1.5定積分的概念三維目標(biāo)：知識與技能：1.通過求曲邊梯形的而枳和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，了解定枳分的背景；借助于幾何直觀體會(huì)定枳分的基本思想，了解定積分的概念，能用定枳分法求簡單的定積分.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)：過程與方法：通過問題的探充體會(huì)逼近、以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過分割、逼近的觀點(diǎn)體會(huì)定枳分的來歷，使學(xué)生從本質(zhì)上理解定枳分的幾何意義，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義.教學(xué)難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義.教學(xué)過程：一.創(chuàng)設(shè)情景問題：我們在小學(xué)、初中就學(xué)習(xí)過求平面圖形面枳的問題。有的是規(guī)則的平面圖形，但現(xiàn)實(shí)生活中更多的是不規(guī)則的平面圖形。對于不規(guī)則的圖形我們該如何求面積？比如浙江省的國土面積。此問題在學(xué)生九年級中己有涉及，在九年級時(shí)學(xué)生了解過以下求不規(guī)則面積的方法：方法1將圖形放在坐標(biāo)紙上，也即將圖形分割，看它有多少個(gè)“單位面積”…方法2將圖形從內(nèi)外兩個(gè)方面用規(guī)則圖形（或規(guī)則圖形的組合）逼近。方法3將這塊圖形用一個(gè)正方形圍住，然后隨機(jī)地向正方形內(nèi)扔“點(diǎn)”（如小石子等小顆粒）,當(dāng)點(diǎn)數(shù)P足夠大時(shí)，統(tǒng)計(jì)落入不規(guī)則圖形中的點(diǎn)數(shù)A,則圖形的面積與正方形面積的比約為。方法4“稱量”面積：在正方形區(qū)域內(nèi)均勻鋪滿一層細(xì)沙，分別稱得重量是P（正方形區(qū)域內(nèi)細(xì)沙重）、A（所求圖形內(nèi)細(xì)沙重），則所求圖形的面積與正方形面積的比是重量之比。二.合作探究問題一曲邊梯形的面積如圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線y=f（x）的一段，/（“）刁―我們把由直線x=a9x=b{a^b）yy=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形稱為曲邊梯形.如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積？探究1：分割，怎樣分割？分割成多少個(gè)？分成怎樣的形狀？有幾種方案？（分割）提出自己的看法，同伴之間進(jìn)行交流。探究2：采用哪種好？把分割的幾何圖形變?yōu)榇鷶?shù)的式子。（近似代替）、（求和）寫出面積求和式。老師①巡視，給予指導(dǎo)，即時(shí)糾正學(xué)生中的運(yùn)算錯(cuò)誤。②及時(shí)實(shí)物投影③比較三種求和式的優(yōu)劣，規(guī)定近似代替的原則。探究3：如何用數(shù)學(xué)的形式表達(dá)分割的幾何圖形越來越多？（取極限）寫出分割無限多時(shí)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)含義。探究4：采用過剩求和與不足求和所得到的結(jié)果一樣，其意義是什么？（夾逼定理的意義）例如：求圖中陰影部分是由拋物線y=xL直線工=1以及x軸所圍成的平面圖形的面積&思考:（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊寫出分割無限多時(shí)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)含義。探究4：采用過剩求和與不足求和所得到的結(jié)果一樣，其意義是什么？（夾逼定理的意義）例如：求圖中陰影部分是由拋物線y=xL直線工=1以及x軸所圍成的平面圖形的面積&思考:（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段.“以直代曲"的思想的應(yīng)用.把區(qū)間［0,1］分成許多個(gè)小區(qū)間，進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個(gè)小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面枳，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面枳的近似值.分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S.也即：用劃歸為計(jì)算矩形面枳和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.解：（1）.分割在區(qū)間［0,1］上等間隔地插入〃-1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間［0,1］等分成〃個(gè)小區(qū)間:記第，個(gè)區(qū)間為i-1i0=1,2,…，〃），其長度為Aii-11nnn分別過上述〃-1個(gè)分點(diǎn)作工軸的垂線.從而得到〃個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作:△S.AS,,…，顯然，S=（2）近似代替記f（x）=x\如圖所示，當(dāng)〃很大,上，可.以認(rèn)為函數(shù)f（x）=x2妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)以n處的函數(shù)值/,從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段代替即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有A5,.?AS；=?Ax=^—?1(/=1,2,---,?)①(3)求和由①，上圖中陰影部分的面積S”為S”=名里：=.4導(dǎo)卜*=.（號］.:從而得到S的近似值sas〃=（4）取極限分別將區(qū)間［0,1］等分8,16,20,…等份（如圖），可以看到，當(dāng)〃趨向于無窮大時(shí)，即Al趨向于o時(shí)，土）趨向于S,從而有從數(shù)值上看出這一變化趨勢:問果？區(qū)間于o時(shí)，土）趨向于S,從而有從數(shù)值上看出這一變化趨勢:問果？區(qū)間Co.1J的等分?jǐn)?shù)隊(duì)S的近似伯3作為高，會(huì)有怎樣的結(jié)0.21875000】等分成〃個(gè)小區(qū)間0.27313750】等分成〃個(gè)小區(qū)間640.32556]52*1280.329437Z62560.331382755120.3323574110210.3328452120480.33308923???163027...，32:?31787]09面枳，求出每個(gè)小曲邊

