2022-2023學年河南省創新發展聯盟高二上學期第二次聯考（期中）數學試題一、單選題1．拋物線的準線方程是（

）A． B．C． D．C【分析】化為標準形式求解即可.【詳解】解：可化為，所以拋物線的準線方程為．故選：C2．若直線與垂直，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4D【分析】根據直線垂直關系列方程求即可.【詳解】因為與垂直，所以，所以，故選：D.3．若方程表示雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．A【分析】由題知，解不等式即可得答案.【詳解】解：因為方程表示雙曲線，所以，解得．故選：A4．過原點且與拋物線只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數條B【分析】分直線斜率不存在時和存在時兩組情況討論求解即可.【詳解】當直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個．當直線斜率存在時，設直線方程為，由得．當時，直線方程為，滿足題意．當時，，此時直線與拋物線有兩個公共點．故過原點且與拋物線只有一個公共點的直線有2條．故選：B5．直線關于直線對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．B【分析】設點是所求直線上任意一點，進而求得其關于對稱的點為，再代入已知直線方程即可得答案.【詳解】解：設點是所求直線上任意一點，則關于直線對稱的點為，且在直線上，所以，代入可得，整理得．所以，所求直線方程為.故選：B6．已知雙曲線的焦點在軸上，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．A【分析】由題知，再解不等式，結合離心力公式求解即可.【詳解】解：因為雙曲線的焦點在軸上，所以，，解得．因為，所以．故選：A7．已知斜率為且不經過原點的直線與橢圓相交于兩點，若為線段的中點，且在軸上，則（

）A． B．1 C．2 D．0D【分析】根據中點弦的問題求解即可.【詳解】解：設，，，所以，，兩式相減得，所以，．若在軸上，則．因為不經過原點，所以，所以，．故選：D8．已知直線始終平分圓的周長，則的最小值為（

）A． B．2C． D．A【分析】由題意可知直線過圓的圓心，由此得到，再利用兩點距離公式的幾何意義，將問題轉化為原點到直線上的點的最小距離的平方，從而利用點線距離公式可求得的最小值.【詳解】由得，故圓心的坐標為，因為直線始終平分圓M的周長，所以直線過圓M的圓心，所以，可知點在直線上，而是原點到點的距離的平方，所以問題轉化為求原點到直線上的點的最小距離的平方，而原點到直線上的點的最小距離為，所以的最小值為．故選：A.9．坐標原點到直線的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．A【分析】根據給定條件，利用點到直線距離公式列式，再求出函數的值域作答.【詳解】坐標原點到直線的距離，令，則，因，則，當且僅當，即時取等號，即，所以原點到直線l的距離的取值范圍為.故選：A10．已知橢圓的左焦點為是上一點，是圓上一點，則的最大值為（

）A．7 B．9 C．11 D．13C【分析】由已知圓的圓心為橢圓的右焦點，由點與圓的位置關系可得，結合橢圓的定義求的最大值.【詳解】因為橢圓的方程為，所以橢圓的長半軸長，短半軸長，圓的圓心的坐標為，半徑為1，由圓的幾何性質可得，當且僅當為的延長線與圓的交點時等號成立，所以，由橢圓的定義可得．所以，故選：C.11．已知拋物線的焦點為為上一點，且在第一象限，直線與的準線交于點，過點且與軸平行的直線與交于點，若，則的面積為（

）A．8 B．12 C． D．C【分析】過作準線的垂線，垂足為，準線與軸交于點，進而根據幾何關系得為等邊三角形，，再計算面積即可.【詳解】解：如圖，過作準線的垂線，垂足為，準線與軸交于點，所以，，．因為，所以，，．所以，．又因為，所以，所以為等邊三角形，所以．若在第三象限，結果相同．故選：C12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，是直線上的動點，若的最大值為2，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5D【分析】由題意可以得到為的傾斜角減去的傾斜角，利用兩角差的正切公式即可較易得出結果.【詳解】設，，直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性，不妨設為第二象限的點，即，則，，，當且僅當，即時，等號成立，又因為的最大值為2，所以，所以．故選：D.二、填空題13．寫出一條過原點，且與圓相切的直線的方程_____．（或）【分析】分所求直線的斜率不存在和存在兩種情況討論求解即可.【詳解】解：當所求直線的斜率不存在時，，此時滿足與圓相切，符合題意．當所求直線的斜率存在時，設所求直線方程為，則，解得，所以，所求直線的方程為，即．故（或）14．已知雙曲線與直線無交點，則的取值范圍是_____．【分析】結合雙曲線的幾何性質，可知直線應在兩漸近線上下兩部分之間，由此可得不等式，解之即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，由可得，雙曲線的漸近線方程為，因為雙曲線與直線無交點，所以直線應在兩條漸近線上下兩部分之間，故，解得，即.故答案為..15．已知分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與的右支交于兩點，若，且，則_____．【分析】設，利用雙曲線的定義可求，，結合余弦定理列方程求，再由余弦定理列方程求焦距，由此可求.【詳解】因為雙曲線的方程為，所以雙曲線的實半軸長，虛半軸長，設，則．由雙曲線的定義可得，．在中，，即，解得．則，，，所以，則，故．故答案為.三、雙空題16．古希臘著名數學家阿波羅尼奧斯發現:平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，為坐標原點，則該阿氏圓的標準方程為_____，過點的最短弦長為_____

