數(shù)學(xué)春季精英版授課設(shè)計五年級14幽默數(shù)陣圖數(shù)學(xué)春季精英版授課設(shè)計五年級14幽默數(shù)陣圖18/18數(shù)學(xué)春季精英版授課設(shè)計五年級14幽默數(shù)陣圖第14講幽默的數(shù)陣圖[授課內(nèi)容]：《數(shù)學(xué)思想訓(xùn)練教程》春季五年級精英版，第14講“幽默的數(shù)陣圖”。[授課目的]:知識與技術(shù)：1、經(jīng)過對圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律；2、利用容斥原理解決數(shù)陣圖問題。數(shù)學(xué)思慮：1、形成數(shù)感，并感覺幾何直觀，幫助發(fā)現(xiàn)問題中的規(guī)律；2、經(jīng)過觀察、試一試及考據(jù)，進(jìn)行合適推理，并進(jìn)行有條理地思慮。問題解決：1、將問題簡單化，找到解決問題的最正確方法；2、經(jīng)過合作交流，生生互動，解決問題并表達(dá)出自己的想法；3、經(jīng)過簡單題型的學(xué)習(xí)，總結(jié)解題方法及規(guī)律，解決較復(fù)雜的問題。感情與態(tài)度：1、在互相協(xié)作，教師引導(dǎo)下，解決較困難的問題，直立信心；2、養(yǎng)成樂于思慮、勇于思疑、言必有據(jù)的優(yōu)異質(zhì)量和習(xí)慣。[授課重點和難點]:授課重點：觀察發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律及數(shù)的規(guī)律。授課難點：利用數(shù)形結(jié)合、容斥原理解決數(shù)陣圖問題。[授課準(zhǔn)備]:動畫多媒體語言課件。第一課時授課過程：授課路徑學(xué)生活動方案說明一、導(dǎo)入師：第一讓我們一起看這樣一張表：71211421381116310596154（課件顯示上表）師：同學(xué)們觀察一下，這個4×4方格中的數(shù)有什么規(guī)律呢？同桌之間能夠互相談?wù)摗Ｉ何野l(fā)現(xiàn)每一行、每一列、每條對角線上的四個數(shù)之和都相等，都等于34。生：我還發(fā)現(xiàn)，任意一個2×2的正方形中的4個數(shù)的和也都等于34。（課件可利用紅框或顏色閃爍表示出橫行、豎列、對角線、2×2正方形的和都是34）師：同學(xué)們真厲害，一下子就發(fā)現(xiàn)了這么多的規(guī)律，大家在生活中必然也是仔細(xì)仔細(xì)，善于觀察的小妙手！這里我給大家表現(xiàn)的表格，有一個特地的名字叫作數(shù)陣圖。數(shù)陣圖是將一些數(shù)依照必然要求排列而成的某種圖形，有時簡稱數(shù)陣。它是由幻方演變而來。幻方一般都是正方形，而數(shù)陣圖的形狀則是豐富多樣，也特別幽默。二、新授今天我們就一起來學(xué)習(xí)一些簡單的數(shù)陣圖，比比哪個同學(xué)學(xué)得最好！第一讓我們來看例1例1：將1～9這9個自然數(shù)填寫到下面的九宮格里，使得每一橫行、每一豎列和每條對角線上的三個數(shù)之和都相等。（課件顯示例1）學(xué)生讀題，教師提問。師：這個問題，相信有很多同學(xué)都遇到過。我們應(yīng)該如何解決這個問題呢？生：因為第一橫行的和都相等，而1～9的和為45，說明每一行的和為15，那么每一豎列和每條對角線上三個數(shù)的和也都是15。同時，1～9這9個數(shù)的中間數(shù)是5，關(guān)于5對稱的兩個數(shù)的和都是10，而10+5=15，所以能夠把5填在方陣的正中間。爾后使關(guān)于5對稱的4組數(shù)和為10，最后相方法讓正方形四條邊上的和為15就行了。師：這樣同學(xué)說得特別好。同學(xué)們能夠試著自己填一填。學(xué)生填數(shù)，師巡視指導(dǎo)師：好了，我請一位同學(xué)上來把自己的填法給大家看一下。學(xué)生著手自己填一下。報告結(jié)果。師：今天老師給大家介紹一個簡單的方法：解析一：（課件動畫演示以上過程（第一步中九個數(shù)要按序次一個個出現(xiàn)），每動一步，口訣同步顯示在旁邊）解析二：動畫按序次排列，下一步以5為中心，順時針旋轉(zhuǎn)一格，下一步對角互換。