汽車以速度V組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間，所行駛的路程為s=w.如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻M勺速度為K，）=—尸+2（單位：km/h）,那么它在0單位：h）這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程S（單位：km）是多少?分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題,化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題.把區(qū)間［0,1］分成〃個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于1寸）的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值,在求和得S（單位：km）的近似值，最后讓〃趨緊于無窮大就得到S（單位：km）的精確值.（思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）.解：1.分割在時(shí)間區(qū)間［0,1］上等間隔地插入〃-1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間［0,1］等分成〃個(gè)小區(qū)間：顯然，5=（2）近似代替/-I門——，一（1=1,2,...，〃）其長度為△，=nn_E行駛的路程分別記作:顯然，5=（2）近似代替當(dāng)〃很大，即&很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)v（r）=-r+2的值變化很小，近nn理意義上看，即使汽車在時(shí)間段似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)m處的函數(shù)值+2,從物處的速度y+2作勻速直線運(yùn)動(dòng),（i=1,2，…，7?）上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似Z-1地以時(shí)刻——n則有即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”于是用小矩形的面積近似的代替AS,,（3）求和由①得,1??_+_?=1,2,???,理意義上看，即使汽車在時(shí)間段處的速度y+2作勻速直線運(yùn)動(dòng),則有（3）求和由①得,1??_+_?=1,2,???,〃)nn（4）取極限1（1\（1A當(dāng)〃趨向于無窮大時(shí)，即△/趨向于。時(shí)，&=一一1--1一——+2趨向于S,

〃1fi-l\從而有S=limS=limV—?vfk〃/=hin思考結(jié)合求曲邊梯形面枳的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程S與由直線f=Oj=l,u=O和曲線v=-r+2所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？=hin歸納得到一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為『，="/）,那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在aWfW3內(nèi)所作的位移S.問題三定積分的概念從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過程發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過“分割、近似代替、求和、取極限得到解決，且都?xì)w結(jié)為求一個(gè)特定形式和的極限，〃〃1〃〃1s=網(wǎng)￡f（§）?*=Inn￡-/0）s=pn￡）＞Ar=lun￡）/=!/=!i=l/=!事實(shí)上，許多問題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限☆定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)/（X）在區(qū)間［。,句上連續(xù)，用分點(diǎn)。=vX］v&v???vvXjv.??v=b將區(qū)間口力］等分成〃個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間［耳上取一點(diǎn)套（i=l,2,，作和式：文詭）?心=文土旭）TOC\o"1-5"\h\z/=!t=l〃當(dāng)）時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)/（X）在區(qū)間口，饑上的定積分。記為：J：/（、汕即￡f（、汕=蚣￡（§）”1=1〃其中函數(shù)f（x）叫做,X叫做變量，區(qū)間口，句為區(qū)間，人枳分,。積分o說明：（1）定積分「/（玖心是一個(gè)常數(shù)（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：〃等分區(qū)間可：②近似代替：取點(diǎn)專司*1，功；it—n91h—"③求和：￡—/（§）；④取極限：［/（玖女=!判￡/（§）—（3）曲邊圖形面積：S=￡/（xgv:變速運(yùn)動(dòng)路程S=v（t）dt

☆定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)/(X)連續(xù)旦恒有/(x)>0o那么定積分^f(x)dx表示由直線x=a,x=bSb),y=0和曲線y=/(x)所圍成的曲邊梯形的面積。.☆定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1(ldx=b-aJa性質(zhì)2[kf(x)dx=k[j\x)dx(其中k是不為0的常數(shù))(定積分的線性性質(zhì))性質(zhì)3￡[fi(x)±fiwvx=￡fi(x)^x±￡fi(x)dx(定積分的線性性質(zhì))hch性質(zhì)4Jf(x)dx=jf{x)dx+Jf(x)dx(其中o<c</?)aac(定枳分對積分區(qū)間的可加性)說明：①推廣：J：[九⑴±/2(x)±??-±fm(x)]dx=J：/(x)dx±J：f2(x)dx土…土J：fm⑴推廣：￡f{x)dx=J'f(x)久+[了(x)么+???+J：f{x)dx性質(zhì)解釋：s-s+sD曲邊梯形AMN8一°曲邊梯形AMPC十。曲邊梯形C7W3三.典例分析例1.利用定積分定義，證明fbldx=b-a9其中a,b均為常數(shù)且avb.Ja

例2用定積分表示陰影部分的面積（不要求計(jì)算）四.鞏固提高IH1例3.（1）計(jì)算定積分，（x+l）dx（2）J］（x+1）火四.鞏固提高IH11、定積分（c為常數(shù)）的幾何意義是2、由y二sinx,x=O,x=-,y=O所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是23、定積分￡f（x）dx的大小（）A、與/⑴和積分區(qū)間R廚有關(guān)，與&的取法無關(guān)B、與/（X）有關(guān)，與區(qū)間仙力］及&的取法無關(guān)C、與/