第五節兩個隨機變量的函數的分布1、二維離散型隨機變量的函數分布例設（X,Y）分布律為求

X+Y,X-Y,XY及X/Y的分布.解：先列出下表1/31/321/30121

YXP01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)XY2334XY0110XY1224X/Y11/221于是X+Y的分布律為X+Y234P02/31/3同理X-Y的分布律為X-Y-101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XY及X/Y的分布律分別為XY124P02/31/3例.設隨機變量X，Y是相互獨立的，且X,Y等可能地取0，1為值，求隨機變量Z=max(X,Y)的分布列。解:X01P1/21/2Y01P1/21/2(X,Y)的取值數對為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值為:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)==3/4所以,Z的分布列為Z01P1/43/4P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)

例.

設隨機變量X1與X2相互獨立，分別服從二項分布B(n1,p)

和B(n2,p)，求Y=X1+X2的概率分布.解:依題知Y的可能取值為0,1,2,...,n1+n2,因此對于k(k=0,1,2,...,n1+n2)，由于獨立性有由得所以Y=X1+X2服從二項分布B(n1+n2,p)二項分布的可加性設(X,Y)為連續型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續函數)。大部分情況下，Z是一連續型隨機變量。為求Z的概率密度，可先求出Z的分布函數2、二維連續型隨機變量的函數分布即首先找出上式右端的積分區域Dz。如果求得了FZ(z),那么可通過求出Z的概率密度。求解過程中，關鍵在于將事件{Z≤z}等價地轉化為用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。例：設且X與Y相互獨立，求的概率密度。由于X與Y相互獨立，于是(X,Y)的概率密度為分布函數法，先求Z的分布函數FZ(z)解：X和Y的概率密度分別為當z<0時FZ(z)=0當z≥0時所以于是可得的概率密度如果一隨機變量的概率密度為上式，稱該隨機變量服從參數為的瑞利分布。由題可知，若X,Y獨立服從同一分布則服從參數為的瑞利分布。設(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)，現求Z=X+Y的概率密度。令，則Z的分布函數為(1)和的分布

固定z和y對積分作換元法，令x+y=u得于是：由概率密度定義，即得Z的概率密度為由X與Y的對稱性，又可得當X與Y相互獨立時，有其中分別是X和Y的密度函數。定理:兩個獨立的連續型隨機變量的和仍為連續型隨機變量.即:若X,Y獨立，X~f1(x),Y~f2(y),Z=X+Y,則卷積公式推論1:兩個獨立的正態分布的隨機變量的和仍服從正態分布.即:若X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2獨立,則X1+X2~N(μ1+μ2,σ12+σ22)正態分布的可加性推論2:有限個獨立的正態分布的線性函數仍服從正態分布.即:若Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互獨立,實數a1,a2,...,an不全為零,則例.設X和Y獨立同標準正態分布N(0,1),(1)求Z=X+Y的概率密度;(2)求Z=X-Y的概率密度.解:(1)Z=X+Y~N(0,2),所以Z=X+Y~FZ(z)=(2)同理可得Z=X-Y~FZ(z)=Z=X-Y~N(0,2)例.設隨機變量X與Y獨立,X～U(0,1),Y～E(1).試求

(1)(X,Y)的聯合密度函數;(2)Z=X+Y的概率密度函數。解:(1)(X,Y)~f(x,y)=f1(x)f2(y)=z<000≤z≤1z>1(x<0或y=z-x<0)y=z-x>0x=z-y≤zy=z-x>0x=z-y≤z(2)即:證：由定義，Z=X+Y的概率密度為當z≤0時fZ(z)=0證明：X+Y服從參數為的分布

例：設X，Y是相互獨立且分別服從參數1,和

2,的分布，即X，Y的概率密度分別為當z>0時,綜上所述，Z=X+Y的概率密度為這正是參數為的分布的概率密度。XYXY解:(1)串聯情況XY(2)并聯情況XY1．設成年人群的體重與身高組成二維隨機向量（X，Y），歷史資料表明（X，Y）服從二維正態分布，參數分別為μ=55，σ=10，μ=170，σ=8，ρ=0.90，求X和Y的邊緣分布。3．電子管的壽命為一隨機變量，其概率密度為某一無線電器材內配有三個這樣的電子管，求使