第九章控制系統的設計主要內容控制系統的頻域分析頻率特性概述頻率特性的不同表示方法MATLAB頻域分析的相關函數MATLAB頻域分析實例基于頻域法的控制系統穩定性分析頻域法穩定性判定和穩定裕度概述基于頻域法的控制系統穩定判定相關MATLAB函數MATLAB頻域法穩定性判定實例控制系統的頻域法校正頻域法超前校正及實例頻域法滯后校正及實例頻域法超前滯后校正及實例頻率特性定義頻率特性和傳遞函數的關系：頻率特性曲線有三種表示形式，即：對數坐標圖極坐標圖對數幅相圖Nyquist穩定判據如果開環模型含有n個不穩定極點，則單位負反饋下單變量閉環系統穩定的充要條件是開環系統的Nyquist圖逆時針圍繞(-1,j0)點n周。穩定裕度系統的相對穩定性包括相角穩定裕度和幅值穩定裕度。

頻域法校正方法頻域法校正方法主要有超前校正、滯后校正和滯后-超前校正等。利用超前校正裝置校正的基本原理即是利用其相位超前的特性，以補償原來系統中元件造成的過大的相位滯后。頻域法校正方法采用無源滯后網絡進行串聯校正時，主要是利用其高頻幅值衰減特性，以降低系統的開環幅值穿越頻率，提高系統的相位裕度。滯后－超前的基本原理是利用其超前部分增大系統的相位裕度，同時利用其滯后部分來改善系統的穩態性能?？刂葡到y的頻域分析頻率特性及其表示頻域法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統的間接方法。它是一種圖解分析法，所依據的是頻率特性數學模型，對系統性能如穩定性、快速性和準確性進行分析。頻域法因彌補了時域法的不足、使用方便、適用范圍廣且數學模型容易獲得而得到了廣泛的應用。頻率特性曲線表示頻率特性曲線有三種表示形式，即：對數坐標圖極坐標圖對數幅相圖對數坐標圖極坐標圖極坐標圖對數幅相圖MATLAB頻域分析的相關函數MATLAB頻域分析實例例：系統的開環傳遞函數如下，繪制系統的Bode圖。s=tf('s');G=1000*(s+1)/(s*(s+2)*(s^2+17*s+4000))bode(G)grid例：系統的開環傳遞函數如下，繪制K（1，10，1000）取不同值時系統的Bode圖。k=[1101000];forii=1:3G(ii)=tf(k(ii)*conv(1000,[11]),conv([120],[1174000]));endbode(G(1),'r:',G(2),'b--',G(3))例：單位負反饋系統的開環傳遞函數如下，繪制系統Nyquist曲線。num=[202010];den=conv([110],[110]);nyquist(num,den)num=[202010];%進行局部放大den=conv([110],[110]);nyquist(num,den)axis([-22-55])%得到局部的nyquist曲線num=[202010];den=conv([110],[110]);w=0.1:0.1:100;%指定頻率范圍[re,im]=nyquist(num,den,w);%返回Nyquist曲線參數plot(re,im)%使用Nyquist曲線參數繪制曲線axis([-22-55]);%指定橫縱坐標grid;title('系統(20s^2+20s+10)/[(s^2+s)(s+10)]Nyquist圖(\omega>0)','fontsize',12);xlabel(‘Real’);ylabel(‘Imag’)基于頻域法的控制系統穩定性能分析Nyquist穩定判據頻域響應的分析方法最早應用就是利用開環系統的Nyquist圖來判定閉環系統的穩定性，其理論基礎是Nyquist穩定性定理。判據：如果開環模型含有n個不穩定極點，則單位負反饋下單變量閉環系統穩定的充要條件是開環系統的Nyquist圖逆時針圍繞(-1,j0)點n周。

關于Nyquist定理的進一步解釋：若系統的開環模型為穩定的，則當且僅當的Nyquist圖不包圍(-1,j0)點，閉環系統是穩定的。如果Nyquist圖順時針包圍(-1,j0)點p次，則閉環系統有p個不穩定極點。若系統的開環模型不穩定，且有p個不穩定極點，則當且僅當的Nyquist圖逆時針包圍(-1,j0)點p次，閉環系統是穩定的。若Nyquist圖逆時針包圍(-1,j0)點q次，則閉環系統有p-q個不穩定極點。

系統相對穩定性（穩定裕度）的判定系統的穩定性固然重要，但不是唯一刻畫系統性能的準則，因為有的系統即使穩定，其動態性能表現為很強的振蕩，也是沒有實際意義的。因為這樣的系統如果出現很小的變化就可能使系統不穩定。此時還應該考慮對頻率響應裕度的定量分析，使系統具有一定的穩定裕度。

