1.3高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)

一、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義二、求高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階微分四、小結(jié)1湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!回顧：高階導(dǎo)數(shù)的定義定義記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù),2湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).3湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!由于函數(shù)展開(kāi)后的最高次冪項(xiàng)為所以例1已知函數(shù)解4湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!解5湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!解問(wèn)題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？6湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!按定義可知：7湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!因此所以8湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!萊布尼茲公式2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:9湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!解

例810湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!解例911湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!已知函數(shù)y=f(x)，則它的微分為三、高階微分亦可稱(chēng)為一階微分；類(lèi)似地，二階微分定義為記作12湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!注(1)(2)求n階微分實(shí)質(zhì)上就是求n階導(dǎo)數(shù).解13湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!而x是自變量時(shí)，有結(jié)論：高階微分不具有形式不變性.14湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!一般來(lái)說(shuō)，求復(fù)合函數(shù)的高階微分，以逐階求之為宜.解故15湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!1、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義;2、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);3、n階導(dǎo)數(shù)的求法;(1)直接法;(2)間接法.4、高階微分不具有形式不變性.四、小結(jié)16湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!利用對(duì)稱(chēng)性,有所以17湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù).一、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義18湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：19湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!解例420湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!問(wèn)題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解21湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!例6解1.直接法:根據(jù)定義逐步求高階(偏)導(dǎo)數(shù).二、求高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)22湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!解例723湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!常用高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過(guò)四則運(yùn)算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).3.間接法:24湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!解例1025湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!一般的，已知函數(shù)y=f(x)，則它的n-1階微分為則n階微分定義為記作由此可得26湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!(3)求高階微分時(shí)：若x是自變量，則由于dx是不依賴(lài)于x的任意的數(shù)，故關(guān)于x微分時(shí)，必須視dx為常數(shù)因子.若x不是自變量，而是某一變量的函數(shù)，如27湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!再求二階微分,可得由此可見(jiàn)，上述兩種結(jié)果并不相等.28湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!注上例的分析過(guò)程表明，求復(fù)合函數(shù)的高階微分，也可先把中間變量消去后，再求高階導(dǎo)數(shù)可得．29湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!思考題：證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程證30湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)共31頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30