FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010期權定價1FundamentalsofFuturesandOp主要內容期權價值的構成：內在價值與時間價值期權價格的影響因素（影響方向）期權價格的上限與下限看漲期權與看跌期權的平價關系二叉樹模型B-S期權定價模型期權價格敏感性指標（影響程度）作業主要內容期權價值的構成：內在價值與時間價值假設與符號假設不存在交易成本。所有交易盈利都適用同一稅率。投資者進行無風險借貸或者投資的利率是一樣的。符號St:當期t股票價格K：施權價格T：期權到期的時點t：當期時點ST：時點T的股票價格r：無風險利率σ：股票收益率波動的標準差c,C：歐式及美式看漲期權價格p,P：歐式及美式看跌期權價格D:期權期限內股息在t時的貼現值假設與符號假設期權價值的構成：內在價值與時間價值期權價值PVt取決于以下兩個方面PV=內在價值IV+時間價值TV內在價值IV(只有實值期權的內在價值大于零)在履行期權合約時可獲得的總利潤，當處于虛值為0對于看漲期權，IV=Max(0,St-K)對于看跌期權，IV=Max(0,K-St)嚴格地講，應該把收益折現到目前時刻t時間價值TV為期權合約剩余有效期可能帶來的期權增值而付的期權費，其與剩余有效期成正比，與未來價格波動成正比期權價值的構成：內在價值與時間價值期權價值PVt取決于以下兩期權價格的影響因素（影響方向）

哪些因素會影響期權價格呢？除期權的供求關系外，影響期權內在價值及時間價值的因素影響期權價格的因素影響持有者現在的收益及未來可能增值水平的所有因素標的資產市場價格St、執行價格K、資產收益（分派股息）標的資產未來價格波動率、剩余有效期（T-t）、無風險利率r期權價格的影響因素（影響方向）

哪些因素會影響期權價格呢？現貨價格St與執行價格K期權內在價值：對于看漲期權，IV=Max(0,St-K)對于看跌期權，IV=Max(0,K-St)現貨價格對于看漲期權來說，現貨價格越高，到期時盈利的可能數額也就越高，因而期權價格就越高。對于看跌期權來說，現貨價格越高，到期時盈利的可能數額也就越低，因而期權價格越低。執行價格對于看漲期權來說，施權價越高，到期時的盈利空間越低，從而期權價格越低。對于看跌期權來說，施權價越高，到期時的盈利空間越高，從而期權價格越高。現貨價格St與執行價格K期權內在價值：標的資產收益（如派發股息）標的資產將支付股息將使資產價格如何變化？資產價格將下降資產價格下降怎樣影響期權的價格呢?對于看漲期權來說，期權獲利能力變弱，期權價格降低。對于看跌期權來說，期權獲利能力變強，期權價格提升。標的資產收益（如派發股息）標的資產將支付股息將使資產價格如標的資產未來價格波動率與剩余有效期（T-t）標的資產未來價格波動率期權的特點在于以較低的價格規避了不利風險，同時保留了有利風險。不管是對于哪一種期權來說，價格波動性越劇烈，盈利的可能性就越高，期權價格也越高。剩余有效期（T-t）對于歐式期權來說，由于施行期權的時點是唯一，因此期限越長對期權的擁有者來說不一定越好。比如在T1之后（<T2)看漲期權標的物資產價格明顯下降）對于美式期權來說，在到期之間隨時可以執行期權，因此期限越長意味著選擇越多，對期權的擁有者越有利。標的資產未來價格波動率與剩余有效期（T-t）標的資產未來價格無風險利率r無風險利率1無風險利率提升時，投資者要求的投資收益更高，現貨價格如何變化？現貨價格變小，這使看漲期權價值下降，使看跌期權價值上升2無風險利率越高，收到的將來現金流貼現值也越低協議價的折現值變小，這使看漲期權價值上升，使看跌期權價值下降3兩種因素綜合，得出無風險利率與期權價格的關系一般情況下，貼現效應大于預期收益效應當無風險利率上升時，看漲期權價格上升，而看跌期權價格下降無風險利率r無風險利率影響期權價格的因素因素歐式看漲期權歐式看跌期權美式看漲期權美式看跌期權現貨價格＋－＋－施權價－＋－＋期限？？＋＋價格波動性+＋＋＋無風險利率+－＋－預期派發股息－＋－＋影響期權價格的因素因素歐式看漲期權歐式看跌期權美式看漲期權美期權價格的上限與下限

歐式與美式看漲期權上限歐式與美式看跌期權上限套利原則（成本與無風險收益成正比）歐式與美式看漲期權下限歐式與美式看跌期權下限期權價格的上限與下限

歐式與美式看漲期權上限期權價格的上限與下限的理解

商品價格的上限是多少？消費者愿意接受的最高價為其帶來的最大效用，或購買其它商品的成本商品價格的下限是多少？生產者愿意接受的最低價生產商品的所有成本期權價格的上限與下限的理解

商品價格的上限是多少？期權上下限的總結（以歐式為主）看漲期權多頭的最大利潤/看漲期權空頭的最大損失MAX(ST-Ke-r(T-t),0)看漲期權的上下限上限：S（S）下限：S-Ke-r(T-t)（MAX(S-Ke-r(T-t),S-K)）看跌期權多頭的最大利潤/看漲期權空頭的最大損失MAX(Ke-r(T-t)-ST,0)看跌期權的上下限上限：Ke-r(T-t)（K）下限：Ke-r(T-t)-S（MAX(Ke-r(T-t)-S,K-S）期權上下限的總結（以歐式為主）看漲期權多頭的最大利潤/看漲期看漲期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權多頭可以花S持有股票到期，也可以用c（C）購買看漲期權，如果期權費高于S，直接持有股票到期最經濟，因此只有c≤S,(C≤S)才能吸引期權購買者如何理解上限S近似理解為多頭（需求方）的最大效用當c>S，(C>S)如何套利呢賣出一個看漲期權，收入c（C），買入一個現貨，支出S到時至少還收獲K看漲期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權多頭可以花S看跌期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權的價值＝PV（施權價）－PV（股票價格）p≤Ke-r(T-t),(P≤K)如何理解上限Ke-r(T-t)（K）近似理解為多頭（需求方）的最大效用當p>Ke-r(T-t)，(P>K)如何套利呢賣出一個看跌期權，收入p（P）到時最多支出K看跌期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權的價值分析思路在無套利情況下，兩個投資組合的收益與成本應該保持一致。收益高的組合，理應成本高成本高的組合，理應收益高成本相等，理應收益相等收益相等，理應成本相等否則，以上均存在套利空間套利策略：借入效率低的組合后賣掉，買入效率高的組合獲得收益后，還借入的低效率組合或直接賣掉已擁有的效率低的組合，買入效率高的組合分析思路在無套利情況下，兩個投資組合的收益與成本應該保持一致歐式（美式）看漲期權的下限兩個資產組合（鎖定未來擁有一個股票的價格）組合A:一個歐式看漲期權多頭+期權到期時K收入的零息債券多頭組合B:買入歐式看漲期權對應的股票