答案：把最后的結(jié)果填到方陣中。教師小結(jié)師：經(jīng)過檢驗，我們發(fā)現(xiàn)，結(jié)果真的和題目條件一致。親愛的同學(xué)們，其實不行是1～9能夠這樣填。所有9個數(shù)組成的等差數(shù)列都能夠這樣填，結(jié)果也都能夠保證使每一行、每一列、每條對角線上的和都相等，經(jīng)過這個方法，我們來檢驗一下，結(jié)果可否吻合題意。現(xiàn)在大家能夠試著把2、4、6、8、10、12、14、16、18這九個數(shù)填到3×3的方陣中，使每一行、每一列、每條對角線上的和都相等。我們看誰填得最快！（依照課堂時間，適當(dāng)選擇該題）師：同學(xué)們做得都很好。這是一個正方形的數(shù)陣圖，現(xiàn)在讓我們連續(xù)往下看。（課件顯示例2）例2：將12～16這五個數(shù)分別填在以下圖的“○”中，使得每條直線上的三個數(shù)字之和都等于43。學(xué)生讀題，教師引導(dǎo)。師：現(xiàn)在要使每條線上的三個數(shù)之和都等于43，我們應(yīng)該怎么思慮呢？同桌互相商議，報告。生：因為總合就只有2條線，每條線上的三個數(shù)之和都等于43，兩個和相加就是43+43=86。而12～16這五個數(shù)的和為14*5=70，比86小。這是因為中間的數(shù)加了兩次，也就是多加了一次。86-70=16，說明多加了一次的數(shù)就是16，因其中間數(shù)是16。43-16=27，說明上下兩個數(shù)的和與左右兩個數(shù)的和都是27。12+15=27，13+14=27。所以能夠在上下兩個圓圈里填12和15，左右兩個圓圈里填13和14。也許反過來填也行。師：同學(xué)們贊成他的見解嗎？生：贊成！師：說得這么好，怎么能沒有掌聲呢！（師聲鼓掌）教師談?wù)摚偨Y(jié)。師：這里重點是要確定什么？生：確定中間的數(shù)。師：是的。把中間的數(shù)確定下來，問題就解決一半了！現(xiàn)在每位同學(xué)把過程寫完滿，并把5個數(shù)填到圓圈中。我請一位同學(xué)到前面來填。解析：動畫橫著和豎著的三個圈分別閃爍，注明43.最后中間的圓圈變色，出示文字：中間數(shù)被重復(fù)計算了一次，先確定中間數(shù)：43+43-（12+13+14+15+16）=16下一步在中間的圓內(nèi)填上16.答案：答案不唯一師：看來這些問題都難不住我們精英班的同學(xué)們，下面這道題可有點難度了，大家做好心理準(zhǔn)備哦！（課件出示例3）例3：在下面三個圓的空白處分別填入4、5、7、9四個數(shù)，使每個圓里的四個數(shù)的和都相等。學(xué)生獲守信息，理解題意。師：其實這道題能夠理解為，把3、4、5、6、7、8、9這七個數(shù)填到圖中的七個地域里，使每個圓里的四個數(shù)的和都相等。現(xiàn)在題目中已經(jīng)幫我們填好了3個數(shù)，那么剩下的四個數(shù)應(yīng)該怎么填呢？這個問題憂如挺難解決的。同學(xué)們同桌前后四人為一組進(jìn)行談?wù)摗Ｐ〗M合作交流，報告思路。（談?wù)摷s3分鐘）師：停，坐正。哪一組能夠跟大家分享一下你們的結(jié)果？生：經(jīng)過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，中間的數(shù)同時在三個圓里，能夠先不考慮。三個圓里分別已經(jīng)有兩個數(shù)，每個圓里兩個數(shù)的和分別是9、11和14，這三個和的差分別是2、3、5。要使三個圓中四個數(shù)的和相等，就必定使最外面三個數(shù)的差分別是2、3、5，我們發(fā)現(xiàn)，4、5、7、9四個數(shù)中，4、7、9吻合要求，所以5填在中間。后邊就好做了。學(xué)生試一試解答并報告。師：特別好，現(xiàn)在每位同學(xué)獨立思慮，并試一試把所有的數(shù)都填到圖中。解析：閃爍中間部分，出示文字：公共部分下一步下一步下一步答案：填上數(shù)字師：我看到很多同學(xué)都做得特別好，現(xiàn)在同桌之間互相講解一下自己的解題過程，一會我請兩位同學(xué)進(jìn)行講解。（約2分鐘后，請兩位同學(xué)講解）學(xué)生總結(jié)方法并報告。