期權(quán)定價的二項式方法

1).定價原理2).二項式定價的基本過程3).期權(quán)定價的二項式公式4).二項式定價公式推導(dǎo)5).美式期權(quán)的定價期權(quán)定價的二項式方法1).定價原理1).定價原理無套利定價原理:

具有相同收益不同頭寸的價格應(yīng)該相同。在到期日現(xiàn)金流完全相同的兩個組合，它們期初的現(xiàn)金流必定也完全相同(債券期貨為例).期權(quán)在到期日的執(zhí)行與否是不確定的，這種不確定性使得在到期日的收益變得不確定,因而難于直接利用無套利原理對期權(quán)進(jìn)行定價。1).定價原理無套利定價原理:

克服困難不確定性,以便采用無套利原理對期權(quán)進(jìn)行定價:

二項式定價方法，布萊克—舒爾斯定價方法,

蒙特卡羅模擬法。二項式方法(二叉樹方法)

把整個持有期分成若干個時間區(qū)間,并假定在每個時間區(qū)間內(nèi)股票的價格只有上升和下降兩種狀態(tài),且價格上升和下降的百分比也已知,這樣可以得出股票在期權(quán)到期日有限個確定的價格狀態(tài),從而克服了不確定性.克服困難不確定性,以便采用無套利原理對期權(quán)進(jìn)行定價:期權(quán)的價格就可以利用無套利原理從這有限個確定的股票價格(期權(quán)的收益)來進(jìn)行估計.表面看把股票價格的變動只有兩種可能,現(xiàn)實中,股票價格可是千變?nèi)f化.不過我們可以通過增加期數(shù)來擴大股票價格變動的范圍.

時間區(qū)間分得越小,在到期日確定的股票價格狀態(tài)越多,計算越復(fù)雜,所得期權(quán)價格估計越接近于真實的價格.期權(quán)的價格就可以利用無套利原理從這有限個確定的股票價格(期權(quán)2).二項式定價的基本過程

設(shè)有這樣一個以某股票為標(biāo)的資產(chǎn)的3月期歐式買入期權(quán)，股票現(xiàn)行的市場價格為30元，期權(quán)確定的執(zhí)行價格為31元。設(shè)已知3個月后股票價格要么上升10%，要么下降10%，市場的無風(fēng)險利率為10%(年利率)，試確定該期權(quán)的價格。2).二項式定價的基本過程設(shè)有這樣一個以某股票為標(biāo)的股票價格樹:

給出股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價格.期權(quán)價值樹:

根據(jù)股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價格以及期權(quán)確定的執(zhí)行價格,給出期權(quán)在相應(yīng)狀態(tài)的價值,其在初始狀態(tài)的價值就是要確定的期權(quán)價格.無風(fēng)險收益樹:

無風(fēng)險資產(chǎn)在不同階段不同狀態(tài)的價格,這是進(jìn)行無套利定價的標(biāo)準(zhǔn).303327(a)股票價格樹11.0251.025(c)無風(fēng)險收益樹?20(b)期權(quán)價值樹股票價格樹:給出股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價格.3033無風(fēng)險資產(chǎn)在每個階段的收益率應(yīng)該根據(jù)無風(fēng)險資產(chǎn)的年收益率及每個階段的時間長度來確定.在本例中,每階段無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為10%/4=0.025確定期權(quán)的價格無套利定價:考慮組合買入A股該股票和賣出該股票的一份買入期權(quán)組成。要求組合在期權(quán)到期日的收益無論股票價格是升還是降都應(yīng)同無風(fēng)險投資的收益相等。

無風(fēng)險資產(chǎn)在每個階段的收益率應(yīng)該根據(jù)無風(fēng)險資產(chǎn)的年收益率及每買權(quán)未來價值是不確定的,有風(fēng)險.買權(quán)和股票組合可以消除這種風(fēng)險.同時來考慮是否能從中找到期權(quán)的價值.如果按比例持有股票和賣出相應(yīng)的期權(quán),股票上漲的收益可能被期權(quán)的損失彌補買權(quán)未來價值是不確定的,有風(fēng)險.買權(quán)和股票組合可以消除這種風(fēng)首先確定應(yīng)買入的股票數(shù)A使得組合在期末的收益在兩種狀態(tài)(價升或價降)下都相同。如果股票價格上升至33元，組合在到期日的價值為，其中2是期權(quán)被執(zhí)行后投資者的付出；如果股票價格下降至27元，期權(quán)不被執(zhí)行，組合的價值為。在到期日這兩個值應(yīng)相等，且應(yīng)等于無風(fēng)險投資的收益。首先確定應(yīng)買入的股票數(shù)A使得組合在期末的收益在兩種狀態(tài)(價升

