§1.3

正弦定理、余弦定理的應用

(二)課時目標1.利用正、余弦定理解決生產實踐中的有關高度的問題理及三角形面積公式解決三角形中的幾何胸襟問題．

.2.利用正、余弦定1．仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平線____方時叫仰角，目標視線在水平線____方時叫俯角．(以下列圖)2．已知△ABC的兩邊a、b及其夾角C，則△ABC的面積為______________________．一、填空題1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關系為________．2．設甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則甲、乙兩樓的高分別是________和________．3．如圖，為測一樹的高度，在地面上采用A、B兩點，從A、B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點之間的距離為60米，則樹的高度為________米．4．從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時兩船間的距離為________米．5．在某個地址測得某山岳仰角為θ，對著山岳在平行地面上前進600m后測仰角為原來的2倍，連續在平行地面上前進2003m后，測得山岳的仰角為原來的4倍，則該山岳的高度是________m.6．平行四邊形ABCD中，AC＝65，BD＝17，周長為18，則平行四邊形面積是________．7．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的3倍，則甲船應取方向__________才能追上乙船；追上時甲船行駛了________海里．8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面積為103，則其周長為________．9．已知等腰三角形的底邊長為6，一腰長為12，則它的內切圓面積為________．10．某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°，距離為10nmile的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9nmile的速度向一小島湊近，艦艇時速21nmile，則艦艇到達漁船的最短時間是______小時．二、解答題11．以下列圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β已.知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD.12．已知圓內接四邊形ABCD的邊長AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圓內接四邊形ABCD的面積．能力提升13．以下列圖，為認識某海域海底構造，在海平面內一條直線上的

A、B、C

三點進行測量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測得水深AD＝80m，于B處測得水深BE＝200m，于C處測得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．14．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連成30°角，求兩條船之間的距離．1．測量底部不能到達的建筑物的高度問題．由于底部不能到達，這類問題不能夠直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部到一個可到達的點之間的距離，爾后轉變成解直角三角形的問題．2．測量角度就是在三角形內利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依照需要求出所求的角．1.3正弦定理、余弦定理的應用(二)答案知識梳理1．上下2.12absinC作業設計1．α＝β2．203m403m3剖析h甲＝20tan60°＝203(m)．40h乙＝20tan60

－°20tan30

＝°3

3(m)．3．30＋303剖析在△PAB中，由正弦定理可得＝PB，sin45°－30°sin30°160×230PB＝＝，h＝PBsin45＝°(30＋303)m.4.2h剖析以下列圖，BC＝3h，AC＝h，AB＝3h2＋h2＝2h.5．300剖析以下列圖，600·sin2＝θ2003·sin4，θ3∴cos2θ＝，∴θ＝15°，∴h＝2003·sin4＝θ300(m)．6．16剖析設兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，則a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cosα＝35或a＝4，b＝5，cosα＝35，∴S?ABCD＝absin＝α16.7．北偏東30°3a剖析以下列圖，設到C點甲船追上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v，則BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°，BCAC由正弦定理知sin∠CAB＝sinB，∴1＝3，sin∠CABsin120°sin∠CAB＝1，2∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·－1＝3a2，∴AC＝3a.28．20剖析設AB＝8k，AC＝5k，k>0，則S＝12AB·AC·sinA＝103k2＝103.k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：222221BC＝AB＋AC－2AB·AC·cosA＝8＋5－2×8×5×＝49.2BC＝7，∴周長為：AB＋BC＋CA＝20.27π9.5剖析不如設三角形三邊為a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：222222cosA＝b＋c－a＝12＋12－6＝7，2bc2×12×128sinA＝1－72＝15.8811315.由(a＋b＋c)·r＝bcsinA得r＝52227πS內切圓＝πr＝5.210.3剖析設艦艇和漁船在B處相遇，則在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，設艦艇到達漁船的最短時間為t，則AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，則(21t)2＝(9t)2＋100－252×10×9tcos120，°解得t＝3或t＝－12(舍)．11．解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.依照正弦定理得：AC＝BC，sin∠ABCsin∠BAC即AC＝BC，－－∴AC＝BCcosα＝hcosα.－－在Rt△ACDhcosαsinβhcosαsinβ中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝－.即山高CD為－.12．解連結BD，則四邊形面積11S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC.22A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.1S＝2(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA.由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC，20－16cosA＝52－48cosC.1又cosC＝－cosA，∴cosA＝－2.∴A＝120°.∴四邊形ABCD的面積S＝16sinA＝83.13．解作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)，EF＝－2＋BC2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理的變形公式，得22－DF222－102DE＋EF＝130＋150×298＝16