教師合適指導(dǎo)。師：兩位同學(xué)說得都很好。現(xiàn)在我們連續(xù)往下看。（課件出示例4）例4：將1～6六個數(shù)分別填入以下圖的圈內(nèi)，使三角形每條邊上三個數(shù)的和都相等。這個和最大可能是（），最小可能是（）。師：觀察這個數(shù)陣圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：我發(fā)現(xiàn)極點的三個數(shù)都要被重復(fù)加1次。師：是的。現(xiàn)在要求每條邊上的和最大或最小，應(yīng)該怎么辦呢？生：因為三角形三個極點上的數(shù)都被重復(fù)加了，所以要使和最大，就要把最大的三個數(shù)放到極點上。爾后把1、2、3分別填到邊上的三個圓圈中，使三條邊上的和都相等就行了。同樣的，要使和最小就把最小的三個數(shù)填在極點上，步驟是同樣的。師：特別好！但這道題可是讓我們求出和最大或最小是多少，沒有讓我們把詳盡的排法寫出來。從這方面來考慮，大家有沒有更簡略一些的方法呢？同桌之間能夠談?wù)撘幌拢∩喝羰且购妥畲螅敲慈切稳齻€極點上的數(shù)就要最大。那么把三條邊上的和相加就可以獲取1+2+3+（4+5+6）×2=36，所以每邊上和最大就是36÷3=12。求最小和時，把1、2、3填在極點上，那么最小的和就是（[1+2+3）2+4+5+6]÷3=9。師：特別好。現(xiàn)在同學(xué)們在書本上把過程書寫完滿，并跟同桌互相說一說這道題的解題思路。解析：三個極點上的數(shù)都被重復(fù)計算了。所以要使和最大，就要把最大的三個數(shù)放到極點上。下一步要使和最小，就要把最小的三個數(shù)放到極點上。答案：師：剛剛我看到同學(xué)們做得都特別好。現(xiàn)在讓我們看最后一個例題。（課件出示例5）（選做題）例5：在下面的九宮格中，每個格子里各有一個數(shù)，若是每行、每列、每條對角線的三個數(shù)的和都相等，依照已知的三個數(shù)求x？師：這一題有點像剛剛的例1，都是3×3的數(shù)陣。而且每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等。同學(xué)們思慮一下，我們第一能夠確定哪一個格子呢？生：能夠先確定左下角的格子。我們能夠給每個格子進(jìn)行編號。因為a+2+b=a+72+90，所以b=160。解析：在“每行、每列、每條對角線的三個數(shù)的和都相等”下面劃線，爾后空格中填上字母下一步第一行和第一列同時變色，求出b=160.下一步對角線變色、中間的一列變色，求出c=178下一步中間一列變色、中間一行變色，求出e=248下一步四個角同時變色，出示a+d=90+b=250下一步第一行和最后一行變色，出示72+90+160+178+250=750，下一步所以每行的和為375。師：很好，接下來呢？生：因為90+x+160=72+x+c=2+x+e，所以能夠求出c=178，e=248，又因為a+d=90+b=250，所以能夠知道上下兩行的和為72+90+160+178+250=750，所以每行的和為375。這樣就可以獲取x的值了。師：幾位同學(xué)說得都特別好。其他同學(xué)可否是這樣想的呢？生：我是直接用x表示的，最后解方程。前面和剛剛同樣，先求出b、c、e的值。爾后a能夠表示成“88+x”，d能夠表示成“162-x”。因為每行、每列、每條對角線的和都相等，所以能夠利用上下兩行和相等，列出方程：88+x+72+90=160+178+162-x解出這個方程就可以直接獲取x等于125了。師：特別好，這位同學(xué)的方法也很正確。現(xiàn)在每位同學(xué)運用自己喜歡的方法把這個問題解答完滿。做完此后，同樣要與同桌互相說一說這道題的解題思路。三、小結(jié)師：好了。同學(xué)們，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)陣圖。經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)圖形之間的規(guī)律，爾后再發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律進(jìn)而解決問題。這里，觀察是最重要的一步，我們必然要發(fā)現(xiàn)數(shù)陣的特點，這樣才能解決問題。