到期時組合A的價值Max(StK)>=組合B的價值St,無套利情況下，組合A的成本>組合B的成本

c+Ke-r(T-t)>=S，從而，c>=S-Ke-r(T-t)怎么理解下限max(S-Ke-r(T-t),0)近似看成看漲期權空頭的提供期權產品的凈成本美式看漲期權的下限max(S-Ke-r(T-t),0)C>c>S-Ke-r(T-t),C>S-K,S-Ke-r(T-t)>S-K歐式（美式）看漲期權的下限兩個資產組合（鎖定未來擁有一個股票歐式美式看漲期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看漲期權施權價為18元，離到期還有一年時間（期間無股息），無風險利率為10%，問該看漲期權的最低價格是多少？假如該期權目前報價3.00元，你將如何操作進行套利？該看漲期權的價值下限為S－Ke-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝3.71報價低于價值下限，即c<S-Ke-r(T-t)c+Ke-r(T-t)<S,

(S-c)er(T-t)>K思路借入股票后賣掉，獲得S(20)元，買入看漲期權，支出c(3)元，并將S-c（17）元按無風險利率借貸出去，收益大于到期時股票最高購買價K.若對于美式看漲期權，當c+K<S，如何套利呢？借入股票賣掉，同時買入美式看漲期權，馬上以最多K購入股票歐式美式看漲期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看歐式美式看跌期權的下限兩個資產組合（鎖定未來賣出一個股票的價格）組合C:一個歐式看跌期權多頭+買入期權對應的股票組合D:期權到期時有K收入的零息債券

到期時組合C的價值Max(StK)>=組合D的價值K無套利情況下，組合A的成本>組合B的成本p+S>=Ke-r(T-t),p>=Ke-r(T-t)-S如何理解下限max(Ke-r(T-t)-S,0)近似看成看跌期權空頭的提供期權產品的凈成本美式看跌期權的下限max(K-S,0)P>p>Ke-r(T-t)-S,P>K-S,K-S>Ke-r(T-t)-S歐式美式看跌期權的下限兩個資產組合（鎖定未來賣出一個股票的價歐式美式看跌期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看跌期權施權價為24元，離到期還有一年時間，無風險利率為10%，問該看跌期權的最低價格是多少？假如該期權目前報價1.00元，你將如何操作進行套利？？該看漲期權的價值下限為Ke-r(T-t)－S＝24e-0.1－20＝1.71

報價低于價值下限，即p<Ke-r(T-t)-Sp+S<Ke-r(T-t)，

(p+S)er(T-t)<K

思路借入p+S（21），購買股票和看跌期權，期權到期時賣出股票收益至少為K（24），只需還(p+S)er(T-t)。若美式看跌期權的市場價p<其下限K-S時，如何套利？

思路借入p+S（21），購買股票和看跌期權，馬上賣出至少獲利K24歐式美式看跌期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看看跌—看漲平價關系式

-——歐式期權兩個資產組合組合A:一個歐式看漲期權多頭+期權到期時K收入的零息債券多頭組合C:一個歐式看跌期權多頭+買入期權對應的股票到期時如果ST>K，則組合A和組合B的價值均為ST

如果ST≤K，則組合A和組合B的價值均為K無套利情況下，組合A的成本=組合c的成本c+Ke-r(T-t)=p+S如果股票在持有期有股息現值I組合A中的零息債券變為到期時有（K+Ier(T-t)）收入c+Ke-r(T-t)+I=p+S看跌—看漲平價關系式

復合證券（持有期間無股息時）無套利時的平價關系c+Ke-r(T-t)=p+S平價關系的變形c=p+S-Ke-r(T-t)p=c+Ke-r(T-t)-SS=c+Ke-r(T-t)-pKe-r(T-t)=p+S-cS-c=Ke-r(T-t)-p......平價關系應用一（如c=p+S-Ke-r(T-t)）間接計算期權、標現貨及無風險證券的合理價格（成本）平價關系應用二：分解組合從而復制（如S-c=Ke-r(T-t)-p）等式右邊表示（存入Ke-r(T-t)，做空看跌期權）組合的成本等式左邊表示（做多現貨，做空看漲期權）組合的成本可以證明二者的到期時損益一樣（移項相當于在基礎公式兩邊加減同樣的成本，也相當于在策略A與B的基礎上增加同一個投資品，最終的收益當然一樣）復合證券（持有期間無股息時）無套利時的平價關系看跌—看漲平價關系式

-——歐式期權(套利例子一)

某股票現價為20元，施權價為21元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權價格分別為3.00元和1.00元，無風險利率為10%，問以上數據是否符合期權平價公式，如果不是，你將如何進行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）=3.00＋20e-0.1＝21.10組合B成本p+S=1+20＝21，組合A成本大于組合B套利策略c+Ke-r(T-t）>p+S，(p+S-c)er(T-t）<K,大收小支法1賣出看漲期權收獲c，再借入Ke-r(T-t），用p+S買入看跌期權和股票，到期時支出與收益相同。法2賣掉股票和看跌期權，購買看漲期權，余下的錢購買無風險證券，到期最多花K買入股票歸還看跌—看漲平價關系式

看跌—看漲平價關系式

-——歐式期權(套利例子二)

某股票現價為20元，施權價為20元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權價格分別為2.00元和1.00元，無風險利率為10%，問以上數據是否符合期權平價公式，如果不是，你將如何進行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）+D=2.00＋20e-0.1＝20.10組合B成本p+S=20＋1.00＝21.00，組合A成本小于組合B套利策略：c+Ke-r(T-t）<p+S，(p+S-c)er(T-t）>K

同前例子一看跌—看漲平價關系式

-

看跌—看漲平價關系式

——美式期權(沒有股息時)

可以證明S-K<C－P<S－Ke-r(T-t)

