10.1.4概率的基本性質第十章概率課程目標1．理解并掌握概率的基本性質．2．能夠運用概率的基本性質求一些簡單事件的概率．數學學科素養1.數學抽象：概率的基本性質．2.數學運算：求一些復雜事件的概率.

自主預習，回答問題閱讀課本239-242頁，思考并完成以下問題1、概率的基本性質有哪些？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。概率的基本性質1.思考在拋擲質地均勻的骰子試驗中,我們定義如下事件:C1=“出現1點”,C2=“出現2點”,C3=“出現3點”,C4=“出現4點”,C5=“出現5點”,C6=“出現6點”,D1=“出現的點數不大于1”,D2=“出現的點數大于4”,D3=“出現的點數小于6”,E=“出現的點數小于7”,F=“出現的點數大于6”,G=“出現的點數為偶數”,H=“出現的點數為奇數”,等等.(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?提示E是必然事件;F是不可能事件.(2)如果事件C1發生,那么一定有哪些事件發生?反之,成立嗎?在集合中,集合C1與這些集合之間的關系怎樣描述?提示如果事件C1發生,那么一定發生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分別成立,那么能推出事件C1發生的只有D1.所以從集合的觀點看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1與集合D1相等.(3)如果事件A與事件B互斥,則事件A∪B發生的頻數與事件A發生、事件B發生的頻數有什么關系?fn(A∪B)與fn(A),fn(B)有什么關系?進一步得到P(A∪B)與P(A),P(B)有什么關系?提示若事件A與事件B互斥,則A∪B發生的頻數等于事件A發生的頻數與事件B發生的頻數之和,從而有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B),由此得到P(A∪B)=P(A)+P(B),這就是概率的加法公式.(4)如果事件A與事件B互為對立事件,P(A∪B)與P(A),P(B)又有什么關系?提示因為事件A與事件B互為對立事件,所以A∪B為必然事件,所以P(A∪B)=1.由P(A∪B)=P(A)+P(B),得1=P(A)+P(B),從而得出P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).2.填空

歸納提升

(1)對于P(A∪B)=P(A)+P(B)應用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個事件的情況.如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.(2)若A與B互為對立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對立.(3)對于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),當A∩B=?時,就是性質3.3.做一做(1)從裝有20個紅球和30個白球的罐子里任取兩個球,下列情況中是互斥而不是對立的兩個事件是(

)A.至少有一個紅球與至少有一個白球B.恰有一個紅球與都是白球C.至少有一個紅球與都是白球D.至多有一個紅球與都是紅球(2)擲一枚均勻的正六面體骰子,設A=“出現3點”,B=“出現偶數點”,則P(A∪B)等于

.

(3)甲、乙兩人各射擊一次,命中率分別為0.8和0.5,兩人同時命中的概率為0.4,則甲、乙兩人至少有一人命中的概率為

.

(4)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.①互斥事件不一定是對立事件,但對立事件一定是互斥事件.(

)②在同一試驗中的兩個事件A與B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).(

)③若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A,B是對立事件.(

)解析:(1)由題意所有的基本事件可分為三類:兩個紅球,一紅一白,兩個白球.易知A選項的事件不互斥;C、D兩個選項中的事件為對立事件;而B項中的事件是互斥,同時還有“兩個紅球”的事件,故不對立.故選B.(3)設事件A=“甲命中”,事件B=“乙命中”,則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A∪B,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.

一般而言，給出了一個數學對象的定義，就可以從定義出發研究這個數學對象的性質，例如，在給出指數函數的定義后，我們從定義出發研究了指數函數的定義域、值域、單調性、特殊點的函數值等性質，這些性質在解決問題時可以發揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來研究概率的基本性質.我們從定義出發研究概率的性質，(1)概率的取值范圍；(2)特殊事件的概率；(3)事件有某些特殊關系時，它們的概率之間的關系；等等。探究新知1.概率P(A)的取值范圍由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負的；在每次試驗中，必然事件一定發生，不可能事件一定不會發生，一般地，概率有如下性質：性質1對任意的事件A,都有P(A)≥0.性質2必然事件的概率為1,

不可能事件的概率為0,

即P(Ω)=1,P(Φ)=0.概念解析2.概率的加法公式(互斥事件時有一個發生的概率)性質3.如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3因為事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以n(AUB)=n(A)+n(B),這等價于P(AUB)=P(A)+P(B),即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法公式：性質4：如果事件A與事件B互為對立事件,

那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)3.對立事件有一個發生的概率例1.某射手在一次射擊訓練中，射中10環、9環、8環、7環的概率分別

為0.21,0.23,0.25,0.28，計算這個射手在一次射擊中：(1)射中10環或7環的概率；(2)不夠7環的概率．[解析]

(1)設“射中10環”為事件A，“射中7環”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發生，故A與B是互斥事件．“射中10環或7環”的事件為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10環或7環的概率為0.49.