令，解之得，即該組合應(yīng)由買入1/3股該股票和賣出一份該股票的買入期權(quán)組成。無論股票的價格是升還是降，組合在期末的價值令

根據(jù)無套利原理，這就要求無風(fēng)險投資在期末的收益同為9元，因而期初用于無風(fēng)險投資的資金應(yīng)為這也應(yīng)該是期初用于投資組合的資金，由此得買入期權(quán)的價格應(yīng)該定為1.22元根據(jù)無套利原理，這就要求無風(fēng)險投資在期末的收益同為9元3).期權(quán)定價的二項式公式符號:

股票在期初的價格,

期權(quán)確定的執(zhí)行價格,

股票價格在單個時間階段內(nèi)的上升因子股票價格在單個時間階段內(nèi)的下降因子(-)

期權(quán)在股票價格上升狀態(tài)下的收益期權(quán)在股票價格下降狀態(tài)下的收益年無風(fēng)險收益率期權(quán)的期限3).期權(quán)定價的二項式公式符號:期權(quán)在股票價格上升狀態(tài)下的收益期權(quán)在股票價格下降狀態(tài)下的收益構(gòu)建一個組合，買入A股股票，賣出一份買入期權(quán)組成，要求在期權(quán)到期日無論何種情況出現(xiàn)，組合的價值相同期權(quán)在股票價格上升狀態(tài)下的收益根據(jù)無套利原理,買入期權(quán)的價格C應(yīng)滿足方程將A代入得根據(jù)無套利原理,買入期權(quán)的價格C應(yīng)滿足方程將A代入得

市場的上升狀態(tài)價格因子市場的下降狀態(tài)價格因子上升狀態(tài)價格因子和下降狀態(tài)價格因子僅同股票價格在每個階段的上升因子、下降因子、期權(quán)有效期(每個時段)的長短以及期權(quán)有效期內(nèi)的無風(fēng)險收益率有關(guān)，而同股票價格和期權(quán)確定的執(zhí)行價格無關(guān)。市場的上升狀態(tài)價格因子對上述例子的應(yīng)用

對上述例子的應(yīng)用在期權(quán)價值樹上進(jìn)行計算C1.22200.36420.61111

計算期權(quán)價格的價格樹(二叉樹)

在期權(quán)價值樹上進(jìn)行計算C1.22200.四個時段的情形考慮以某一股票為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行期限為T的買入期權(quán)，設(shè)股票的現(xiàn)行價格為元，期權(quán)確定的執(zhí)行價格為。設(shè)把期權(quán)的有效期分為時間相同的4個階段，預(yù)計股票價格在每階段要么上升10%，要么下降5%，每階段內(nèi)無風(fēng)險收益率為5%,確定期權(quán)的價格.四個時段的情形生成股票價格樹606672.679.8687.8465754.1562.751.442568.9759.56548.870465.521575.86756.5868股票價格樹

到第四階段末，即期權(quán)的到期日，股票價格已經(jīng)有5個狀態(tài)。如果我們把整個有效期分成n個階段，那么到期權(quán)的到期日(最后一個階段末)，股票價格將有n+1個可能的狀態(tài)。生成股票價格樹606672.679.8687.8465754計算相關(guān)數(shù)據(jù)根據(jù)期權(quán)確定的執(zhí)行價格以及股票在最后階段不同狀態(tài)的價格，計算期權(quán)在最后階段各狀態(tài)的價值.計算相關(guān)數(shù)據(jù)根據(jù)期權(quán)確定的執(zhí)行價格以及股票在最后階段不同狀態(tài)7.5710.313.7918.0322.8463.080.224.690.07.140.3300.521510.8670計算期權(quán)在不同狀態(tài)的價值期權(quán)價格樹

7.5710.313.7918.0322.8463.080.

4).二項式定價公式推導(dǎo)對于第3階段各狀態(tài)的期權(quán)價值有對于第2階段各狀態(tài)期權(quán)價值有4).二項式定價公式推導(dǎo)對于第2對于第1階段各狀態(tài)的期權(quán)價值有對于第1階段各狀態(tài)的期權(quán)價值有期初的價值(期權(quán)的價格)