看跌—看漲平價關系式

期權定價思路利用期權與現貨構造一個未來收益為常數的無風險投資組合，在無套利的情況下，該投資組合的收益率為市場無風險收益率。如何說明投資組合未來收益函數（sT，T）為常數（二叉樹）未來收益為離散函數：各情況下收益相等（B-S）未來收益為連續函數：收益關于sT的偏導為0歐式與美式期權定價先講且主要講歐式期權現貨期權與期貨期權定價先講且主要講現貨期權期權定價思路二叉樹定價（主要以股票期權為例）未來收益為常數的證券組合收益率歐式期權二叉樹定價（N=2）對風險中性世界相關概念的理解和應用多步歐式期權二叉樹定價（N>2）相關參數的求解其它標的物期權定價美式期權二叉樹定價定價二叉樹定價（主要以股票期權為例）未來收益為常數的證券組合收益現在用S購買一個證券組合，未來T時刻的證券組合收益在任何情況下均為常數Sc。請問該證券組合的合理收益率應該是多少應該是無風險利率，否則存在套利空間1在同樣收益下，用低效率策略借錢，用部分錢做多高效率的組合，未來以高效率組合的收益抵消低效率策略的支出2以低效率借錢，用在高效率上，未來以高效率部分收益歸還低效率借錢成本如何構造無風險收益證券組合？在未來每一種情況下證券組合的收益均相等例子：D為多少時，組合（D股股票多頭+1看漲期權空頭）才是無風險收益證券組合呢？假設各證券收益均服從兩點分布，此時一份期權只包括一股股票。未來收益為常數的證券組合收益現在用S購買一個證券組合，未來T金融衍生工具--期權定價課件美式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前價格為21美元，2年后股價要么23美元，要么18美元，無風險利率為8%。請問行使價格為22美元的期限為2年后的美式式看漲期權的當前價格f是多少？（到期日的內在價值等于期權價格）美式期權可以到期前在任意時刻行權，在二叉樹假設下，美式期權除了和歐式一樣在到期時行權（價值同歐式期權），也可以在簽定合約時馬上行權（MAX(0,S0-K)）。美式期權的價值就是這兩類選擇價值的最大值。本題中到期行權價值為前面中的歐式期權價格f0,馬上行權的價值為0，所以該美式期權價格為f0美式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前歐式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前價格為S(21)美元。T時后（2年后）股價要么Su(23)美元，此時期權價格為?u，要么Sd(18)美元，此時期權價格為?d。無風險利率為r(8%)。請期限為T的歐式期權的當前價格f是多少？方法1構造無風險收益組合：D股股票多頭+1期權空頭

SuD–?u=SdD–?d，2無風險收益組合的收益率等于無風險利率（S

D–f）erT=SdD–?d,f=歐式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

對風險中性世界相關概念的理解和應用

對于二叉樹定價公式的理解風險中性世界中，任何證券或組合價格要么以概率p上升為S0u，要么以概率1-p下降到S0d,可證其預期收益率為無風險收益率應用先用無風險收益組合中的標的價格求p，再求f例子：用期權標的物（股票）

32FundamentalsofFuturesandOpFundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

增加二叉樹的時間步數

一步二叉樹的不足只利用了現在與到期時（對沖時）的數據，精確度不高，尤其是離到期或對沖較遠時；到期時只有兩個情境，與現實差異大。多步二叉樹（到期時3個以上的情境）把期權的期限分割成N段（N>1）,從前往后，第i段有至多2i個二叉樹，從后往前依次計算各段的期權價格。二步二叉樹例子股票當前價格為21美元，1年后股價要么23美元，要么18美元。如果1年后股價為23（18）美元，2年后股價要么25（23）美元，要么17（15）美元。無風險利率為8%。請問行使價格為22美元的期限為2年的歐式看漲期權的當前價格f是多少？

33FundamentalsofFuturesandOp多步歐式期權二叉樹定價

（一般）：三步為例（其它類似）SfSufuSdfdSuufuuSddfddSudfud從最后的節點往前按單步二叉樹計算34多步歐式期權二叉樹定價

（一般）：三步為例（其它類似）SSu看跌期權的定價與套利股票當前價格為21美元，3個月后股價要么23美元（fu），要么18美元(fd)，無風險利率為8%。請問行使價格為22美元的期限為3個月后的歐式看跌期權的當前價格f是多少？（到期日的內在價值等于期權價格）法一：構造無風險組合計算D股股票多頭+1份看跌期權空頭（D為負）法二：看漲看跌平價公式c+Ke-r(T-t)=p+S法三：期權期望值的無風險折現方法若該期權市場價f>f0,如何套利呢？組合的收益率大于無風險收益率，用無風險收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權市場價f<f0,如何套利呢？組合的收益率大于無風險收益率，用無風險收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權市場價f<f0,如何套利呢？組合的收益率小于無風險收益率，做空組合收益21D-f，全部存在銀行，到期存款的本息大于做多組合的成本看跌期權的定價與套利股票當前價格為21美元，3個月后股價要么Delta的本質及各步Delta

計算Delta的本質1期權的短頭寸方為了實現無風險組合而買入股票的數量2股票期權價格的變化與標的股票價格變化之比。采用期權與股票進行無風險對沖時，應該從左到右順時計算并調整組合中所持股票數量

Delta的本質及各步Delta

計算Delta的本質Delta的本質及各步Delta

計算（動態Delta對沖）股票當前價格為21美元，1年后股價要么23美元，要么18美元。如果1年后股價為23（18）美元，2年后股價要么25（23）美元，要么17（15）美元。無風險利率為8%。如何實現組合無風險收益呢？現在的DeltaD0=(fu-fd)/(23-18)1年后的Delta1年后股價為23美元時，D1=(fuu-fud)/(25-17)1年后股價為18美元時，D1=(fdu-fdd)/(23-15)若D1>(<)D0,則增加D1-D0份股票（減少D0-D1）Delta的本質及各步Delta

