2023高考數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合．為自然數集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．2．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內有無數條直線與β平行B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面3．已知函數，則（）A． B．1 C．-1 D．04．在中，為邊上的中點，且，則（）A． B． C． D．5．若的內角滿足，則的值為（）A． B． C． D．6．已知，，分別是三個內角，，的對邊，，則（）A． B． C． D．7．已知函數，，若對任意的，存在實數滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．58．若復數滿足（是虛數單位），則（）A． B． C． D．9．的展開式中含的項的系數為（）A． B．60 C．70 D．8010．已知函數且的圖象恒過定點，則函數圖象以點為對稱中心的充要條件是()A． B．C． D．11．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．12．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點，與軸的正半軸交于點，與準線交于點，且，則（）A． B．2 C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為偶函數，且當時，；當時，．關于函數的零點，有下列三個命題：①當時，存在實數m，使函數恰有5個不同的零點；②若，函數的零點不超過4個，則；③對，，函數恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數列．其中，正確命題的序號是_______．14．已知實數，對任意，有，且，則______.15．已知向量，，若向量與向量平行，則實數___________．16．甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業的實習，每個企業兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業”的概率為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，平面分別是上的動點，且.（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）當平面平面時，求平面與平面所成的二面角的余弦值.18．（12分）已知函數，.（1）求函數在處的切線方程；（2）當時，證明：對任意恒成立.19．（12分）已知函數.（1）設，求函數的單調區間，并證明函數有唯一零點.（2）若函數在區間上不單調，證明：.20．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現在市場上流行多種可實現語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯程度，從某地區隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數據如下：“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據列聯表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調劑1人到該店維持營業，否則該店就停業.（1）求發生調劑現象的概率；（2）設營業店鋪數為X，求X的分布列和數學期望.22．（10分）自湖北武漢爆發新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來，武漢醫護人員和醫療、生活物資嚴重缺乏，全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時，湖北省累計接收捐贈物資615.43萬件，包括醫用防護服2.6萬套N95口軍47.9萬個，醫用一次性口罩172.87萬個，護目鏡3.93萬個等.中某運輸隊接到給武漢運送物資的任務，該運輸隊有8輛載重為6t的A型卡車，6輛載重為10t的B型卡車，10名駕駛員，要求此運輸隊每天至少運送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數：A型卡車16次，B型卡車12次；每輛卡車每天往返的成本：A型卡車240元，B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛，運輸隊所花的成本最低？

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

集合．為自然數集，由此能求出結果．【題目詳解】解：集合．為自然數集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【答案點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．B【答案解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷．【題目詳解】由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【答案點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．3．A【答案解析】

由函數，求得，進而求得的值，得到答案.【題目詳解】由題意函數，則，所以，故選A.【答案點睛】本題主要考查了分段函數的求值問題，其中解答中根據分段函數的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.4．A【答案解析】

由為邊上的中點，表示出，然后用向量模的計算公式求模.【題目詳解】解：為邊上的中點，，故選：A【答案點睛】在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.5．A【答案解析】

由，得到，得出，再結合三角函數的基本關系式，即可求解.【題目詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【答案點睛】本題主要考查了正弦函數的性質，以及三角函數的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.6．C【答案解析】

原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【題目詳解】解：由及正弦定理得.因為，所以代入上式化簡得.由于，所以.又，故.故選：C.【答案點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.7．A【答案解析】

根據條件將問題轉化為，對于恒成立，然后構造函數，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【題目詳解】，，對任意的，存在實數滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.,將代入得：，，且，故選：A【答案點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉化思想，屬于難題.8．B【答案解析】

利用復數乘法運算化簡，由此求得.【題目詳解】依題意，所以.故選：B【答案點睛】本小題主要考查復數的乘法運算，考查復數模的計算，屬于基礎題.9．B【答案解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【題目詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數為．故選：B【答案點睛】本題考查了二項式系數的求解，考查了學生綜合分析，數學運算的能力，屬于基礎題.10．A【答案解析】

由題可得出的坐標為，再利用點對稱的性質，即可求出和.【題目詳解】根據題意，，所以點的坐標為，又，所以.故選：A.【答案點睛】本題考查指數函數過定點問題和函數對稱性的應用，屬于基礎題.11．A【答案解析】

作于,于,分析可得,,再根據正弦的大小關系判斷分析得,再根據線面角的最小性判定即可.【題目詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選：A【答案點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據題意確定角度的正弦的關系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.12．B【答案解析】

過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質可構造方程求得，進而求得結果.【題目詳解】過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由拋物線解析式知：，準線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質得：，解得：，.故選：.【答案點睛】本題考查拋物線定義與幾何性質的應用，關鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【答案解析】

根據偶函數的圖象關于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.【題目詳解】解：當時又因為為偶函數可畫出的圖象，如下所示：可知當時有5個不同的零點；故①正確；若，函數的零點不超過4個，即，與的交點不超過4個，時恒成立又當時，在上恒成立在上恒成立由于偶函數的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點不超過個，則，故②正確；對，偶函數的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【答案點睛】本題考查函數方程思想，數形結合思想，屬于難題.14．-1【答案解析】

由二項式定理及展開式系數的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【題目詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【答案點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．15．【答案解析】

由題可得，因為向量與向量平行，所以，解得．16．【答案解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計算公式．【題目詳解】解：甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業的實習，每個企業兩人，共有種，甲乙在同一個公司有兩種可能，故概率為，故答案為．【答案點睛】本題考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）首先由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質定理即可得證；（2）以點為坐標原點，，所在的直線分別為軸，以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【題目詳解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因為平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以.若平面平面，則平面，所以，由且，又，所以.以點為坐標原點，，所在的直線分別為軸，以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標系，則，，設則由，可得，，即，所以可得，所以，設平面的一個法向量為，則，，，取，得所以易知平面的法向量為，設平面與平面所成的二面角為，則，結合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查線面平行的判定定理及性質定理的應用，利用空間向量法求二面角，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養，屬于中檔題．18．（1）（2）見解析【答案解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）要證對任意恒成立，即證對任意恒成立.設，，當時，，即可求得答案.【題目詳解】（1），，，函數在處的切線方程為.（2）要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設，，當時，，，令，解得，當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增.，，，當時，對任意恒成立，即當時，對任意恒成立.【答案點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握由導數求切線方程的解法和根據導數求證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.19．（1）為增區間；為減區間.見解析（2）見解析【答案解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導數求得的單調區間，結合零點存在性定理判斷出有唯一零點.（2）求得的導函數，結合在區間上不單調，證得，通過證明，證得成立.【題目詳解】（1）∵函數的定義域為，由，解得為增區間；由解得為減區間.下面證明函數只有一個零點：∵，所以函數在區間內有零點，∵，函數在區間上沒有零點，故函數只有一個零點.（2）證明：函數，則當時，，不符合題意；當時，令，則，所以在上單調增函數，而，又∵區間上不單調，所以存在，使得在上有一個零點，即，所以，且，即兩邊取自然對數，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【答案點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間和零點，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.20．（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【答案解析】

（1）根據題意，知100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區購買“小愛同學”的女性人數和購買“天貓精靈”的女性的人數，即可求得答案；（2）根據列聯表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結論.【題目詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計購買“小愛同學”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，