期初的價值(期權(quán)的價格)把持有期分成n個相同時段的情形假定每階段內(nèi)股票價格上升或下降的因子相同,無風(fēng)險收益率相同.把持有期分成n個相同時段的情形歐式賣出期權(quán)的二項式定價公式例7：計算在下列股票上執(zhí)行期限為一年的歐式買入和賣出期權(quán)的價格，已知該股票的現(xiàn)行價格為60元，無風(fēng)險年收益率為5%，買入期權(quán)的執(zhí)行價格為62元，賣出期權(quán)確定的執(zhí)行價格為61元。設(shè)把執(zhí)行期限等分為兩個階段，經(jīng)估計得每階段股票價格要么上升8%，要么下降4%。歐式賣出期權(quán)的二項式定價公式例7：計算在下列股票上執(zhí)行期限為首先計算相關(guān)參數(shù)對于買入期權(quán)

首先計算相關(guān)參數(shù)對于買入期權(quán)對于賣出期權(quán)對于賣出期權(quán)參數(shù)計算的簡化設(shè)每個階段的無風(fēng)險收益率則有參數(shù)計算的簡化在一般情況下，假定無風(fēng)險收益率是幾何收益率，則無風(fēng)險資產(chǎn)在每個時段的收益率為為每個時段的時間長度又可設(shè)股票價格的上升與下降幅度完全由其價格的波動率確定，則價格在每個時段的上升因子和下降因子為在一般情況下，假定無風(fēng)險收益率是幾何收益率，則無風(fēng)險資產(chǎn)在每分別將它們代入得分別將它們代入得例:右表給出了某股票過去15周(包括本周)的收盤價.現(xiàn)在有一以該股票為標(biāo)的資產(chǎn),期限為3個月(13周),執(zhí)行價格為7.5元的歐式買入期權(quán),已知無風(fēng)險資產(chǎn)的年收益率為6%,試把期限分成13個時段,用二項式方法計算該期權(quán)的價格.例:右表給出了某股票過去15周(包括本周)的收盤價.現(xiàn)在有一計算過程:(1)先估計股票價格的波動性,(2)計算二項式公式中的上升狀態(tài)因子和下降狀態(tài)因子,(3)計算股票在期權(quán)到期日各狀態(tài)的價格,以及期權(quán)在到期日各狀態(tài)的價值,(4)利用二項式公式計算期權(quán)的價格.計算過程:計算結(jié)果計算結(jié)果5).美式期權(quán)的定價買入期權(quán):

用歐式買入期權(quán)的定價公式或方法.賣出期權(quán):

由于在某些狀態(tài)下，提前執(zhí)行會優(yōu)于繼續(xù)持有期權(quán)，因此在美式賣出期權(quán)定價的價格樹上需要確定期權(quán)在每一個結(jié)點狀態(tài)的價值時都要對持有期權(quán)的價值和執(zhí)行期權(quán)的價值加以比較，并選取其中的大者作為期權(quán)在該結(jié)點的價值.

5).美式期權(quán)的定價買入期權(quán):用歐式買入期權(quán)的定價公式

表示期權(quán)在時間t的某狀態(tài)結(jié)點處的價值期權(quán)在該狀態(tài)結(jié)點的市場價值，即持有期權(quán)的價值期權(quán)在該結(jié)點的右端上方相鄰結(jié)點的價值期權(quán)在該結(jié)點的右端下方相鄰結(jié)點的價值表示期權(quán)在時間t的某狀態(tài)結(jié)點處的價值

期權(quán)在該結(jié)點提前執(zhí)行的價值上述三式結(jié)合得出期權(quán)在期權(quán)價格樹上某結(jié)點處的價值期權(quán)在該結(jié)點提前執(zhí)行的價值美式賣出期權(quán)定價的例:

美式賣出期權(quán)定價的例:606672.65754.1562.7二階段股票價格樹606672.65754.1562.7二階段股票價格樹0.000.006.850.004.0

1.47美式賣出期權(quán)價格樹

0.000.006.850.004.01.47美式賣出期權(quán)期權(quán)定價的二項式方法

1).定價原理2).二項式定價的基本過程3).期權(quán)定價的二項式公式4).二項式定價公式推導(dǎo)5).美式期權(quán)的定價期權(quán)定價的二項式方法1).定價原理1).定價原理無套利定價原理:

具有相同收益不同頭寸的價格應(yīng)該相同。在到期日現(xiàn)金流完全相同的兩個組合，它們期初的現(xiàn)金流必定也完全相同(債券期貨為例).期權(quán)在到期日的執(zhí)行與否是不確定的，這種不確定性使得在到期日的收益變得不確定,因而難于直接利用無套利原理對期權(quán)進(jìn)行定價。1).定價原理無套利定價原理:

克服困難不確定性,以便采用無套利原理對期權(quán)進(jìn)行定價:

二項式定價方法，布萊克—舒爾斯定價方法,

蒙特卡羅模擬法。二項式方法(二叉樹方法)

把整個持有期分成若干個時間區(qū)間,并假定在每個時間區(qū)間內(nèi)股票的價格只有上升和下降兩種狀態(tài),且價格上升和下降的百分比也已知,這樣可以得出股票在期權(quán)到期日有限個確定的價格狀態(tài),從而克服了不確定性.克服困難不確定性,以便采用無套利原理對期權(quán)進(jìn)行定價:期權(quán)的價格就可以利用無套利原理從這有限個確定的股票價格(期權(quán)的收益)來進(jìn)行估計.表面看把股票價格的變動只有兩種可能,現(xiàn)實中,股票價格可是千變?nèi)f化.不過我們可以通過增加期數(shù)來擴大股票價格變動的范圍.