計算（動態Delta對沖）u、d，p的計算

u、d，p的計算其它標的物期權定價有股息的股票期權定價股指期權定價外匯期權定價期貨期權定價思路先利用標的物求p，再利用p及r對未來期權期望折現1與無股息股票相比，有股息股息、股指、外匯的購買成本為S-I或Se-qDt2與無股息股票相比，期貨期權相對現貨期權在期初，購買標的物的購買成本為0，在期貨的“購買成本”為Fe-rDt，Dt為期權的期限，而非期貨的期限其它標的物期權定價有股息的股票期權定價期貨式期權（期權期貨）定價思路本質上是期貨，定價與期貨一致不過此時S為期貨到期時交割的期權在此時的價格這個期權價格用一般的期權定價公式可得期貨式期權（期權期貨）定價思路美式期權二叉樹定價：以兩步，每個步長1年，K=52的美式看跌期權為例（同時與歐式比較）從樹圖的最后末端向開始的起點倒推計算，在每個節點檢驗提前執行是否最佳（決定行使時間從左到右）。在樹的底部期（到期日）權價格為歐式期權價格，在較早節點，期權價格為以下數量的最大值（此時假設只能在開始、中間及到期時行權）：由方程式求出的值(買賣期權市場價)提前執行所得的收益（行權收益）從上到下：現貨市價、（期權市場價）、（提前行權收益）505.0892601.414(-8)409.46312720322048441美式期權二叉樹定價：以兩步，每個步長1年，K=52的美式看跌B-S定價（未來價格連續的無限步二叉樹方法，即IN(sT）為正態分布二叉樹的不足及與B-S定價的關系B-S的假設幾種不同情況下的B-S期權定價公式對B-S期權定價公式的理解B-S定價（未來價格連續的無限步二叉樹方法，即IN(sT）為二叉樹的不足及與B-S定價的關系

二叉樹定價的不足其假設未來資產價格分布為有限離散，不符合事實，利用的信息較少，定價不夠準確（尤其對于美式期權定價）。美式期權只能在離散點行權。B-S定價與二叉樹定價的關系1B-S假設未來資產價格變動符合幾何布朗運動，B-S定價是二叉樹定價中未來情境數及步數取無窮大的極限值2B-S定價與二叉數定價類似采取構造無風險證券組合，再利用無風險證券組合收益率為無風險利率進行求解二叉樹的不足及與B-S定價的關系

二叉樹定價的不足B-S的假設（除加粗部分外，其它都是二叉樹定價的假設）⒈期權的標的股票為一有風險的資產，其現行價格為S。這種資產可以賣空。⒉期權是歐式期權，其執行價格為K，期權期限為T（以年表示）。⒊在期權到期日之前，標的股票無任何收益（如股息、利息等）的支付，于是，標的股票價格的變動是連續的，且是均勻的，既無跳空上漲，也無跳空下跌。B-S的假設（除加粗部分外，其它都是二叉樹定價的假設）⒈期權B-S的假設⒋存在一個固定的無風險利率，投資者可以以此利率無限制的借入或貸出資金。⒌不存在影響收益的任何外部因素，如稅負、交易成本及保證金等。于是，標的股票持有者的收益僅來源于價格的變動。⒍標的股票價格的波動率為一已知常數。⒎標的股票價格的變動符合μ和σ為常數的幾何布朗運動。8.期權（衍生品）價格只受現貨價格st和t決定。（隱含假設）B-S的假設⒋存在一個固定的無風險利率，投資者可以以此利率無2022/12/18幾何布朗運動（維納過程）滿足下列兩個性質的隨機變量Wt服從維納過程，也稱為標準布朗運動（Brownianmotion）。性質1在短時間Δt內，變量ΔW為其中性質2在任意不同短時間內，變量ΔW相互獨立。46/442022/12/14幾何布朗運動（維納過程）滿足下列兩個性質2022/12/18性質1表明變量ΔW

本身也服從正態分布，即性質2說明Wt服從馬爾科夫隨機過程。不難證明，在一個較長時間內，變量W也服從正態分布。其中47/442022/12/14性質1表明變量ΔW本身也服從正態分布，廣義的幾何布朗運動

、伊藤過程、及股價變動分布廣義幾何布朗運動伊藤過程假設未來股價滿足以下伊藤過程（μ、?表示收益率的期望的標準差）8.期權（衍生品）價格只受現貨價格st和t決定。（隱含假設）廣義的幾何布朗運動

、伊藤過程、及股價變動分布廣義幾何布朗運二叉樹定價與B-S定價思路對比股票當前價格為S(21)美元。T時后（2年后）股價要么Su(23)美元，此時期權價格為?u，要么Sd(18)美元，此時期權價格為?d。無風險利率為r(8%)。請期限為T的歐式期權的當前價格f是多少？方法1構造無風險收益組合：D股股票多頭+1期權空頭