典例解析一般地，對于事件A與事件B,如果A?B,即事件A發生，則事件B一定發生，那么事件A的概率不超過事件B的概率。于是我們有概率的單調性：在古典概型中，對于事件A與事件B,如果A?B,那么n(A)≤n(B).于是即P(A)≤P(B)性質5.如果A?B,那么P(A)≤P(B)由性質5可得,對于任意事件A,因為Φ?A?Ω所以

0≤P(A)≤1.一個袋子中有大小和質地相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1和2),2個綠色球(標號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,“兩個球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎？如果不相等，請你說明原因，并思考如何計算P(R1∪R2).因為n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因為R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1,R2不是互斥的,容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).一般地，我們有如下的性質：性質6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)由性質5可得,對于任意事件A,因為Φ?A?Ω，所以

0≤P(A)≤1.歸納總結(1)對于P(A∪B)=P(A)+P(B)應用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個事件的情況.如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.(2)若A與B互為對立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對立.(3)對于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),當A∩B=Φ時,就是性質3.例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么(1)C=“抽到紅花色”，求P(C);(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).解：(1)因為C=A∪B,且A與B不會同時發生，所以A與B是互斥事件.根據互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5(2)因為C與D互斥，又因為C∪D是必然事件，所以C與D互為對立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.典例解析例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料.若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？分析：“中獎”包括第一罐中獎但第二罐不中獎、第一罐不中獎但第二罐中獎、兩罐都中獎三種情況。如果設A=“中獎”，A1=“第一罐中獎”，A2=“第二罐中獎”，那么就可以通過事件的運算構建相應事件，并利用概率的性質解決問題.解：設事件A=“中獎”，事件A1=“第一罐中獎”，事件A2=“第二罐中獎”，那么事件A1A2=“兩罐都中獎”，A1

2=“第一罐中獎，第二罐不中獎”，1A2=“第一罐不中獎，第二罐中獎”，且A=A1A2∪A1

2∪1A2.因為A1A2,A1

2,A1

2兩兩互斥，所以根據互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1

2)+P(1A2).我們借助樹狀圖來求相應事件的樣本點數.可以得到，樣本空間包含的樣本點個數為n(Ω)=6×5=30,且每個樣本點都是等可能的.因為n(A1A2)=2,n(A1

2)=8,n(1A2)=8,所以法2:注意到事件A的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，由于=“兩罐都不中獎”，而n()=4×3=12,所以1.給出以下結論:①互斥事件一定對立;②對立事件一定互斥;③互斥事件不一定對立;④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A與B互斥,則有P(A)=1-P(B).其中正確命題的個數為(

)A.0 B.1 C.2 D.3當堂達標答案:C解析:對立必互斥,互斥不一定對立,故②③正確,①錯;又當A∪B=A時,P(A∪B)=P(A),故④錯;只有事件A與B為對立事件時,才有P(A)=1-P(B),故⑤錯.答案:C3.若事件A,B滿足A∩B=?,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,則P(B)=

.

答案:0.74.盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球,從中摸出一個球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球是白球的概率是

,摸出的球不是黃球的概率是

,摸出的球或者是黃球或者是黑球的概率是

.

答案:0.40

0.82

0.605.一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,兩根同時熔斷的概率為0.63,問至少有一根熔斷的概率是多少?解:設A=“甲熔絲熔斷”,B=“乙熔絲熔斷”,則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.6.據統計,某儲蓄所一個窗口排隊等候的人數及相應概率如下表:(1)求至多2人排隊等候的概率;(2)求至少2人排隊等候的概率.解:記在窗口排隊等候的人數為0,1,2分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩互斥.(1)至多