除繪制頻率響應圖形并用于判定系統穩定性之外，MATLAB還提供了相關函數直接用于進一步判定系統的穩定程度，見下表。注意：對系統閉環頻率特性的求取，MATLAB沒有提供相應的函數。可以根據其定義，自行編寫程序來求取。例：系統開環傳遞函數為繪制其極坐標圖，并判定系統穩定性。num=10;den=conv([15],[1-1]);G=tf(num,den);nyquist(G)例：系統開環傳遞函數為繪制其極坐標圖，并判定系統穩定性。num=5;den=conv([12],[125]);G=tf(num,den);nyquist(G)num=5;den=conv([12],[125]);G=tf(num,den);step(feedback(G,1))例：分別判定系統和的穩定性。如果系統穩定，進一步給出系統相對穩定參數。num1=5;den1=conv([120],[15]);G1=tf(num1,den1);margin(G1)figure(2)num2=200;den2=conv([12],[150]);G2=tf(num2,den2);margin(G2)[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G1)GmdB=20*log10(Gm);[Gm,Pm,wcg,wcp]bode(G1)例：單位負反饋系統的開環傳遞函數為繪制閉環系統的Bode圖。此外，繼續給出閉環頻率特性性能指標諧振峰值、諧振頻率和系統帶寬。s=tf('s');Gk=1/s/(0.5*s+1)/(s+1);G=feedback(Gk,1);w=logspace(-1,1);[mag,phase,w]=bode(G,w);[Mp,k]=max(mag);resonantPeak=20*log10(Mp)resonantFreq=w(k)n=1;while20*log10(mag(n))>=-3n=n+1;endbandwidth=w(n)bode(G,w),grid;控制系統的頻域法設計（校正）理想情況下，單位負反饋系統的開環對數幅頻漸近特性曲線（最小相位）串聯校正

串聯校正是控制系統的一種主要校正方式，它是在控制系統的前向通道上引入適當的校正裝置，如圖所示，通過校正裝置來調整轉折頻率的分布和開環增益的大小，從而改變系統的開環頻率特性，使它具有性能指標所要求的形狀，從而使校正后的系統達到期望的的性能。超前校正其中，1、超前校正網絡：超前校正及其特性最大補償相角可見只與有關。這一點對于超前校正的設計是相當重要。超前校正環節的頻率特性超前網絡bode圖

利用超前校正裝置的足夠大的正相角，補償原系統過大的滯后相角，提高相角裕度，改善系統的動態特性。超前網絡的作用（1）校正裝置提供正相角補償，改善了系統的相對穩定性，使系統具有一定的穩定裕量。（4）超前校正提高了系統幅頻曲線在高頻段的幅值，校正后的系統抗高頻干擾能力下降。超前校正的特點：（2）從對數幅頻曲線看，截止頻率由校正前的提高到校正后的，使校正后系統頻帶變寬，動態響應變快。（3）為了充分利用超前校正裝置的相角補償作用，校正裝置的轉折頻率和應分設在校正前截止頻率和校正后截止頻率的兩邊，最大相角頻率設在處。超前校正總結：1)超前校正原理：利用超前網絡的相角超前特性，使系統的截止頻率和相角裕度滿足性能指標的要求，從而改善閉環系統的動態性能2）適用對象：超前校正主要應用于原系統穩定，穩態性能已滿足要求而動態性能較差的系統。3）缺點：降低了系統的抗擾性能。

超前校正步驟(設給定指標)由由確定，驗算理論計算所得效果s=tf('s');G=20/(s*(s+1));Gc=(1+5.1*0.066*s)/(1+0.066*s)figure;step(feedback(G,1),feedback(G*Gc,1),':')gtext('校正前系統');gtext('校正后系統');figure;G2=feedback(G*Gc,1);[num2,den2]=tfdata(G2,'v');t=0:0.01:3;y2=step(num2,[den2,0],t);plot(t,t,t,y2,':');gridtitle('斜坡輸入和校正后系統的斜坡響應');legend('斜坡輸入','校正后系統的斜坡響應');delta=5;s=tf('s');G=20/(s*(s+1));margin(G)[gm,pm]=margin(G)phim1=50;phim=phim1-pm+delta;phim=phim*pi/180;alfa=(1+sin(phim))/(1-sin(phim));a=10*log10(alfa);[mag,phase,w]=bode(G);adB=20*log10(mag);wm=spline(adB,w,-a);%3次樣條函數插值，求取特定點處的函數值t=1/(wm*sqrt(alfa));Gc=(1+alfa*t*s)/(1+t*s);[gmc,pmc]=margin(G*Gc)figure;margin(G*Gc)%%figure;step(feedback(G,1),feedback(G*Gc,1),':')gtext('校正前系統');gtext('校正后系統');figure;G2=feedback(G*Gc,1);[num2,den2]=tfdata(G2,'v');t=0:0.01:3;y2=step(num2,[den2,0],t);plot(t,t,t,y2,':');gridtitle('斜坡輸入和校正后系統的斜坡響應');legend('斜坡輸入','校正后系統的斜坡響應');頻域法滯后校正