SuD–?u=SdD–?d，2無風險收益組合的收益率等于無風險利率（S

D–f）erT=SdD–?d,f=二叉樹定價與B-S定價思路對比股票當前價格為S(21)美元。B-S定價思路（衍生品價值V=V(S,t)，構造無風險投資組合F=V-θS,收益率應該為無風險收益率r下面求解dF把dF，F代入，得B-S-M微分方程關于t,S求定積分可得B-S定價公式B-S定價思路（衍生品價值V=V(S,t)，構造無風險投資組幾種不同情況下的期權定價模型㈠現貨歐式看漲期權的定價模型其中：幾種不同情況下的期權定價模型幾種不同情況下的期權定價模型㈡期貨歐式看漲期權的定價模型其中,T為期權到期日距今剩余時間，而非期貨到期日：幾種不同情況下的期權定價模型幾種不同情況下的期權定價模型㈢歐式看跌期權的定價模型現貨歐式看跌期權價格的布萊克—斯科爾斯模型：期貨歐式看跌期權價格的布萊克—斯科爾斯模型：幾種不同情況下的期權定價模型如何獲得B-S期權定價公式的參數知道所有參數可以求期權價格標的資產市場價格、執行價格、到期時間、無風險利率和資產價格波動率除資產價格波動率外，其它數值容易獲得資產價格波動率1歷史波動率（歷史收益率的標準差）In(si/si-1)近似收益率，計算出方差年方差=方差×365/數據周期2隱含波動率（利用相同標的期權相關數據和定價公式反求示的波動率）如何獲得B-S期權定價公式的參數知道所有參數可以求期權價格對B-S期權定價公式的理解期權價格及投資組合價格風險期權價格未來可能會發生變化哪些因素會導致未來期權價格變化？標的資產市場價格、執行價格、到期時間、無風險利率和資產價格波動率這些因素對期權價格的影響方向這些因素對期權價格的影響程度金融期權價格敏感性指標對B-S期權定價公式的理解期權價格及投資組合價格風險期權價格敏感性指標（影響程度）Delta(δ或Δ)Gamma（γ或Γ）Theta（θ）Vega（ν或Λ）Rho（ρ）Delta中性、Gamma中性等希臘字母中性期權價格敏感性指標（影響程度）Delta(δ或Δ)Delta(δ或Δ)期權的標的資產價格的變動對期權價格的影響程度看漲期權的δ值在0與1之間，而看跌期權的δ值在－1和0之間平值看漲期權的δ值為0.5；平值看跌期權的δ值為－0.5實值期權的δ值，其絕對值將大于0.5而小于1；虛值期權的δ值，其絕對值將小于0.5而大于0。當期權處于極度實值（虛值）時，其δ值的絕對值將趨近于1（0）。Delta(δ或Δ)期權的標的資產價格的變動對期權價格的影響Gamma（γ或Γ）期權之標的資產價格的變動對該期權之Delta的影響程度無論是看漲期權還是看跌期權，其δ值都與標的資產價格呈同方向的變化當標的資產價格遠離執行價格時，它的變動幾乎對δ值沒有任何影響當標的資產價格等于或接近于執行價格時，它的變動對δ值具有最大的影響Gamma（γ或Γ）期權之標的資產價格的變動對該期權之DelTheta（θ）期權價格對時間變化敏感性的指標期權價格與權利期間呈現同方向的變化Theta一般表示負值。這是因為Theta代表期權價格隨時間推移而逐漸衰減的程度。當期權處于平價時，其Theta的絕對值最大隨著到期日的臨近，其Theta的絕對值越來越大當標的物價格波動率越小時，Theta絕對值隨到期日臨近，上升幅度越不明顯對看漲期權來說，極度實值時的Theta的絕對值將大于極度虛值時的Theta的絕對值對看跌期權來說，實值期權的Theta的絕對值通常小于虛值期權的Theta的絕對值Theta（θ）期權價格對時間變化敏感性的指標Vega（ν或Λ）期權價格對標的資產價格波動性的敏感性指標無論是現貨期權還是期貨期權，均為正值無論是現貨期權還是期貨期權，其看漲期權的ν值都等于看跌期權的ν值Vega（ν或Λ）期權價格對標的資產價格波動性的敏感性指標Rho（ρ）期權價格對利率變化的敏感性指標利率的變動對看漲期權的價格有正的影響；利率變動對看跌期權的價格有負的影響越是實值的期權，其ρ值的絕對值；越是虛值期權，其ρ值的絕對值越小。權利期間越長，ρ值的絕對值就越大；權利期間越短，ρ值的絕對值就越小。Rho（ρ）期權價格對利率變化的敏感性指標如何計算期權價格敏感度（希臘字母）對于相B-S期權定價公式進行一階及二階求導然后帶入目前相關參數即可如何計算期權價格敏感度（希臘字母）對于相B-S期權定價公式進Delta中性、Gamma中性等希臘字母中性Delta中性等希臘字母中性的含義組合Delta中性等希臘字母等于0組合收益不受現貨價格等因素影響通過中性組合構造減少了組合的收益風險標的物的Delta、Gamma、Vega1、0、0期權的希臘字母用B-S求導組合的希臘字母基礎證券的希臘字母的線性組合Delta中性、Gamma中性等希臘字母中性Delta中性等作業影響期權價格的因素10.1（歐式）看漲看跌平價關系10.24二叉樹定價12.21美式期權二叉樹定價作業影響期權價格的因素10.1FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010期權定價65FundamentalsofFuturesandOp主要內容期權價值的構成：內在價值與時間價值期權價格的影響因素（影響方向）期權價格的上限與下限看漲期權與看跌期權的平價關系二叉樹模型B-S期權定價模型期權價格敏感性指標（影響程度）作業主要內容期權價值的構成：內在價值與時間價值假設與符號假設不存在交易成本。所有交易盈利都適用同一稅率。投資者進行無風險借貸或者投資的利率是一樣的。符號St:當期t股票價格K：施權價格T：期權到期的時點t：當期時點ST：時點T的股票價格r：無風險利率σ：股票收益率波動的標準差c,C：歐式及美式看漲期權價格p,P：歐式及美式看跌期權價格D:期權期限內股息在t時的貼現值假設與符號假設期權價值的構成：內在價值與時間價值期權價值PVt取決于以下兩個方面PV=內在價值IV+時間價值TV內在價值IV(只有實值期權的內在價值大于零)在履行期權合約時可獲得的總利潤，當處于虛值為0對于看漲期權，IV=Max(0,St-K)對于看跌期權，IV=Max(0,K-St)嚴格地講，應該把收益折現到目前時刻t時間價值TV為期權合約剩余有效期可能帶來的期權增值而付的期權費，其與剩余有效期成正比，與未來價格波動成正比期權價值的構成：內在價值與時間價值期權價值PVt取決于以下兩期權價格的影響因素（影響方向）

哪些因素會影響期權價格呢？除期權的供求關系外，影響期權內在價值及時間價值的因素影響期權價格的因素影響持有者現在的收益及未來可能增值水平的所有因素標的資產市場價格St、執行價格K、資產收益（分派股息）標的資產未來價格波動率、剩余有效期（T-t）、無風險利率r期權價格的影響因素（影響方向）

哪些因素會影響期權價格呢？現貨價格St與執行價格K期權內在價值：對于看漲期權，IV=Max(0,St-K)對于看跌期權，IV=Max(0,K-St)現貨價格對于看漲期權來說，現貨價格越高，到期時盈利的可能數額也就越高，因而期權價格就越高。對于看跌期權來說，現貨價格越高，到期時盈利的可能數額也就越低，因而期權價格越低。執行價格對于看漲期權來說，施權價越高，到期時的盈利空間越低，從而期權價格越低。對于看跌期權來說，施權價越高，到期時的盈利空間越高，從而期權價格越高。現貨價格St與執行價格K期權內在價值：標的資產收益（如派發股息）標的資產將支付股息將使資產價格如何變化？資產價格將下降資產價格下降怎樣影響期權的價格呢?對于看漲期權來說，期權獲利能力變弱，期權價格降低。對于看跌期權來說，期權獲利能力變強，期權價格提升。標的資產收益（如派發股息）標的資產將支付股息將使資產價格如標的資產未來價格波動率與剩余有效期（T-t）標的資產未來價格波動率期權的特點在于以較低的價格規避了不利風險，同時保留了有利風險。不管是對于哪一種期權來說，價格波動性越劇烈，盈利的可能性就越高，期權價格也越高。剩余有效期（T-t）對于歐式期權來說，由于施行期權的時點是唯一，因此期限越長對期權的擁有者來說不一定越好。比如在T1之后（<T2)看漲期權標的物資產價格明顯下降）對于美式期權來說，在到期之間隨時可以執行期權，因此期限越長意味著選擇越多，對期權的擁有者越有利。標的資產未來價格波動率與剩余有效期（T-t）標的資產未來價格無風險利率r無風險利率1無風險利率提升時，投資者要求的投資收益更高，現貨價格如何變化？現貨價格變小，這使看漲期權價值下降，使看跌期權價值上升2無風險利率越高，收到的將來現金流貼現值也越低協議價的折現值變小，這使看漲期權價值上升，使看跌期權價值下降3兩種因素綜合，得出無風險利率與期權價格的關系一般情況下，貼現效應大于預期收益效應當無風險利率上升時，看漲期權價格上升，而看跌期權價格下降無風險利率r無風險利率影響期權價格的因素因素歐式看漲期權歐式看跌期權美式看漲期權美式看跌期權現貨價格＋－＋－施權價－＋－＋期限？？＋＋價格波動性+＋＋＋無風險利率+－＋－預期派發股息－＋－＋影響期權價格的因素因素歐式看漲期權歐式看跌期權美式看漲期權美期權價格的上限與下限