時間區(qū)間分得越小,在到期日確定的股票價格狀態(tài)越多,計算越復(fù)雜,所得期權(quán)價格估計越接近于真實的價格.期權(quán)的價格就可以利用無套利原理從這有限個確定的股票價格(期權(quán)2).二項式定價的基本過程

設(shè)有這樣一個以某股票為標(biāo)的資產(chǎn)的3月期歐式買入期權(quán)，股票現(xiàn)行的市場價格為30元，期權(quán)確定的執(zhí)行價格為31元。設(shè)已知3個月后股票價格要么上升10%，要么下降10%，市場的無風(fēng)險利率為10%(年利率)，試確定該期權(quán)的價格。2).二項式定價的基本過程設(shè)有這樣一個以某股票為標(biāo)的股票價格樹:

給出股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價格.期權(quán)價值樹:

根據(jù)股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價格以及期權(quán)確定的執(zhí)行價格,給出期權(quán)在相應(yīng)狀態(tài)的價值,其在初始狀態(tài)的價值就是要確定的期權(quán)價格.無風(fēng)險收益樹:

無風(fēng)險資產(chǎn)在不同階段不同狀態(tài)的價格,這是進(jìn)行無套利定價的標(biāo)準(zhǔn).303327(a)股票價格樹11.0251.025(c)無風(fēng)險收益樹?20(b)期權(quán)價值樹股票價格樹:給出股票在不同階段不同狀態(tài)確定的價格.3033無風(fēng)險資產(chǎn)在每個階段的收益率應(yīng)該根據(jù)無風(fēng)險資產(chǎn)的年收益率及每個階段的時間長度來確定.在本例中,每階段無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為10%/4=0.025確定期權(quán)的價格無套利定價:考慮組合買入A股該股票和賣出該股票的一份買入期權(quán)組成。要求組合在期權(quán)到期日的收益無論股票價格是升還是降都應(yīng)同無風(fēng)險投資的收益相等。

無風(fēng)險資產(chǎn)在每個階段的收益率應(yīng)該根據(jù)無風(fēng)險資產(chǎn)的年收益率及每買權(quán)未來價值是不確定的,有風(fēng)險.買權(quán)和股票組合可以消除這種風(fēng)險.同時來考慮是否能從中找到期權(quán)的價值.如果按比例持有股票和賣出相應(yīng)的期權(quán),股票上漲的收益可能被期權(quán)的損失彌補買權(quán)未來價值是不確定的,有風(fēng)險.買權(quán)和股票組合可以消除這種風(fēng)首先確定應(yīng)買入的股票數(shù)A使得組合在期末的收益在兩種狀態(tài)(價升或價降)下都相同。如果股票價格上升至33元，組合在到期日的價值為，其中2是期權(quán)被執(zhí)行后投資者的付出；如果股票價格下降至27元，期權(quán)不被執(zhí)行，組合的價值為。在到期日這兩個值應(yīng)相等，且應(yīng)等于無風(fēng)險投資的收益。首先確定應(yīng)買入的股票數(shù)A使得組合在期末的收益在兩種狀態(tài)(價升

令，解之得，即該組合應(yīng)由買入1/3股該股票和賣出一份該股票的買入期權(quán)組成。無論股票的價格是升還是降，組合在期末的價值令

根據(jù)無套利原理，這就要求無風(fēng)險投資在期末的收益同為9元，因而期初用于無風(fēng)險投資的資金應(yīng)為這也應(yīng)該是期初用于投資組合的資金，由此得買入期權(quán)的價格應(yīng)該定為1.22元根據(jù)無套利原理，這就要求無風(fēng)險投資在期末的收益同為9元3).期權(quán)定價的二項式公式符號:

股票在期初的價格,

期權(quán)確定的執(zhí)行價格,

股票價格在單個時間階段內(nèi)的上升因子股票價格在單個時間階段內(nèi)的下降因子(-)

