角函數值之間的關系：公式四：與的三角函數值