歐式與美式看漲期權上限歐式與美式看跌期權上限套利原則（成本與無風險收益成正比）歐式與美式看漲期權下限歐式與美式看跌期權下限期權價格的上限與下限

歐式與美式看漲期權上限期權價格的上限與下限的理解

商品價格的上限是多少？消費者愿意接受的最高價為其帶來的最大效用，或購買其它商品的成本商品價格的下限是多少？生產者愿意接受的最低價生產商品的所有成本期權價格的上限與下限的理解

商品價格的上限是多少？期權上下限的總結（以歐式為主）看漲期權多頭的最大利潤/看漲期權空頭的最大損失MAX(ST-Ke-r(T-t),0)看漲期權的上下限上限：S（S）下限：S-Ke-r(T-t)（MAX(S-Ke-r(T-t),S-K)）看跌期權多頭的最大利潤/看漲期權空頭的最大損失MAX(Ke-r(T-t)-ST,0)看跌期權的上下限上限：Ke-r(T-t)（K）下限：Ke-r(T-t)-S（MAX(Ke-r(T-t)-S,K-S）期權上下限的總結（以歐式為主）看漲期權多頭的最大利潤/看漲期看漲期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權多頭可以花S持有股票到期，也可以用c（C）購買看漲期權，如果期權費高于S，直接持有股票到期最經濟，因此只有c≤S,(C≤S)才能吸引期權購買者如何理解上限S近似理解為多頭（需求方）的最大效用當c>S，(C>S)如何套利呢賣出一個看漲期權，收入c（C），買入一個現貨，支出S到時至少還收獲K看漲期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看漲期權多頭可以花S看跌期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權的價值＝PV（施權價）－PV（股票價格）p≤Ke-r(T-t),(P≤K)如何理解上限Ke-r(T-t)（K）近似理解為多頭（需求方）的最大效用當p>Ke-r(T-t)，(P>K)如何套利呢賣出一個看跌期權，收入p（P）到時最多支出K看跌期權價格的上限

（歐式、美式都適用）看跌期權的價值分析思路在無套利情況下，兩個投資組合的收益與成本應該保持一致。收益高的組合，理應成本高成本高的組合，理應收益高成本相等，理應收益相等收益相等，理應成本相等否則，以上均存在套利空間套利策略：借入效率低的組合后賣掉，買入效率高的組合獲得收益后，還借入的低效率組合或直接賣掉已擁有的效率低的組合，買入效率高的組合分析思路在無套利情況下，兩個投資組合的收益與成本應該保持一致歐式（美式）看漲期權的下限兩個資產組合（鎖定未來擁有一個股票的價格）組合A:一個歐式看漲期權多頭+期權到期時K收入的零息債券多頭組合B:買入歐式看漲期權對應的股票

到期時組合A的價值Max(StK)>=組合B的價值St,無套利情況下，組合A的成本>組合B的成本

c+Ke-r(T-t)>=S，從而，c>=S-Ke-r(T-t)怎么理解下限max(S-Ke-r(T-t),0)近似看成看漲期權空頭的提供期權產品的凈成本美式看漲期權的下限max(S-Ke-r(T-t),0)C>c>S-Ke-r(T-t),C>S-K,S-Ke-r(T-t)>S-K歐式（美式）看漲期權的下限兩個資產組合（鎖定未來擁有一個股票歐式美式看漲期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看漲期權施權價為18元，離到期還有一年時間（期間無股息），無風險利率為10%，問該看漲期權的最低價格是多少？假如該期權目前報價3.00元，你將如何操作進行套利？該看漲期權的價值下限為S－Ke-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝3.71報價低于價值下限，即c<S-Ke-r(T-t)c+Ke-r(T-t)<S,

(S-c)er(T-t)>K思路借入股票后賣掉，獲得S(20)元，買入看漲期權，支出c(3)元，并將S-c（17）元按無風險利率借貸出去，收益大于到期時股票最高購買價K.若對于美式看漲期權，當c+K<S，如何套利呢？借入股票賣掉，同時買入美式看漲期權，馬上以最多K購入股票歐式美式看漲期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看歐式美式看跌期權的下限兩個資產組合（鎖定未來賣出一個股票的價格）組合C:一個歐式看跌期權多頭+買入期權對應的股票組合D:期權到期時有K收入的零息債券

到期時組合C的價值Max(StK)>=組合D的價值K無套利情況下，組合A的成本>組合B的成本p+S>=Ke-r(T-t),p>=Ke-r(T-t)-S如何理解下限max(Ke-r(T-t)-S,0)近似看成看跌期權空頭的提供期權產品的凈成本美式看跌期權的下限max(K-S,0)P>p>Ke-r(T-t)-S,P>K-S,K-S>Ke-r(T-t)-S歐式美式看跌期權的下限兩個資產組合（鎖定未來賣出一個股票的價歐式美式看跌期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看跌期權施權價為24元，離到期還有一年時間，無風險利率為10%，問該看跌期權的最低價格是多少？假如該期權目前報價1.00元，你將如何操作進行套利？？該看漲期權的價值下限為Ke-r(T-t)－S＝24e-0.1－20＝1.71

報價低于價值下限，即p<Ke-r(T-t)-Sp+S<Ke-r(T-t)，

(p+S)er(T-t)<K

思路借入p+S（21），購買股票和看跌期權，期權到期時賣出股票收益至少為K（24），只需還(p+S)er(T-t)。若美式看跌期權的市場價p<其下限K-S時，如何套利？