休息一下，一會我們?nèi)ソ鉀Q拓展問題。第二課時授課過程：授課路徑學(xué)生活動方案說明一、過渡語師：同學(xué)們，大家感覺數(shù)陣圖問題幽默嗎？針對一些看上去很難的問題，我們能夠經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律，爾后用簡單的方法進(jìn)行破解。下面就讓我們一起試一試解決一些數(shù)陣問題。二、拓展問題課件顯示拓展問題。在以下圖的空格中填上合適的數(shù)字（能夠重復(fù)），使任意三個相鄰的格子中的數(shù)字之和等于10。師：因為3加第3、4格中的數(shù)等于10，而第3、4、5格的數(shù)相加也等于10，所以說明第5格中的數(shù)就等于3。同樣的道理，第8格中的數(shù)也等于3。因為第7、8、9格中的數(shù)字之和為10，而第8格中的數(shù)是3，第9格中的數(shù)是5，所以第7格中的數(shù)應(yīng)該是10-3-5=2。爾后一步步往前計算就可以了。解析：在題干“任意三個相鄰的格子中的數(shù)字之和等于10”下面畫橫線，爾后動畫用大括號依次括住相鄰的三個格，上面標(biāo)上10.下一步大括號注明第2、3、4格和第3、4、5格，在第5格填3，大括號注明第5、6、7格和第6、7、8格，在第8格填3.下一步大括號注明最后三個格，在倒數(shù)第3格填2.2.將2、5、8、11、14、17、20、23、26這9個自然數(shù)填寫到下面的九宮格里，使得每一橫行、每一豎列和每條對角線上的三個數(shù)之和都相等。師：能夠經(jīng)過例2的簡略方法來操作。引導(dǎo)學(xué)生一起說：菱形排列對邊互換四邊外伸教師依照學(xué)生所說一步一步顯現(xiàn)動畫。解析一：（動畫參按例2）師：還可以夠怎么做呢？生：正常排列、順時旋轉(zhuǎn)、對角互換教師依照學(xué)生所說一步一步顯現(xiàn)動畫。解析二：（動畫參按例2）將2～16中的八個偶數(shù)分別填入圈內(nèi)；使正方形每條邊上的三個數(shù)的和都相等。師：我們給每個圓標(biāo)上字母。師：經(jīng)過解析能夠知道，a+d=g+h，由和不變的性質(zhì)能夠知道，a與h的差等于d與g的差。同樣的，b與e的差等于a與h的差，也就是說a和h、b和e、d和g這三組數(shù)的差都相等，且在每組中，若是a大，那么d和b就小，若是a小，哪么b和d就大。這樣我們能夠試一試在這四個圓里填數(shù)以下：這時還剩下14和16，但我們發(fā)現(xiàn)，2和6相差4，那么c和f也應(yīng)該相差4，看來這樣填不能夠，但我們發(fā)現(xiàn)，如果把10和12分別換為12和14，這時剩下的就是10和16，它們相差6，那么我們就再把2和4調(diào)整到極點上，把12和14放到邊上，能夠填了。這樣還剩下的10和16就可以分別填在f和c處。將1～7這七個數(shù)分別填在以下圖的“○”中，使得每條直線上的三個數(shù)字之和都等于12。師：我們能夠利用例2的方法來思慮。這里一共有三組數(shù)，每組數(shù)的和都相等，我們把3個和加起來就是36，而1～7這七個數(shù)的和為28，比36少8，這是因為中間的數(shù)被重復(fù)加了三次，也就是多加了兩次。那么這里的8就是中間數(shù)的兩倍。因其中間應(yīng)該填4。后邊就很簡單了。能夠把1和7、2和6、3和5分別看作一組中的兩個數(shù)。分別填到對稱的兩個圓圈中就可以了。填法不唯一哦！（選做題）5.將1～16這16個自然數(shù)填入下面的方框中，使每行、每列、每條對角線上4個數(shù)的和都相等。（提示：將16個數(shù)先按序次逐行填入方框，爾后互換上、下、左、右四個邊上的8個數(shù)的地址就可以了哦！）師：這一題能夠用計算的方法進(jìn)行解答，但這樣比較復(fù)雜，這里介紹一個簡單的方法。解析：動畫演示。師：經(jīng)過上面的表示圖，我們能夠很輕松地把所以數(shù)填到數(shù)陣圖中。這個方法與3×3的數(shù)陣圖同樣，適用于所以16個數(shù)的等差數(shù)列喲！三、小結(jié)師：同學(xué)們，數(shù)陣圖是特別奇妙的，我們今天可是學(xué)習(xí)了其中的一小部分，未來我們還會學(xué)習(xí)到