期權(quán)在股票價格上升狀態(tài)下的收益期權(quán)在股票價格下降狀態(tài)下的收益年無風(fēng)險收益率期權(quán)的期限3).期權(quán)定價的二項式公式符號:期權(quán)在股票價格上升狀態(tài)下的收益期權(quán)在股票價格下降狀態(tài)下的收益構(gòu)建一個組合，買入A股股票，賣出一份買入期權(quán)組成，要求在期權(quán)到期日無論何種情況出現(xiàn)，組合的價值相同期權(quán)在股票價格上升狀態(tài)下的收益根據(jù)無套利原理,買入期權(quán)的價格C應(yīng)滿足方程將A代入得根據(jù)無套利原理,買入期權(quán)的價格C應(yīng)滿足方程將A代入得

市場的上升狀態(tài)價格因子市場的下降狀態(tài)價格因子上升狀態(tài)價格因子和下降狀態(tài)價格因子僅同股票價格在每個階段的上升因子、下降因子、期權(quán)有效期(每個時段)的長短以及期權(quán)有效期內(nèi)的無風(fēng)險收益率有關(guān)，而同股票價格和期權(quán)確定的執(zhí)行價格無關(guān)。市場的上升狀態(tài)價格因子對上述例子的應(yīng)用

對上述例子的應(yīng)用在期權(quán)價值樹上進(jìn)行計算C1.22200.36420.61111

計算期權(quán)價格的價格樹(二叉樹)

在期權(quán)價值樹上進(jìn)行計算C1.22200.四個時段的情形考慮以某一股票為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行期限為T的買入期權(quán)，設(shè)股票的現(xiàn)行價格為元，期權(quán)確定的執(zhí)行價格為。設(shè)把期權(quán)的有效期分為時間相同的4個階段，預(yù)計股票價格在每階段要么上升10%，要么下降5%，每階段內(nèi)無風(fēng)險收益率為5%,確定期權(quán)的價格.四個時段的情形生成股票價格樹606672.679.8687.8465754.1562.751.442568.9759.56548.870465.521575.86756.5868股票價格樹

到第四階段末，即期權(quán)的到期日，股票價格已經(jīng)有5個狀態(tài)。如果我們把整個有效期分成n個階段，那么到期權(quán)的到期日(最后一個階段末)，股票價格將有n+1個可能的狀態(tài)。生成股票價格樹606672.679.8687.8465754計算相關(guān)數(shù)據(jù)根據(jù)期權(quán)確定的執(zhí)行價格以及股票在最后階段不同狀態(tài)的價格，計算期權(quán)在最后階段各狀態(tài)的價值.計算相關(guān)數(shù)據(jù)根據(jù)期權(quán)確定的執(zhí)行價格以及股票在最后階段不同狀態(tài)7.5710.313.7918.0322.8463.080.224.690.07.140.3300.521510.8670計算期權(quán)在不同狀態(tài)的價值期權(quán)價格樹

7.5710.313.7918.0322.8463.080.

4).二項式定價公式推導(dǎo)對于第3階段各狀態(tài)的期權(quán)價值有對于第2階段各狀態(tài)期權(quán)價值有4).二項式定價公式推導(dǎo)對于第2對于第1階段各狀態(tài)的期權(quán)價值有對于第1階段各狀態(tài)的期權(quán)價值有期初的價值(期權(quán)的價格)

期初的價值(期權(quán)的價格)把持有期分成n個相同時段的情形假定每階段內(nèi)股票價格上升或下降的因子相同,無風(fēng)險收益率相同.把持有期分成n個相同時段的情形歐式賣出期權(quán)的二項式定價公式例7：計算在下列股票上執(zhí)行期限為一年的歐式買入和賣出期權(quán)的價格，已知該股票的現(xiàn)行價格為60元，無風(fēng)險年收益率為5%，買入期權(quán)的執(zhí)行價格為62元，賣出期權(quán)確定的執(zhí)行價格為61元。設(shè)把執(zhí)行期限等分為兩個階段，經(jīng)估計得每階段股票價格要么上升8%，要么下降4%。歐式賣出期權(quán)的二項式定價公式例7：計算在下列股票上執(zhí)行期限為首先計算相關(guān)參數(shù)對于買入期權(quán)

首先計算相關(guān)參數(shù)對于買入期權(quán)對于賣出期權(quán)對于賣出期權(quán)參數(shù)計算的簡化設(shè)每個階段的無風(fēng)險收益率則有參數(shù)計算的簡化在一般情況下，假定無風(fēng)險收益率是幾何收益率，則無風(fēng)險資產(chǎn)在每個時段的收益率為為每個時段的時間長度又可設(shè)股票價