及基于MATLAB的實例滯后校正裝置滯后校正裝置滯后校正裝置滯后校正裝置的Bode圖

滯后校正裝置滯后校正裝置及其特性基于Bode圖的相位滯后校正基于Bode圖相位滯后校正的基本原理：利用滯后網絡的高頻幅值衰減特性，使校正后系統的幅值穿越頻率下降，借助于校正前系統在該幅值穿越頻率處的相位，使系統獲得足夠的相位裕度。因此，設計滯后網絡時，應力求避免讓最大的相位滯后發生在系統幅值穿越頻率附近。由于滯后網絡的高頻衰減特性，減小了系統帶寬，降低了系統的響應速度。因此，當系統響應速度要求不高而抑制噪聲要求較高時，可考慮采用串聯滯后校正。此外，當校正前系統已經具備滿意的瞬態性能，僅穩態性能不滿足指標要求時，也可采用串聯滯后校正以提高系統的穩態精度?；贐ode圖的相位滯后

校正設計步驟(6)畫出校正后系統的Bode圖，檢驗相位裕度是否滿足要求。如不符合要求則重新計算。delta=6;s=tf('s');G=1500/(s*(s+10)*(s+5));figure(1)margin(G)figure(2)t=0:0.01:15;step(feedback(G,1),t)ex_pm=40;phi=-180+ex_pm+delta;[mag,phase,w]=bode(G);wc=spline(phase,w,phi);mag1=spline(w,mag,wc);magdB=20*log10(mag1);beta=10^(-magdB/20);t1=1/(beta*(wc/10));Gc=(1+beta*t1*s)/(1+t1*s);figure(3)margin(Gc*G)figure(4)step(feedback(Gc*G,1))G2=feedback(G*Gc,1);[num2,den2]=tfdata(G2,'v');y2=step(num2,[den2,0],t);figure;%t=0:0.01:10;plot(t,t,t,y2,':');gridtitle('斜坡輸入和滯后校正后系統的斜坡響應')legend(‘斜坡輸入’,‘滯后校正后系統的斜坡響應’);頻域法超前滯后校正

及基于MATLAB的實例滯后－超前校

正器校正特性滯后－超前校

正裝置Bode圖

滯后－超前校正器的

Bode圖設計步驟滯后－超前的原理：是利用其超前部分增大系統的相位裕度，同時利用其滯后部分來改善系統穩態性能。其設計步驟為：（1）根據系統對穩態誤差的要求，求系統開環增益K；（2）根據開環增益K，繪制校正前系統的Bode圖。計算并檢驗系統性能指標是否符合要求。如不符合，則進行以下校正工作。滯后－超前校正器的

Bode圖設計步驟滯后－超前校正器的

Bode圖設計步驟(5)繪制經過滯后－超前校正后的系統Bode圖，并驗證系統性能指標是否滿足設計要求。也可進一步繪制閉環系統的階躍響應曲線，查看時域性能指標。滯后－超前校正實例wc2=1.5;num=20;den=conv([110],[12]);G=tf(num,den);[mag,phase,wcg,wcp]=margin(G);margin(G)t1=1/(0.1*wcg);beta=10;Gc_lag=tf([t1,1],[beta*t1,1])G1=G*Gc_lag;[mag,phase,w]=bode(G1);mag1=spline(w,mag,wc2);L=20*log10(mag1);alfa=10^(-L/10);t2=1/wc2/sqrt(alfa);Gc_lead=tf([alfa*t2,1],[t2,1]);G0=G*Gc_lead*Gc_lag;figure(2)margin(G0)%xlabel('Frequency(rad/sec)')figure(3)step(feedback(G0,1))PID控制描述設連續PID控制器的傳遞函數為：PID控制器具有簡單的控制結構，在工業過程控制中有著最廣泛的應用。大多數PID控制器是現場調節的，可以根據控制原理和控制效果對PID控制器進行精確而細致的現場調節。典型PID控制系統結構圖1、比例控制結論：比例系數增大，閉環系統的靈敏度增加，穩態誤差減小，系統振蕩增強；比例系數超過某個值時，閉環系統可能變得不穩定。例：設被控對象的數學模型為分析比例、微分、積分控制對系統的影響。2、積分控制結論：可以提高系統的型別，使系統由有差變為無差；積分作用太強會導致閉環系統不穩定。比例、積分、微分控制作的分析3、微分控制結論：微分具有預報作用，會使系統的超調量減小，響應時間變快。4、不完全微分控制結論：解決了完全微分的物理實現性問題；當N=10的時候，不完全微分近似于完全微分作用；不完全微分解決了完全微分作用對階躍信號第一拍的輸出為無窮大，以后各拍微分作用的輸出為零的問題；5、微分先行控制