2【分析】根據給定條件，列出方程化簡即可；再利用圓的性質求出最短弦作答.【詳解】設，依題意，，即，化簡得，所以該阿氏圓的標準方程為；顯然點O在圓內，點O到圓心的距離為，所以過點O的最短弦長為．故；2四、解答題17．已知不過原點的直線在兩坐標軸上的截距相等，點．(1)若直線過點，求直線的方程;(2)若點到直線的距離為，求直線的方程．(1)；(2)或．【分析】（1）利用截距式可設直線為，再將點代入即可求得直線的方程；（2）結合（1）中結論，利用點線距離公式即可求得，從而得到直線的方程.【詳解】(1)因為不過原點的直線在兩坐標軸上的截距相等，所以可設直線，將點代入得，故，所以直線l的方程為，即．(2)由直線可化得，再由點線距離公式得，即，解得或，所以直線l的方程為或．18．已知橢圓的離心率為，左焦點為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為3．(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點，求的面積．(1)(2)【分析】（1）結合題意得，再解方程即可得答案；（2）聯立方程，結合弦長公式與韋達定理得，再計算到直線的距離并結合三角形面積公式計算即可.【詳解】(1)解：由題知，代入得，所以，根據題意得，解得，．故橢圓的方程為．(2)解：設，，聯立消去后整理可得．所以，，．所以，．到直線的距離．所以，的面積為．19．已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動．(1)求線段的中點的軌跡方程;(2)若直線與圓的另一個交點為，當時，求直線的方程．(1)(2)或．【分析】（1）根據相關點法求解即可；（2）由題易知直線斜率存在，設直線的方程為，再根據圓心到直線的距離為解方程即可得答案.【詳解】(1)解：設，．因為B的坐標是，所以，，即，，①因為點A在圓上運動，所以，②把①代入②，得，即．故線段的中點的軌跡方程為．(2)解：圓的圓心為，半徑為，當直線斜率不存在時，方程為，此時圓心到的距離為，故與圓無交點，不滿足題意；當直線斜率存在時，設直線的方程為，即．因為，所以為等腰直角三角形，所以，圓心到直線的距離為，解得或．故直線的方程為或．20．已知直線．(1)證明:無論取何值，直線與直線總相交．(2)若，直線與軸分別交于兩點，，求面積的最小值．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題知直線經過定點，再結合是直線上一點討論求解即可；（2）結合（1）設的方程為，進而根據得，再求得，，根據面積公式，結合基本不等式求解即可.【詳解】(1)證明：直線的方程可化為．令解得，故直線經過定點．當直線的斜率不存在時，方程為，顯然與相交，當直線的斜率存在時，直線l的斜率為，故直線與直線不重合．又因為滿足，即是直線上一點，所以，是直線與直線的公共點，綜上，無論取何值，直線l與直線總相交．(2)解：由（1）可知，直線經過定點，不妨設的方程為．因為，，所以．令得，令得，所以，，．所以的面積，當且僅當，即時，等號成立．所以，面積的最小值為21．已知雙曲線的右焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程．(2)過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，在軸上是否存在點，使得點到直線的距離相等?若存在，求出點的坐標;若不存在，請說明理由．(1)(2)存在．【分析】（1）利用點線距離公式及即可求得，從而求得雙曲線的方程；（2）假設存在點，據題意設，聯立方程得到，，再由點到直線的距離相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.【詳解】（1）由題意得，，故，又因為雙曲線的漸近線為，故是雙曲線C的一條漸近線，所以右焦點到漸近線的距離為，解得，所以，，所以雙曲線C的標準方程為．（2）假設存在，設，，由題意知，直線斜率不為0，設直線，聯立，消去，得，則，，且，，因為使得點F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線，則，即，則，整理得，故，即，因為，所以，故存在．22．已知點在拋物線上，點到拋物線的焦點的距離為4．(1)求拋物線的方程;(2)已知點在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值．(1)(2)1