思路借入p+S（21），購買股票和看跌期權，馬上賣出至少獲利K24歐式美式看跌期權下限：套利例子假設股票A現價20元，某歐式看看跌—看漲平價關系式

-——歐式期權兩個資產組合組合A:一個歐式看漲期權多頭+期權到期時K收入的零息債券多頭組合C:一個歐式看跌期權多頭+買入期權對應的股票到期時如果ST>K，則組合A和組合B的價值均為ST

如果ST≤K，則組合A和組合B的價值均為K無套利情況下，組合A的成本=組合c的成本c+Ke-r(T-t)=p+S如果股票在持有期有股息現值I組合A中的零息債券變為到期時有（K+Ier(T-t)）收入c+Ke-r(T-t)+I=p+S看跌—看漲平價關系式

復合證券（持有期間無股息時）無套利時的平價關系c+Ke-r(T-t)=p+S平價關系的變形c=p+S-Ke-r(T-t)p=c+Ke-r(T-t)-SS=c+Ke-r(T-t)-pKe-r(T-t)=p+S-cS-c=Ke-r(T-t)-p......平價關系應用一（如c=p+S-Ke-r(T-t)）間接計算期權、標現貨及無風險證券的合理價格（成本）平價關系應用二：分解組合從而復制（如S-c=Ke-r(T-t)-p）等式右邊表示（存入Ke-r(T-t)，做空看跌期權）組合的成本等式左邊表示（做多現貨，做空看漲期權）組合的成本可以證明二者的到期時損益一樣（移項相當于在基礎公式兩邊加減同樣的成本，也相當于在策略A與B的基礎上增加同一個投資品，最終的收益當然一樣）復合證券（持有期間無股息時）無套利時的平價關系看跌—看漲平價關系式

-——歐式期權(套利例子一)

某股票現價為20元，施權價為21元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權價格分別為3.00元和1.00元，無風險利率為10%，問以上數據是否符合期權平價公式，如果不是，你將如何進行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）=3.00＋20e-0.1＝21.10組合B成本p+S=1+20＝21，組合A成本大于組合B套利策略c+Ke-r(T-t）>p+S，(p+S-c)er(T-t）<K,大收小支法1賣出看漲期權收獲c，再借入Ke-r(T-t），用p+S買入看跌期權和股票，到期時支出與收益相同。法2賣掉股票和看跌期權，購買看漲期權，余下的錢購買無風險證券，到期最多花K買入股票歸還看跌—看漲平價關系式

看跌—看漲平價關系式

-——歐式期權(套利例子二)

某股票現價為20元，施權價為20元，離到期尚有一年的歐式看漲和看跌期權價格分別為2.00元和1.00元，無風險利率為10%，問以上數據是否符合期權平價公式，如果不是，你將如何進行套利？組合A成本c+Ke-r(T-t）+D=2.00＋20e-0.1＝20.10組合B成本p+S=20＋1.00＝21.00，組合A成本小于組合B套利策略：c+Ke-r(T-t）<p+S，(p+S-c)er(T-t）>K

同前例子一看跌—看漲平價關系式

-

看跌—看漲平價關系式

——美式期權(沒有股息時)

可以證明S-K<C－P<S－Ke-r(T-t)

看跌—看漲平價關系式

期權定價思路利用期權與現貨構造一個未來收益為常數的無風險投資組合，在無套利的情況下，該投資組合的收益率為市場無風險收益率。如何說明投資組合未來收益函數（sT，T）為常數（二叉樹）未來收益為離散函數：各情況下收益相等（B-S）未來收益為連續函數：收益關于sT的偏導為0歐式與美式期權定價先講且主要講歐式期權現貨期權與期貨期權定價先講且主要講現貨期權期權定價思路二叉樹定價（主要以股票期權為例）未來收益為常數的證券組合收益率歐式期權二叉樹定價（N=2）對風險中性世界相關概念的理解和應用多步歐式期權二叉樹定價（N>2）相關參數的求解其它標的物期權定價美式期權二叉樹定價定價二叉樹定價（主要以股票期權為例）未來收益為常數的證券組合收益現在用S購買一個證券組合，未來T時刻的證券組合收益在任何情況下均為常數Sc。請問該證券組合的合理收益率應該是多少應該是無風險利率，否則存在套利空間1在同樣收益下，用低效率策略借錢，用部分錢做多高效率的組合，未來以高效率組合的收益抵消低效率策略的支出2以低效率借錢，用在高效率上，未來以高效率部分收益歸還低效率借錢成本如何構造無風險收益證券組合？在未來每一種情況下證券組合的收益均相等例子：D為多少時，組合（D股股票多頭+1看漲期權空頭）才是無風險收益證券組合呢？假設各證券收益均服從兩點分布，此時一份期權只包括一股股票。未來收益為常數的證券組合收益現在用S購買一個證券組合，未來T金融衍生工具--期權定價課件美式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前價格為21美元，2年后股價要么23美元，要么18美元，無風險利率為8%。請問行使價格為22美元的期限為2年后的美式式看漲期權的當前價格f是多少？（到期日的內在價值等于期權價格）美式期權可以到期前在任意時刻行權，在二叉樹假設下，美式期權除了和歐式一樣在到期時行權（價值同歐式期權），也可以在簽定合約時馬上行權（MAX(0,S0-K)）。美式期權的價值就是這兩類選擇價值的最大值。本題中到期行權價值為前面中的歐式期權價格f0,馬上行權的價值為0，所以該美式期權價格為f0美式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前歐式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前價格為S(21)美元。T時后（2年后）股價要么Su(23)美元，此時期權價格為?u，要么Sd(18)美元，此時期權價格為?d。無風險利率為r(8%)。請期限為T的歐式期權的當前價格f是多少？方法1構造無風險收益組合：D股股票多頭+1期權空頭

SuD–?u=SdD–?d，2無風險收益組合的收益率等于無風險利率（S

D–f）erT=SdD–?d,f=歐式期權二叉樹定價（對于看漲看跌均成立，D可正可負）股票當前FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

對風險中性世界相關概念的理解和應用

對于二叉樹定價公式的理解風險中性世界中，任何證券或組合價格要么以概率p上升為S0u，要么以概率1-p下降到S0d,可證其預期收益率為無風險收益率應用先用無風險收益組合中的標的價格求p，再求f例子：用期權標的物（股票）

96FundamentalsofFuturesandOpFundamentalsofFuturesandOptionsMarkets,7thEd,Ch1,Copyright?JohnC.Hull2010