結論：具有和完全微分相同的作用，改善了完全微分的不足：解決了完全微分控制對階躍性誤差信號（主要有階躍給定引起）在第一拍會輸出很大的控制量的問題。例：考慮單位負反饋系統，其開環傳遞函數為1/(s(s+0.1s))，采用PD控制，Kp,Kd屬于[0,10]，觀察單位階躍系統的超調量和調節時間。

由于很難獲取被控對象的精確數學模型，所以用理論計算得到的PID參數應用到實際系統后，控制效果一般不好，甚至可能引起振蕩。齊格勒—尼柯爾斯是一種工程整定方法，可以在不知道對象模型的前提下，確定PID參數。齊格勒—尼柯爾斯調節律有兩種方法，其目標都是使閉環系統在階躍響應中，達到25%的最大超調量。描述Ziegler-Nichols（齊格勒—尼柯爾斯）整定法則第一法：通過實驗獲取開環系統的S型響應曲線，通過S型曲線的轉折點畫一條切線，可以求得延遲時間L和時間常數T

近似為帶延遲的一階系統控制器類型KpTITdPT/L∞0PI0.9T/LL/0.30PID1.2T/L2L0.5L齊格勒—尼柯爾斯調整法則（第一種方法）PID控制器公式：閉環系統只采用比例控制作用，使Kp從0增加到臨界值Kc?？刂破黝愋蚄pTITdP0.5Kc∞0PI0.45KcPi/1.20PID0.6Kc0.5Pc0.125Pi齊格勒—尼柯爾斯調整法則（第二種方法）

第二法：例：

設被控對象的傳遞函數為串聯校正采用PID控制器，其形式為試采用齊格勒—尼柯爾斯調節律確定參數的值。若設計出的系統的超調量等于或大于40%，則應精確調整，使最大超調量減小到大約25%。PID控制器公式：線性二次型最優控制

設計控制器，使得閉環系統是穩定的；閉環系統具有給定的動態和穩態性能。方法：極點配置；問題：根據性能決定極點，依賴模型不是很直接階躍響應y(t)其性能可以用圖中的陰影部分面積的大小來描述一般用平方項來處理對多個變量根據重要性，可以加權一般的形式二次型積分性能指標面積的大小可以反映系統是穩定的上升時間、超調、調節時間、震蕩等指標還存在的問題：沒有考慮控制能量的消耗控制信號u的能量：多個控制信號的能量總和：還可以進行一定的加權。一般的同時考慮系統性能和控制能量要求：積分性能指標二次型最優控制系統狀態空間模型：系統性能指標：Q和R為加權矩陣，由設計者選定。目的：要求設計一個控制器u，使得性能指標J盡可能小稱為是線性二次型最優控制問題、最優控制器Linearquadraticoptimalcontrol

許多實際問題：最短時間問題最小能耗問題系統狀態空間模型：系統性能指標：需要回答的問題：問題的可解性？最優控制器設計？閉環系統性能？問題的解依賴于控制器的結構！最簡單的控制器結構：狀態反饋控制器：開環系統：在狀態反饋控制律下，導出的閉環系統是對應的性能指標是因此，最優控制問題通過優化技術來給出最優控制器的設計探討一種簡單的求解方法。最優閉環系統應該是漸近穩定的，存在李雅普諾夫函數其中的P為待定的對稱正定矩陣。沿閉環系統，V關于時間的導數應該是負定的?？刂坡蓪π阅苤笜说挠绊懀阂M了更多關于反饋增益矩陣K的項，便于處理。二次函數的極值當時，二次函數達到極小值配平方法類似于的配平方思想代入到可得進一步整理后，可得把可設計的增益矩陣K分離出來，便于極值問題求解！為使得性能指標J最小化，可選性能指標最小值是問題：增益矩陣K和最優值依賴于矩陣P。矩陣P是李雅普諾夫函數中待定矩陣：如何選取呢？根據性能指標選取正定矩陣P滿足則性能指標的最小值總結1、求解Riccati矩陣方程，如果有一個對稱正定解矩陣P2、得到最優解3、性能指標最小值