增加二叉樹的時間步數

一步二叉樹的不足只利用了現在與到期時（對沖時）的數據，精確度不高，尤其是離到期或對沖較遠時；到期時只有兩個情境，與現實差異大。多步二叉樹（到期時3個以上的情境）把期權的期限分割成N段（N>1）,從前往后，第i段有至多2i個二叉樹，從后往前依次計算各段的期權價格。二步二叉樹例子股票當前價格為21美元，1年后股價要么23美元，要么18美元。如果1年后股價為23（18）美元，2年后股價要么25（23）美元，要么17（15）美元。無風險利率為8%。請問行使價格為22美元的期限為2年的歐式看漲期權的當前價格f是多少？

97FundamentalsofFuturesandOp多步歐式期權二叉樹定價

（一般）：三步為例（其它類似）SfSufuSdfdSuufuuSddfddSudfud從最后的節點往前按單步二叉樹計算98多步歐式期權二叉樹定價

（一般）：三步為例（其它類似）SSu看跌期權的定價與套利股票當前價格為21美元，3個月后股價要么23美元（fu），要么18美元(fd)，無風險利率為8%。請問行使價格為22美元的期限為3個月后的歐式看跌期權的當前價格f是多少？（到期日的內在價值等于期權價格）法一：構造無風險組合計算D股股票多頭+1份看跌期權空頭（D為負）法二：看漲看跌平價公式c+Ke-r(T-t)=p+S法三：期權期望值的無風險折現方法若該期權市場價f>f0,如何套利呢？組合的收益率大于無風險收益率，用無風險收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權市場價f<f0,如何套利呢？組合的收益率大于無風險收益率，用無風險收益率借入資金21D-f0，做多N份（>1）組合成本，到期時一份組合的收益剛好用于還本付息。若該期權市場價f<f0,如何套利呢？組合的收益率小于無風險收益率，做空組合收益21D-f，全部存在銀行，到期存款的本息大于做多組合的成本看跌期權的定價與套利股票當前價格為21美元，3個月后股價要么Delta的本質及各步Delta

計算Delta的本質1期權的短頭寸方為了實現無風險組合而買入股票的數量2股票期權價格的變化與標的股票價格變化之比。采用期權與股票進行無風險對沖時，應該從左到右順時計算并調整組合中所持股票數量

Delta的本質及各步Delta

計算Delta的本質Delta的本質及各步Delta

計算（動態Delta對沖）股票當前價格為21美元，1年后股價要么23美元，要么18美元。如果1年后股價為23（18）美元，2年后股價要么25（23）美元，要么17（15）美元。無風險利率為8%。如何實現組合無風險收益呢？現在的DeltaD0=(fu-fd)/(23-18)1年后的Delta1年后股價為23美元時，D1=(fuu-fud)/(25-17)1年后股價為18美元時，D1=(fdu-fdd)/(23-15)若D1>(<)D0,則增加D1-D0份股票（減少D0-D1）Delta的本質及各步Delta

計算（動態Delta對沖）u、d，p的計算

u、d，p的計算其它標的物期權定價有股息的股票期權定價股指期權定價外匯期權定價期貨期權定價思路先利用標的物求p，再利用p及r對未來期權期望折現1與無股息股票相比，有股息股息、股指、外匯的購買成本為S-I或Se-qDt2與無股息股票相比，期貨期權相對現貨期權在期初，購買標的物的購買成本為0，在期貨的“購買成本”為Fe-rDt，Dt為期權的期限，而非期貨的期限其它標的物期權定價有股息的股票期權定價期貨式期權（期權期貨）定價思路本質上是期貨，定價與期貨一致不過此時S為期貨到期時交割的期權在此時的價格這個期權價格用一般的期權定價公式可得期貨式期權（期權期貨）定價思路美式期權二叉樹定價：以兩步，每個步長1年，K=52的美式看跌期權為例（同時與歐式比較）從樹圖的最后末端向開始的起點倒推計算，在每個節點檢驗提前執行是否最佳（決定行使時間從左到右）。在樹的底部期（到期日）權價格為歐式期權價格，在較早節點，期權價格為以下數量的最大值（此時假設只能在開始、中間及到期時行權）：由方程式求出的值(買賣期權市場價)提前執行所得的收益（行權收益）從上到下：現貨市價、（期權市場價）、（提前行權收益）505.0892601.414(-8)409.463127203220484105美式期權二叉樹定價：以兩步，每個步長1年，K=52的美式看跌B-S定價（未來價格連續的無限步二叉樹方法，即IN(sT）為正態分布二叉樹的不足及與B-S定價的關系B-S的假設幾種不同情況下的B-S期權定價公式對B-S期權定價公式的理解B-S定價（未來價格連續的無限步二叉樹方法，即IN(sT）為二叉樹的不足及與B-S定價的關系

二叉樹定價的不足其假設未來資產價格分布為有限離散，不符合事實，利用的信息較少，定價不夠準確（尤其對于美式期權定價）。美式期權只能在離散點行權。B-S定價與二叉樹定價的關系1B-S假設未來資產價格變動符合幾何布朗運動，B-S定價是二叉樹定價中未來情境數及步數取無窮大的極限值2B-S定價與二叉數定價類似采取構造無風險證券組合，再利用無風險證券組合收益率為無風險利率進行求解二叉樹的不足及與B-S定價的關系

二叉樹定價的不足B-S的假設（除加粗部分外，其它都是二叉樹定價的假設）⒈期權的標的股票為一有風險的資產，其現行價格為S。這種資產可以賣空。⒉期權是歐式期權，其執行價格為K，期權期限為T（以年表示）。⒊在期權到期日之前，標的股票無任何收益（如股息、利息等）的支付，于是，標的股票價格的變動是連續的，且是均勻的，既無跳空上漲，也無跳空下跌。B-S的假設（除加粗部分外，其它都是二叉樹定價的假設）⒈期權B-S的假設⒋存在一個固定的無風險利率，投資者可以以此利率無限制的借入或貸出資金。⒌不存在影響收益的任何外部因素，如稅負、交易成本及保證金等。于是，標的股票持有者的收益僅來源于價格的變動。⒍標的股票價格的波動率為一已知常數。⒎標的股票價格的變動符合μ和σ為常數的幾何布朗運動。8.期權（衍生品）價格只受現貨價格st和t決定。（隱含假設）B-S的假設⒋存在一個固定的無風險利率，投資者可以以此利率無2022/12/18幾何布朗運動（維納過程）滿足下列兩個性質的隨機變量Wt服從維納過程，也稱為標準布朗運動（Brownianmotion）。性質1在短時間Δt內，變量ΔW為其中性質2在任意不同短時間內，變量ΔW相互獨立。110/442022/12/14幾何布朗運動（維納過程）